MÉTHODE DE LA COUCHE CONTINUE
19 Lorsqu'un fil fin est enroulé en hélice à spires serrées, par exemple à spires Jointives, l’image d’une couche continue équivalente se présente naturellement. C’est ainsi que, dans les Cours, on établit la théorie élémentaire du solénoïde. Nous substituons à l’hélice la surface du cylindre moyen sur lequel elle est enroulée, et nous admettons ici que, du point de vue électrique, cette surface est un milieu anisotrope singulier. C’est une couche métallique sans épaisseur douée d’une conductivité infinie dans la direction des hélices de pas h tracées sur le cylindre, dans le même sens que le fil envisagé, et d’une con-
ductivité nulle dans toute autre direction. En tout point de la couche la densité de courant J , superfi-
cielle, est inclinée de l’angle (x /2) — «x sur les génératrices du cylindre et nous pouvons en définir une valeur moyenne en « étalant » entre deux spires contiguës l'intensité du courant Î qui parcourt le fil (fig. IT-1) :
1= 27h cos « J
= 2rasin« J.
Il est évident que la théorie de la couche continue n’est qu’une méthode de calcul approchée, qui est d'autant moins valable que le fil est épais ou les spires de l’hélice écartées. L’expérience montre
gnétique est rade t per le sp élec- >
Fire. I1-1. — Étalement du courant sur la couche.
loin. En particulier, la méthode de la couche continue a fourni les éléments d’une première théorie satisfaisante du tube à ondes progressives [4, 18, 191.
20 Caleul du champ.
Proposons-nous de déterminer les ondes électromagnétiques guidées à l’intérieur et à l’extérieur d’un cylindre illimité à conductivité hélicoïdale telle qu’en vient de la définir. Conformément à la théorie générale des guides cylindriques [42] on peut exprimer le
champ électromagnétique au moyen de deux vec- { 2 > teurs de HErrz, électrique et magnétique Pz et Px,
réduits respectivement à leur composante suivant Oz: P; et Py. Celle-ci satisfait à l’équation des ondes :
AP+kP=0.
Supposant que les diverses grandeurs ne dépendent de la coordonnée z que par un facteur de propagation ei; les expressions générales des champs électrique à magnétique :
Mr | Er= grad iv Pa + 18 Pa + jouirot Pa |
H = — lai div D: + k? P;) + Joe rot P,
permettent d'écrire les composantes semi-polaires :
dPr 19Px F0 ner 0 (II-2) DRE I be RME ae Us : = (RE 62) Py MO Dr 19Pz% AU EEE 36 (IHL-3) te d Pr H Die se : ip; d0 Sr | HS (pepe avec P;, et P} solutions de l’équation :
D: PRE PABATOP (HS) St net Posons (LL) vague je
La constante y est réelle pour toute onde guidée avec une vitesse de phase # = w/8 inférieure à la
“rar IC) AC et K, M0 r or régulières à l’intérieur et à l’extérieur du cylindre conducteur. 1, et K, sont les fonctions de BESsEL modifiées d’ordre entier n (*).
3o Solution principale.
Considérons le cas n — 0 où la distribution des champs est de révolution autour de l’axe Oz. Compte tenu des identités connues :
ar LCvr) = L(vr),
ar Ko (vr) = — Ki (yr),
on aura d’après (2) et (3), le facteur de propagation étant sous-entendu :
Es =— AB L(yr) (II-6). Es =— Bou L(yr) E; =jA}Y Li(yr) à l’intérieur du cylindre ; = A'$ Ki(yr) H,=--B'6 Ki(yr) (I1-7) Es = B’ou K,;(yr) H,= A'owe K,(yr) E, =j4’y Kolyr) H, =—;jB"y K(yr)-
H,=B8 L(yn Hs; =—Auwe I; (yr) H;=—jBY%1,(yr)
à l'extérieur du cylindre.
Le raccordement des solutions intérieure et extérieure à travers la surface du cylindre va permettre de déterminer les constantes À, B, 4”, B”. Pour effectuer ce raccordement, exprimons d’ aber la continuité du champ électrique tangentiel :
HSE EE et pe = Et pour r = 4.
Il vient :
(II-8) B'Ki(ya)=—Bl(ya) (IT-9) A'Ki(ya) = A L(ya)
le champ tangentiel restant toutefois normal aux hélices lignes de courant sur le cylindre :
(1-10) Bou L(ya)—jAyiga L(ya) =0.
Il suffit d'exprimer cette orthogonalité pour la solution intérieure, par exemple, la continuité du champ tangentiel la conserve pour la solution exté-
rieure.
Enfin le courant superficiel J introduit une dis-
continuité du champ magnétique tangentiel :
J cos & = —( HRCEN Sat H)
(11-11) Marre He Den Ha.
D'où :
(11-12) A'owe K,lya)—iB'y K(ya)tgæ =— Aws L(ya)—jBy L(ya)tga
d’une condition de compatibilité facile à obtenir et exprimée pour la première fois par Pierce Po
(3) y? (ya) Ko(ya)/L(ya) Ki(ya) = ke? cotg? &.
C’est une équation transcendante dont la solution y fait connaître la constante de phase B et par conséquent la vitesse de l’onde guidée. Nous la discuterons plus loin.
On a alors la solution principale du problème :
a) Solution intérieure :
(11-14) E, = — ABl(yr) = ja PY te Zo(ya) r B1 (yr) H, A ou Fe EE Ey = —jAytg a PE HN Hy =—Awcl,(yr) V?tg &« Io(Ya) E, = 0 Eng? = 2 = JAYIo(yr) H, RTE Lo(yr).
b) Solution extérieure :
(11-15) He, Joy) BY tg « Jo(ya BE, RC a H, =jA ou Ki(ya un 1(Yr) Nes Zo(va) a Lo(Ya) Es jAytge ARTE) Da) EM) Hy ARE a K,(yr) To(Ya) LA Ytgx (ya) me Re Ko(yr) t |H, A ou Fan oi
avec une constante arbitraire À liée évidemment aux conditions d’excitation de l’onde guidée. Discutons ces résultats.
Remarque. — Nous rattacherons plus bas la constante À à la puissance transportée par l’onde. On peut également la rattacher à l'intensité du courant qui parcourt l’hélice de la manière suivante. On porte (1), et l’une des relations (11) dans (14) et (15). Il vient :
I Ko (ya)
OA AE Le Ra à Late = (1yPr@e) Ko(ya) = (1nY/2rk) Ko(y a)
compte tenu de l’identité ([46] p. 80) :
(A7) Lu(æ) Ka(a) + In(x) Kna (2) =-
Utilisant (13) et (16) on peut écrire la solution (14) sous la forme :
