VI. p — a coséc (nw) + 6 Vil. Spirales
Les lettres a, 6 et n représentent des constantes quelconques.
Étude de la courbe p = a cos [nu) h- ft.
( Cosinusoïdes polaires du premier degré. )
La courbe p = a cos (/?&>) + b s'obtient en ajoutant la quantité constante, positive ou négative, 6, à tous les rayons vecteurs de la courbe p = a cos (no*). C'est donc cette dernière courbe que nous discuterons.
Les cosinusoïdes se divisent en deux classes :
1° Les cosinusoïdes entières, dans l'équation desquelles n représente un nombre entier.
2° Les cosinusoïdes fractionnaires, dans l'équation desquelles n est fractionnaire.
COSINUSOÏDES ENTIÈRES.
On voit aisément que, dans l'équation p ~ a cos (nw), 1° On a un maximum positif de p lorsque l'angle nu atteint les valeurs 0°, 360°, 720°... , et un maximum négatif ou minimum, lorsque ;?&> atteint 180°, 540°, 900°.... Entre chacune de ces valeurs, la quantité cos (nw) deviendra nulle, et par conséquent la courbe viendra passer par le pôle.
2° On* obtient ainsi des branches (*) de courbes symétriques par rapport à leur axe, qui est la valeur maximum de p. Elles auront une distance angulaire
d'axe en axe, constante, contenue un nombre exact de
fois dans 180°, et égale à
3° Les branches de rang impair seront positives, et celles de rang pair négatives.
4° Le nombre des branches positives sera égal à n ; le nombre des branches négatives sera de même égal à n ; le nombre total des branches sera %n . Il faut observer toutefois que lorsque n est un nombre impair, la n + 1 ème branche, qui correspond évidemment à 180°, sera paire et par conséquent négative; elle reviendra alors tomber sur l'origine, et on retrouve les branches déjà construites, seulement avec un signe différent. 11 n'y aura par conséquent dans ce cas que n branches.
5° Les prolongements des axes des branches, lorsque n est impair, formeront des branches imaginaires , et les branches réelles jouiront des deux signes.
6° Il est impossible, d'après ce qui précède, d'obtenir une cosinusoïde entière ayant c branches, lorsque
c est pair et - impair, c'est-à-dire lorsque c appartient
à la progression arithmétique qui a pour premier terme 2 et pour raison 4.
(*) Nous donnons ici au mot branche une acception un peu plus générale qu'on ne le fait ordinairement.
7° Lorsque n est égal à l'unité, l'équation devient
p = a cos w (planche I, fig. II ). On voit aisément que,
par le fait môme qu'exprime cette relation, les angles
tels que PAB sont toujours droits. Cette courbe est donc
un cercle de rayon -•
nOSINUSOÏDES FRACTIONNAIRES.
Lorsque n est une fraction que nous représenterons
par -> en posant- &>' = 480°, on obtient pour la dis-
tance &> des branches &> ; = Si cet angle entre
un nombre exact de fois dans 360° ou dans un nombre exact de fois 360° , la courbe aura un nombre fini de branches, sinon elle est infinie tout en ne pouvant sortir du cercle qui a pour rayon a.
Les différentes branches des cosinusoïdes fractionnaires empiètent en général les unes sur les autres, ce qui n'a pas lieu dans les cosinusoïdes entières.
Construction par points de la courbe p ~ a cos iw.
( Planche VI, fig. I.) (L'angle droit est supposé divisé en 400 degrés. )
Pour w = on a p = a cos = a » w = 25 » p = a cos 100 = o * w s=: 50 » p = a cos 200 = — a
Pour w — 75 on a p - a cos 300 = o
» w = 100 » p = a cos 400 = a
» « = 125 » p ~ a cos 500 = o
» w — 150 » p = a cos 600 — — a
» w = 175 » ^ = a cos 700 — o
» w = 200 » ^ = « cos 800 = a
» w — 225 » p -~ a cos 900 == o
» m — 250 » p -= a cos 1000 = — a
» o) = 275 » p = a cos 1100 = o
» w = 300 » ^ = a cos 1200 = a
» w = 325 » p = « cos 1300 = o
» w = 350 » p --= a cos 1400 = — a
» w = 375 » p — a cos 1500 = o
» /» — 400 » p = a cos 1600 — - a
Appliquons aux conchoïdes à base cosinusoïde p = a cos («w) + 6 les formules générales que nous avons obtenues.
La formule générale
do)
devient
tang P = P d
a cos (n«) + b
tang p .= : — \
an sm «w
SOUS-TANGENTE
La formule générale
devient
ft 2 cos 2 (ww) 4- b % -h 2 «& COS (Ww)
St = — -
^m sm ww
SOUS-NORMALE
La formule générale
devient
Sn = — *w sin (w&
NORMALE
La formule générale
devient
N = V a* cos 8 (ww) -h 6 2 + 2 «6 cos (ww) + a 2 w 2 sin 2 (ww)
RECTIFICATION
La formule générale
devient s — /tf w / a» cos* (ww) -f- ft* + 5 «6 cos (ww) -4- « 2 n 2 sin 2 (n«)
QUADRATURE
La formule générale
devient
2 cos* (m.)) dv H- b* dtA -|- 2 ab cos (ww) tfw {
Remarques sur la conchoïde p = a cos w -f- &. ( Planches II et III )
Lorsqu'on a b > a, la courbe prend le nom de cardioïde.
Lorsque a — 6, la courbe est une épicycloïde équilatère; elle prend aussi le nom de cardioïde.
Lorsqu'on a b < a , la courbe prend le nom de limaçon de Pascal. Dans le cas particulier où a = 26, le limaçon prend le nom de trisectrice.
La courbe p = a cos « + a présente plusieurs propriétés remarquables. On sait que a représente le diamètre du cercle qui sert de base à la courbe. Prenons une direction quelconque PA du rayon vecteur ( planche H ); le point B de la courbe est obtenu par l'addition de AB= a à la ligne PA. Menons 00' parallèle à PA et égal à a, et traçons le cercle de rayon O'R. Puisque AB et 00' sont égaux et parallèles, la figure
OABO' est un parallélogramme, et B se trouve sur la circonférence O'R. Les aîiglesPÀO, AOR sont égaux comme alternes-internes, et sont égaux aux angles APO et ROM, comme il est facile de le voir. Les angles POR, BO'R sont clone égaux, ainsi que leurs arcs. On peut, en conséquence, considérer la courbe comme engendrée par le point B lorsque la circonférence ' roule à partir de P, sans glissement sur la circonférence 0. C'est à cause de cette propriété que la courbe prend le nom d'épicycloïde équilatère.
L'épicycloïde équilatère est susceptible d'un troisième mode de génération. Par le point M, menons un rayon MT, et traçons la tangente TK au cercle de diamètre PN. Abaissons PK perpendiculaire à TK, puis à partir de K prenons KF = MT. La figure KFMT est un rectangle; le point F est donc sur la circonférence de diamètre PM ; et comme MT est égal à a, on a KF = a. Le point K est donc sur l'épicycloïde équilatère ; celle-ci est par conséquent le lieu des pieds des perpendiculaires abaissées d'un point d'une circonférence à toutes les tangentes de cette circonférence. Il est facile de voir que, lorsque le point est hors de la circonférence, le lieu est un limaçon, et que lorsqu'il est intérieur, le lieu est une cardioïde.
Les courbes de la forme p = a cos w + b peuvent encore être considérées comme le lieu des points obtenus, en décrivant, du pôle comme centre, un cercle de rayon b, et en ajoutant aux rayons la valeur du cosinus de leur angle, a étant pris pour unité.
Étude de la courbe p == a sin (nw) + b.
( Sinusoïdes polaires du premier degré.)
On sait que les valeurs de sin <x sont les mômes que celles de cos I oc — - J. Si donc Taxe polaire des courbes de la forme p = a cos (n&>) ~f- b prenait une posi-
,90 tion inclinée de — sur la première, on obtiendrait les
courbes de la forme p = a sin (nw) + 6.
L'étude des sinusoïdes est ainsi ramenée à celle des eosinusoïdes. Les formules de la tangente, la sous-tangenle, la sous-normale, la normale, la rectification et la quadrature, ne présentent pas de difficulté.
La courbe p = a sin 2« offre la particularité suivante. Soit PL' (planche III, fig. II) Taxe polaire. Menons par un point quelconque M de la courbe une perpendiculaire AB au rayon vecteur, et menons PB perpendiculaire à PL', on a évidemment :
PM = ÀP cos o>
mais
AP = AB sin PBA
et comme l'angle PBA est égal à m, on a :
AP — AB sin m donc
PM = AB sin w cos w
mais PM = p, de plus - sin 2« = sin w cos w
donc
