Caleul des coefficients A, Br, Cn Du

Les séries trigonométriques (IV-4) du chapitre précédent étant supposées sommables (C, 1), les conditions aux limites (1) et (2) écrites ci-dessus conduisent au système :

a (a) = an (a) + AT He (a) SN 029 (a) DA (a) = 0 (a) M{xÿ) (a) Es eee (a) + (B sin &)/T

ct) (a) = cf) (a)

N%) (a) = NÉ (a) —(Bcosa)/r

c’est-à-dire, en utilisant les expressions ([IV-23) et

CARE un D, Kyri LE Are + ji bras + Ar (V-10) Cr Kn-1 — Dh Kn+1 LS An loi FE Br li+: (Cn Le D) Kn = — (An + Bn) Ia

où l’on sous-entend l’argument y,a des fonctions de Bessez 1 et K. Les expressions des coefficients du champ magnétique conduisent à :

(Système V-11)

Ch (y Kn=3 + YÈKn+1) — Dn (y Kn-1 + YR Kn+1)

= An (y In + V3 lnts) — Bn(Vè In-1 + Yi In+1) Cn (YÈ Ko y Kn+1) — Dy (Yi Kn-1 en Ye Kn+1)

= An(Ye În-1 — V2 ln+) sas ln — YÈ In41) —2œu(n/h — $) (sin « B)/r

(Cn — Dn) Kn = — (An — Bn) In + (ou cos « B)/r

avec, rappelons-le :

= (nfh—B}-k; ÿ?=(nh—B} +R.

On est ainsi ramené à la résolution d’un système linéaire ordinaire (10) et (11) d’une extrême simplicité. Les équations (10) et la dernière équation (11) permettent de calculer 4,, B,, Cr, D,, en fonction de À et B qu’on peut remplacer par leurs expressions (7) et (8). La relation évidente

(V-12) k'= 8 sin «

par laquelle la propagation de la phase envisagée le long de l’hélice est liée à la propagation parallèle à Oz, permet ensuite de vérifier que les deux premières équations (11) sont identiquement satisfaites. Dans tous ces calculs, les propriétés de récurrence des fonctions /, et K,, en particulier la relation (11-7), jouent un rôle essentiel.

On trouve ainsi sans difficulté la solution :

An = I/ERk (— PB Yn Kn + k? cotg à Kn 1) Br = In/4rk(— LP Yn Kn— k° cotg à Kn+:) Cn = In/47k (PB Yn In + k? cotg à In 1) Dy = In/4Tk (LB Yn In — k? cotg à In+1).

En portant dans (IV-23) et (1V-24) on obtient les coeflicients des développements des composantes du champ électrique :

RES: T RE so re 1% NE UT dcr she Ha ts Fr { # : LS Ex ete AE Ft via TRE 4 PEN 1, NE PS

26 à pi SA ; ALU RS ul MARS Se Ne E. RO

Ca IRL RL ©

Solution intérieure : a de M (V4) an(r) = inférk | L Bye Ra és TC one 1(Ya4)] n-1 (var) — BYn Kn(yna) ,

+ k2 cotg à Kn+1(Yn@)] In+1(Ynr) }

(V5) bn(n) = —j Infémk{ [— Bya Ka(yna) + cotg & Kn-1(Yn@)] 1n-1 (nr) + [8 Yn Kn(yn a) + ke cotg a Kn+1(vn@)] 1n+1 (vnr) }

(V-16) en(r) = —i(1n/27xk) [B(n/h — 8) +] Kn(yna) In (ar)

Solution extérieure (CF. [24]).

(V-17) an (r) = (1n/#rk) [ Byn 1 (Ya a) + ke cotg & 1n-1 (ÿn 0) ] Kn-1(Ynr) + [Byn /n(yna) — Re cotg à In+1(Yna)] Kn+1(Ynr) }

(V-18) ba(r) = —j(1n/4xk) { BYn In(Yn a) + K cotg à In 1 (Yn@)] Kn-1(Ynr) — [Byn In (yna) — Re cotg @ Int1{Yna)] Kn+1(Ynr) |

(V-19) cu(r) = —j({n/27zk)[B(n/h — 6) +] n(yna) Kn(ynr).

Pour éviter les confusions on a mis en évidence l'argument des fonctions J et K.

Utilisées dans les développements des composantes (IV-4) les expressions qu’on vient d’obtenir permettent de calculer le champ électrique de l’hélice filiforme en tout point de l’espace (r, 0, z). Elles jouent un rôle fondamental dans tout ce qui suit.

Les expressions (13) font également connaître les coefficients des composantes du champ magnétique. Le forme générale du résultat n’apprendra rien de nouveau. Aussi, pour ne pas multiplier des formules prohibitives, nous bornerons-nous à n’étudier le champ magnétique que dans des cas particuliers.

- Champ sur l’axe.

Considérons le cas Rotdiches des points de l’axe Oz (r = 0). Comme la fonction 1,(x) s’annule avec la variable, sauf si n — 0 (1,(0) — 1), il s’ensuit que tous les coefficients de la solution intérieure sont nuls à l’exception de :

a 1(0) = — In/4rk[B Yi K 1(y-1a) + Kcotga K(y-1a)] b(0)=—ÿ Far kB y 1K (y 1 a) + kcotga K(y-10)] d(0) = — In/4rk[$ y: Ki(yia) — ke cotg à Ko(Y1a)] b,(0) = j In/4rk[8y1K: (Y19) — k? cotg « Ko (y1a)] Co(0) = j In/27k (PB? — k?) Ki (Yoa).

En utilisant le repère du chapitre II1 (z— 6h — 0), les développements (IV-4) se réduisent alors à :

Ey = ee [a 1 (0) + a (0)] Ei = ei84[ 0 (0) + b(0)] E, = ef c, (0).

Comme enfin K;(x) — K,(x), on voit qu’on retrouve les expressions du tableau (A) obtenues au