Étude élémentaire de quelques courbes

Lorsque l'énoncé d'un problème ne donne qu'une seule équation entre deux inconnues, le problème est indéterminé, c'est-à-dire qu'une infinité de solutions satisfont l'énoncé. En effet, l'équation, résolue par rapport à l'une des inconnues, sera de la forme y = f (x), dans laquelle, en donnant à x toutes les valeurs imaginables, on obtiendra pour y une infinité de valeurs. Il faut observer cependant que, dans certains cas, ces valeurs pourront être imaginaires.

On sait, d'autre part, qu'un point est déterminé sur un plan par sa distance à deux droites fixes, ou à deux points fixes, ou en général par deux conditions suffisantes. Or, si dans la relation y =/(a?) nous supposons que les valeurs de x soient prises pour l'une de ces conditions, et les valeurs correspondantes de y pour l'autre, les valeurs simultanées de x et y détermineront un point sur le plan. On voit aisément :

4° Que si x varie d'une manière continue, y variera en général d'une manière continue, et que par conséquent la suite des points obtenus sera continue.

2° Que pour chaque valeur de œ on obtiendra en général un nombre fini de valeurs de y, égal au nombre des racines réelles de l'équation. A l'une des conditions qui déterminent le point ne correspondra clone qu'un nombre fini de points. On en conclut que la suite des points obtenus ne sera pas une surface, mais une ou plusieurs lignes.

3° Que si l'on construit géométriquement quelques points de cette ligne, on pourra, en les unissant par un trait continu, embrasser d'un coup d'œil toutes les solutions, et faire ainsi une étude facile et complète de la relation y = f [os).

4° Que si réciproquement on demande l'étude d'une ligne définie par ses propriétés géométriques, la recherche de son équation sera indispensable pour la solution des questions dont le calcul infinitésimal peut seul donner la clef.

Il est évident que l'équation d'une courbe ne sera pas la même dans les divers systèmes de coordonnées que l'on peut imaginer. Chacun d'eux exprimera, avec une simplicité remarquable, certaines classes de courbes qui, dans d'autres systèmes, deviennent d'une complication embarrassante. Il est clone utile de rechercher dans chaque système les courbes appartenant aux équations les plus simples, et de choisir, pour l'étude d'une courbe donnée, un système qui lui soit favorable.

Nous étudierons ici les courbes les plus élémentaires d'un système très-usité, le système unipolaire.

Le pôle est un point fixe sur le plan.

L'axe est une droite fixe qui passe par le pôle.

Un point quelconque du plan est déterminé lorsqu'on connaît :

1 ° La longueur p de la droite qui va du pôle au point ; cette ligne se nomme le rayon vecteur du point.

2° L'angle &> du rayon vecteur avec l'axe polaire.

La relation est donc de la forme p = f (&>) .

On sait qu'une ligne p ne peut être comparée à un angle w, et que par conséquent &> devra être exprimé en fonction de ses lignes trigonométriques, ou de la longueur de son arc.

Les valeurs négatives de p se portent sur son prolongement à partir du pôle.

L'angle &> doit toujours être pris dans le même sens et à partir de la même origine.

Dans une équation polaire, on ne peut remplacer les lignes trigonométriques par des fonctions d'autres lignes que lorsque ces fonctions sont du même degré que la ligne proposée. Ainsi, sin w ne pourra pas se remplacer par \/ j\ — cos 2 6) ^ p U i S q Ue cette dernière expression a deux valeurs de signes contraires.

Recherche des formules générales

qui déterminent la tangente, la sous-tangente, la sous-normale, la normale, la rectification et la quadrature.

La direction de la tangente à une courbe est déterminée lorsqu'on connaît l'angle qu'elle fait avec le rayon vecteur du point de tangence.

S Menons une sécante MM' (planche I, fig. I), et prenons PF égal à PM; on a dans le triangle MM 'F

sinM' FM

sinM FM'

Supposons que le point M' se rapproche indéfiniment du point M, à la. limite la sécante deviendra tangente; mais alors l'angle F sera droit, donc sin M sera égal à cos M'. De plus, FM sera devenu égal à Tare qu'il sous-tend et aura pour mesure p du ; FM ' sera égal à dp, et on aura

sin M ' doi

cos M' f dp

L'angle M' sera devenu l'angle cherché {/. que la tangente fait avec le rayon vecteur; on aura donc

SOUS-TANGENTE

La sous-tangente est la droite, perpendiculaire au rayon vecteur, qui passe par le pôle; elle est limitée par sa rencontre avec la tangente et par le pôle.

On a donc pour la longueur St de la sous-tangente :

d<ù St = ptangp = f j^

SOUS-NORMALE

La sous-normale est la droite, perpendiculaire au rayon vecteur, qui passe par le pôle; elle est limitée par sa rencontre avec la normale et par le pôle.

On a donc, pour la longueur Sn delà sous-normale :

Sn = P = *L tang p doi

On reconnaît ici ce fait remarquable, que la longueur de la sous-normale a pour mesure la valeur de la dérivée du rayon vecteur.

NORMALE

La normale est la droite, perpendiculaire à la tangente, qui passe par le point considéré. Elle est limitée par ce point et par sa rencontre avec la perpendiculaire au rayon vecteur, qui passe par le pôle.

On a donc pour la longueur N de la normale :

«■VHsr

RECTIFICATION

La longueur d'un arc de courbe s'obtient comme suit

On a dans le triangle MM' F, à la limite, et en nommant ds l'élément de courbe (planche I, fig. I),

d'où

ou

ds = V (dp)* 4- f (d« s=fV(d f y+p*{d«

j doi V f

'djA*

QUADRATURE

La surface dq du segment élémentaire PM'M, considéré comme un secteur, est, à la limite ( planche I, fig.I):

dq =■■ y — ^ arc MM'

ou

Donc

dq = -9- /»* ^«

?= — / p 2 do:

Nous discuterons les courbes suivantes :