EXAMEN DES CINQ CAS DANS LESQUELS, ETC. 1 I

S'il arrive que les courbes du premier réseau aient un point commun P, nous avons vu qu'alors la Cayleyenne se réduit à ce point et à une conique déterminée par tangentes (24). Ce point a évidemment même puissance de première espèce par rapport aux coniques du réseau et cette puissance est nulle.

On peut donc dire qu'alors un des quatre cercles du second réseau se réduit à son centre (80). Une droite quelconque MP passant par le point a alors pour conjuguée une certaine tangente MQ de la conique (24) et ses trois points d'intersection avec la Hessienne sont le point M où elle rencontre sa conjuguée et les deux points conjugués situés sur elle (98), c'est-à-dire deux poiuts confondus en P : il s'ensuit que la Hessienne a un point double en ce point, et il est facile de déterminer les tangentes aux deux branches de la courbe -, car, pour que la droite MP soit tangente en ce point, il faut que le point M se confonde avec le point P, c'est-à-dire que la conjuguée de MP soit une des tangentes issues du point P à la conique (102), cette conjuguée est alors l'autre tangente. Les deux tangentes à la Hessienne au point P sont par conséquent les tangentes menées de ce point à la conique qui, avec le point P, constitue la Cayleyenne.

Corrélativement, si les courbes du second réseau ont une tangente commune, la Hessienne se réduit à cette droite et à une conique déterminée par points (56). Cette droite étant tangente à toutes les courbes du réseau peut être regardée comme une conique réduite à deux droites confondues, harmoniquement circonscrite à ces courbes. Jl existe donc alors dans le premier réseau une conique réduite à deux droites confondues, ce qui n'a pas lieu généralentent. On verrait facilement, par un raisonnement analogue au précédent, que la tangente commune est tangente à deux i)ranches de la ('aylevenne cl fjue les deux points de con-

I l6 (HAPITUr. V .

tact sont ses points d'inlcrsoction avec la loniijuc (jui ckhstitiic avec elle la Mcssii-niic 'PI. III).

Si la tangente Cdniiiiinu; est à 1 infini, le second réseau ne nnilermc que des paraboles- la Hessienne se compose d'une conique unique à distance finie, et la Cayleyenne a deux branches paraboliques dans l(;s directions des asymptotes de cette conique : le premier réseau est l'ensemble des courbes ayant respectivement les mêmes asymptotes que toutes celles d'un faisceau ponctuel. Pour <|ue l(;s deux points de contact sur la droite de l'infini soient les points circulaires de l'infini, il faut en outre que les deux cou])lcs donnés soient rectangulaires (06) 5 li' premier réseau est alors l'ensemble des hyperboles équilatères ayant les mêmes asymptotes que toutes colles d'un faisceau ponctuel d'hyperboles équilatèr(îs -, la Hessienne est un cercle et la Cayleyenne est doublement tangente à la droite de l'infini aux points circulaires : c'est riiypocycloide à trois rebroussemcnts engendré par un point d'un cercle qui rouh; dans un autre de rayon triple (' ) .

i 10. Si les courbes du premier réseau ont deux points coiuuiuns A et B, la Cayleyenne se compose de ces deux points et d'un troisième point Q (25\ D'ailleurs, la droiti' AB et une droite quelconque passant sur le poinL Q forment une conique du premier réseau; c'est donc \\\\ couple de droites conjuguées aux courbes du second (93\ ce (|ui ne saurait avoir lieu, quelle que soit la droite menée par le point Q, à moins que ce point ne soit par rap[)ort à elles le pôle de la droite AB. Le second réseau est donc l'ensemble des courbes par rapport auxquelles on connaît le pôle (^ d'une droite A B et un couple de di'oites conjuguées, car le premier ré.^eau renferme au?si comnuî c()U])le de droites

( ' ) Cremona , Sur l 'hjpocycloïde à trois rebroiissements ( Journal de

C relie- liorchardt, t. I.XIV, |>. \o\).

EXA.VlEi\ DES CINQ CAS I)A;NS LESQUELS, ETC. llj

vieux droiU'S passant rcspcclivcmcnt par les points A et 13 et conjuguées au couple de points qui, avec les points A et 15 tlétermiue ce système. De sorte qu'étant donnés le point Q et la droite AB ainsi qu'un couple de droites conjuguées pour déterminer le second, les deux points communs aux courbes du premier sont les points d'intersection de la dioite A13 avec les deux droites du couple. La llessienne se compose alors de la droite AB sur laquelle il Y a inie infinité de couples de points conjugués communs aux courJies du premier réseau, et d'une conique, lieu des couples de points conjugués relatifs aux droites issues du point Q. Cette conique est aussi le lieu des points de contact des tangentes issues du point Q aux courbes du premier réseau, et le point Q est par rapport à elle le pôle de la droite AB (25).

Si les points A et B sont les points circulaires de l'infini, le premier l'éseau est l'ensemble des cercles c|ui coupent ortliogonalenient un même cercle, lequel forme alors avec la droite de l'infini la liessienne, car il est le lieu des couples de points conjugués relatifs aux droites issues du centre radical commun. Ce cercle est aussi le cercle ayant pour diamètre le segment formé par l'un quelconque des couples de points conjugués, donc le cercle oitlioptique d'une quelconque des courbes du second réseau coïncide avec lui, et ce réseau est l'ensemljle des courbes par rapport auxquelles on connaît les puissances de seconde espèce de trois points, ce qui détermine le cercle ortlioptique (85). Réciproquement, nous savons qu'en eilet lorsque c(; cercle est déterminé, tous les cercles qui le coupent orthogonalement sont liarmoniquement circonscrits à la conique.

(.orré]ati\enient , si les courbes du second réseau ont ticux tangentes communes, la Hessienne se compose de ces deux tangent<;s et d'une iioisième droite!) (57). D'ailleurs le point d'intersection des deux tangentes et un point quel-

ii8

cnAPiTiir.

conque situé sur la droile D forment une conique du réseau : c'est donc un couple de points conjugués aux coniques du premier, ce qui ne saurait avoir lieu, quel que soit le point pris sur la droite D, à moins que cette droite ne soit par rapport à elles la polaire du point d'intersection des deux tangentes communes. Le premier réseau est donc l'ensemble des courbes par rapport auxquelles on connaît la polaire d'un point et un couple de points conjugués. La Cayleyenne se compose alors du point d'intersection des deux tangentes et d'une conique, enveloppe des couples de droites conjuguées relatifs aux points de la droite D. Cette conique est aussi l'enveloppe des tangentes aux courbes du second réseau en leurs points d'intersection avec la droite D (57) et le point d'intersection des deux tangentes communes est par rapport à elles le pôle de la droite D.

Si les deux tangentes communes sont les droites qui joignent un point F aux points circulaires de l'infini, le second réseau est l'ensemble des coniques ayant pour foyer le point F et conjuguées à un couple de droites. La droite D subsiste toujours, et par corrélation, la conique 2, qui avec le point F forme la Cayleyenne, a également ce point pour foyer, et de plus la droite D pour directrice correspontlante. Eu outre, le cercle C ayant son grand axe pour diamètre coupe ortliogonalement les cercles analogues de toutes les coniques du réseau (58). Les tangentes issues à la conique S d'un point quelconque de la droite D sont une conique du premier réseau réduite à deux droites, et c'est ce (jui distingue ce cas du pi'écédent (109), où la Cayleyenne se réduisait aussi à une conique et à un point, car ;i!()rs sur deux droites formant conique du premier réseau, une passait par le point fixe et l'autre était tangente à la conique. Si l'on mèncî encore des tangentes à la conicpie S d'un second point de la tiroile 1), on obtiendra une secondi; <Hiii(pie (1(1 pi'cmicr réseau réduite à deux droites, la(]ucllc.

F.XAMEK DES CINQ CAS UAKS LESQUELS, ETC. Iiy

par son intersection avec la première, donnera qnatrc points A, B, C, I), extrémités des cordes communes à un faisceau de coniques du premier réseau; or il résulte des propriétés focales que ces cordes sont vues du point F sous un angle droit; le cercle C est donc le lieu des pieds des perpendiculaires abaissées du point F sur les cordes des courbes du premier réseau, coixies vues du point F sous un angle droit. Ce réseau est donc alors l'ensemble des courbes par rapport auxquelles on connaît le cercle analogue correspondant au point F, ce qui revient à donner la polaire d'un point et sa puissance de première espèce (76).

111. La droite de l'inlini n'est généralement pas tangente à la Cayleyenne. 8i cela arrive, les courbes du réseau ponctuel sont respectivement homotliétiques aux courbes d'un faisceau ponctuel, et alors les milieux des trois segments formés par les trois couples de points conjugués sont en ligne droite (21)-, la conjuguée de la droite de l'infini, qui forme avec elle conique du réseau ponctuel, sera précisément celle qui joint les milieux des segments. Cette conique est aussi le cercle du réseau, car la droite qui joint les milieux des segments coupe à angle droit les cercles ayant ces segments pour diamètres. Comme elle doit aussi couper à angle droit les cercles ortlioptiques de toutes les coniques du second réseau, il en résulte qu'alors ces cercles et par suite les coniques correspondantes ont leurs centres sur une même droite : ce qu'on pouvait énoncer immédiatement en remarquant que cette droite, formant avec la droite de l'infini conique du premier réseau, forme avec elle un couple de droites conjuguées aux coniques du second; donc celle de ces droites qui l'cste à distance finie passe par le centre de l'une quelconque de ces courbes. Des parallèles aux asymptotes de toutes les courbes du premier réseau formeront un faisceau en invohitiou linéaire, dont les rayons doubles indiqueront la direction

CHAPlTRi;

des points conjugués communs situés à l'infini. Ces Jeux directions et la droite, lieu des centres, seront consécjuemment les directions asyniptotiques de la Hessienne (98). La Cayleyennc aura une branche parabolique dans la direction conjuguée harmonique de la troisième par rapport aux deux premières. Les hyperboles é([nilatères du premier réseau auront deux de leurs points communs à l'infini dans les directions des deux rayons conjugués rectangulaires du faisceau en involution linéaire formé par les asymptotes des courbes de ce réseau. 11 y aura donc deux des cercles du second tout entiers à l'infini puisqu'ils n'ont pas leurs centres sur la droite des centres, et les deux autres points communs aux hyperboles équilatères du premier réseau, qui sont les centres des deux autres cercles du second, seront sur la droite des centres.

i 12. Si les deux points conjugués communs aux courbes du premier réseau, situés à l'infini, sont les points circulaires de l'infini, toutes ces courbes sont des hyperboles équilatères. Quant au second, il peut être regardé comme défini par les points circulaires de l'infini, qui sont une conique du réseau réduite à deux points, et par deux coniques quelconques. Un couple quelconque de droites formant conique du premier est rectangulaire, et comme il est conjugué aux deux dernières coniques qui déterminent le second réseau, il faut nécessairement que son sommet soit foyei- d'uniconique du faisceau tangentiel défini par ces di'ux courbes, car les couples de tangentes issues de ce point aux courbes de ce fai.'^ceau, étant conjugués par rapport aux deux droites rectangulaires, il y a un de-ces couples formé par les droites (|ui joignent ce point aux points circulaires de l'infini. La I lessicmie, lieu d(>s sommets de ces couples, ne dilVère donc jias dans (-e cas (hi lien des loyers des conrbes du faisceau laiigeiilici défini pai- les deux dernières conicpies (|ui délerniinenl le second réseau. On lelomlx- ainsi par ce (|iii \nc

EXAMEJN DES Cl^Q CAS DANS LESQUELS, ETC. 121

( l'di- sur toutes les propriétés connues de la courbe, lieu (les fbvers des coniques tangentes à (juatre droites [PL IT). D'abord elle passe par les points circulaires de l'infini, qui sont deux points conjugués, ainsi que par les six sommets du quadrilatère des quatre tangentes, puisque deux sommets opposés sont deux points conjugués ; elle passe aussi par les pieds des hauteurs du triangle des diagonales, puisqu'une diagonale et la hauteur correspondante forment deux droites conjuguées (*), L'asymptote réelle est parallèle à la droite des centres (') (H'I), et, si l'on se sert pour la déterminer du procédé général qvii donne la tangente à la Hessienne (99), on voit aisément qu'elle passe par le point symétrique par rapport h la droite des centres du foyer ip de la parabole tangente aux quatre droites (^). Car si l'on considère le point situé à l'infini, sur la droite des centres, ce point est sur la Hessienne, et les deux droites conjuguées issues de ce point sont la droite de l'infini sur laquelle les deux points conjugués sont les points circulaires de l'infini et la droite des centres (Hl). D'ailleurs la droite qui joint ce point à son conjugué est la parallèle à la droite des centres menée par le foyer de la parabole inscrite, car nous allons voir que deux points conjugués sont les deux foyers d'une même courbe tangente aux quatre droites, et la droite considérée joint le foyer de la parabole situé à l'infini au foyer tp situé à distance finie. L'asymptote sera donc (99) la conjuguée harmonique de la dernière droite par rapport au\ di'ux premières, c'est-àdire la symétrique de la dernière par rapport à la droite des centres. De plus, il est évident que de chaque point de la courbe on voit les diagonales du quadrilatère des tangentes

(') FAfRE.

(') CllEMONA.

(•^ P. Serhet, Oromè trie de direction, p. njS,

CH.VriTUK V.

sous des angles ayant les mômes bissectrices (*), puisque les droites issues d'un point de la Hessienne à deux points conjugués sont conjuguées harmoniques par rapport aux deux droites conjuguées issues de ce point (5i). Ici ces dernières seront donc leurs bissectrices, puis(ju'elles sont rectangulaires. On peut généraliser ce résultat, et dire :

Théorème. — De chaque point de la courbe lieu des foyers des coniques tangentes à quatre droites, on voit les deux foyers d'une de ces courbes, sous un angle variable, mais dont les bissectrices restent les mêmes.

W résulte en cllet de ce qui précède que les droites qui joignent un point M de la Hessienne à deux points conjugués ont pour bissectrices fixes les droites conjuguées issues de ce point : il ne reste plus qu'à démontrer que les deux foyers d'une même courbe sont deux points conjugués; soient en elFet F et F' ces deux points, l'angle des droites MF et MF' admet les mômes bissectrices que l'angle des tangentes issues du point M à la courbe dont ils sont les loyers ("); or, la courbe considérée étant tangente aux quatre droites, ces deux tangentes sont conjuguées liarmoniaues par rapport aux droites conjuguées issues du point M, c'est-à-dire que ces dernières sont leurs bissectrices; donc, pour conclure le point F du point F', on joindra MF, on mènera la symétrique de cette droite par rapport aux droites conjuguées issues du point M ; un autre point M' donnera de môme une autre droite lieu du point F', lequel sera ainsi déterminé par la construction identique à c(îlle qui donne le conjugué du point F (51). Nous avons exécuté l'épure [PL If^) et nous avons également représenté la Cayleyenne qui est l'enveloppe des bissectrices fixes.

(*) Seuhet, Géométrie fie direction, p. i()S. (') CiiASîF.s, Sections coniques, p. \C)'>.

F,XAME]\ IIKS CINQ CAS DANS J.FSQUKLS, ETC. 123

Ou pourra ainsi énoncor sur la courbe lieu des foyers des coniques tanj^eutes à quatre droites toutes les propriétés relatives aux deux courbes qui nous occupent en remplaçant la Cayleyenne par l'enveloppe des bissectrices lixes , deux points conjugués par deux foyers d'une même conique, et deux droites conjuguées par deux bissectrices correspondantes .

Si le quadrilatère des quatre tangentes est circonscriptible à un même cercle, il y aura une des courbes du second faisceau dont les fovers seront confondus, ou deux points conjugués confondus. On tombe donc dans un cas particulier de celui où toutes les courbes du premier réseau ont un point commun (109), celui où elles sont en outi'e des hyperboles équilatères : le point commun résultant des deux points conjugués confondus sera le centre du cercle inscrit. On peut donc dire que :

Théorème. — Lorsqu un quadrilatère est circonscriptihle à un cercle, la courbe fin troisième degré, lieu des foyers des coniques inscrites dans le quadrilatère a un point double au centre du cercle. Les tangentes en ce point sont rectangulaires et sont les bissectrices Jix es correspondant à ce point.

Car ce sont deux droites conjuguées (24) . La Cayleyenne se réduit à ce point par où passe une bissectrice de chaque couple et à une conique définie (24) enveloppe de l'autre bissectrice.

Si le cjuadrilatère est formé des quatre tangentes communes à deux cercles, les extrémités de chaque diagonale formant couple de points conjugués , on voit facilement en joignant un de ces six points à deux points conjugués que les bissectrices fixes ont deux points commims ([ui sont les points où la droite des centres coupi; le cercle C qui passe par les extrémités des deux diagonales perpendiculaires à celle droile. Les hypeiboles éijuilalères (jui coiisliluenl le

pfcinicr faisceau ont donc deux points communs, (jni doivent être les centres des cercles du second (O^)^ et en elî'et les centres de ces deux cercles sont les points où le cercle C coupe la droite des centres. Le lieu des sommets des couples est évidemment le cercle (], puisque ces coupl(,'s sont reclani^ulaires et la droite des centres complète la liessienne, lieu des foyers, (^uant à la Cayleyenne, elle se réduit aux deux points communs aux courbes du premier réseau, et au point situé à l'intini dans une direction perpendiculaire à la droite qui les joint (2o).

113. Eniin si les deux points conjugués situés à l'inlini sont dans deux directions rectangulaires, tous les cercles ayant même axe radical, qui admettent deux des trois couples qui déterminent le premier réseau, admettant aussi ce couple situé à l'infini, font partie de ce réseau, et comme ils doivent couper ortliogonalement tous les cercles ayant [)Our diamètres les segments formés par les couples de points conjugués, il en résulte que ce fait se présentera lorsque les cercles ayant pour diamètres les trois segments auront, non-seulement leurs centres en ligne droite comme précédemment, mais encore même axe radical. Les cercles orllioptiques du réseau tangentiel auront donc même axe radical, et l'on peut dire qu'à un réseau ponctuel dans le- (picl il y a deux cercles correspond un réseau tangentiel, dans lequel deux conditions déterminantes sont les puissances de deux points, ce qui n'a pas lieu généralement, puisqu'un seul point a même puissance par rapport aux courbes du réseau (88). En général, on connaît dans le second rés(Niu les puissances d'autant de points qu'il y a de cercles distincts dans le premier (110).

114. Ç,orré]ati\cmeut, si, parmi les points de la Hes-r sienne, il y en a un tel que les deux droites conjuguées issues de ce point aillent aux points circulaires de I infini, toutes les courbes du second réseau seront vues de ce point

i;xAMKxN DT.s <.^^\» r.As i)A>s lksqufls, etc. » 25

sous un angle droit. Et en cHcl, ces deux droites, qui i'orment eonique du j^rcmier réseau, constituent un cercle de rayon nul : les ccicles orlhopliques du second, qui le coupent ortliogonalenient, auront donc un point coniniun. Ce cas se présentera donc lorsqu'un des quatre cercles du premier réseau aura son rayon nul.

Il V a sur la Hessienne trois points pour lesquels les droites conjuguées sont rectangulaires, puisqu'il y a trois couples rectangulaires formant hyperbole équilatère du premier réseau^ il y aura dans le second réseau une inlinité de coniques ayant pour loyer l'un de ces points, ce qui n'a pas lieu pour tout autre point du plan (59). Ces coniques auront deux tangentes communes et formeront faisceau du réseau tangentiel, ce qui tient à ce que les trois cercles déduits de ce point et des trois couples de droites conjuguées qui déterminent le réseau, comme nous l'avons vu plusliaut (o9), ont même axe radical.

ilo. Le dei-nier cas qu'il reste à examiner est celui où les courbes du premier réseau ont trois points communs. 11 est évident qu'alors toutes les coniques conjuguées au triangle des trois points appartiennent au second réseau, car les premières leur sont harmoniquement circonscrites, et comme c'est une condition triple , il n'y en a pas d'autre.

Corrélativement, si les courbes du second ont trois tangentes communes, toutes les courbes du premier sont conjuguées au triangle de ces trois droites. L'ensemble des coniques conjuguées à un triangle peut donc être considéré soit comme un réseau ponctuel, soit comme un réseau tangentiel ^ il est facile de voir qu'en eifet l'on peut choisir soit trois couples de points, soit trois couples de droites tels que toutes h;s coniques qui leur sont conjuguées soient (•on|uguées à un triangle donné.

HG. Nous i('sum(^rons celle discussion )).ir le labh-au sui\anl :

(llAI'lTUr, V.

Conditions dctcrminant le réseau ponctuel.

Cas gcnéral. — Tfois couples quelconques de points conjufjués, ou les puissances de n points {nn^i) et 3 — n couples, ou trois coniques dont une peut être un cercle et deux des hyperboles équilatères.

Cas particuliers. — Un point et deux couples.

Une des trois coniques est réduite à une droite.

Cette droite est à rinfiiii.

Deux points et un couple.

La polaire d'un point et un couple.

Un couple est à l'infini.

Les trois coniques sont des hyperboles équilatères.

Deux des coniques sont des cercles.

Les trois coniques sont des cercles.

La puissance et la polaire d'un point.

Trois points.

Un triangle conjugué.

Conditions déterminant te réseau tangentiel.

Cas général,— r Trois couples quelconques de droites conjuguées, ou l:i puissance d'un point et deux couples, ou trois coniques dont deux peuvent être des paraboles.

Une des trois coniques est un cercle de rayon nul.

Une tangente et deux couples.

Les trois coniques sont dos paraboles.

Le pôle d'une droite et un couple.

Deux tangentes et un couple.

Les trois coniques ont leurs centres en ligne droite.

Les trois couples sont rectangulaires.

Les puissances de deux points et un couple.

Les puissances de trois points.

Les trois coniques ont un foyer commun.

Un triangle conjugué.

Trois tangentes.

Quatrième cas. — Un système ponctuel du troisième ordre et un faisceau tangentiel contravariants.

117. Les coui'hcs du faisceau tangentiel ont alors «juatre langenles communes, et les tiois cou[)les de points lormant coniques de ce faisceau sont précisément les trois couples de points conjugués aux courbes du premier (27).

Si c'est le faisceau tangentiel cjui est donné, on en conclura le système ponctuel en construisant quatre coniques t]uelcon(fues liarmouifjucnicuL circonscrites à deux conicjues du iaisceau ; si c'est le système ponctuel, le faisceau sera déterminé par deux coni(pies quelconques liarmoniqueiiuMil inscrites à (pialre coniques du système ponc Uiel ;

EXA^MEN DES CINQ CAS DANS LESQUELS, ETl. . l -^.J

nous donnerons ultérieurement la solution de ces problèmes.

D un point (|uelcouque ou peut mener aux courbes du faisceau tangentiel des tangentes formant un faisceau en involution linéaire, ce qui prouve que par un point quelconque passent deux droites réelles ou imaginaires formant conique du système ponctuel. Si le point est sur Func des tangentes communes aux courbes du faisceau, les deux droites conjuguées communes à ces courbes passant par ce point se confondent; il y s donc quatre droites, réelles ou imaginaires, qui forment individuellement conique du système ponctuel : ce sont les côtés du quadrilatère résultant des trois couples de points conjugués i^27).

Tous les cercles du système ponctuel satisfont à quatre conditions ponctuelles et ont même axe radical : d'ailleurs ils doivent passer par les centres des deux hyperboles équilatères du faisceau ^94, 2") ; ils forment donc la série orthogonale aux cercles orthoptiques du faisceau (87).

La conique du faisceau qui est vue d'un point donné sous un angle droit est l'enveloppe des polaires du point par rapport aux courbes du système ponctuel qui ont ce point pour foyer (94, 3°).

il8. S'il y a un cercle dans le faisceau, une des conditions déterminantes du système ponctuel est la puissance d'un point. Toutes les hyperboles équilatères de ce système , qui forment réseau ponctuel , ont alors un point commun qui est le centre de ce cercle (94, 2°). S'il y eu a deux, c'est-à-dire si les quatre tangentes communes aux courbes du faisceau sont les tangentes communes à deux cercles, les deux conditions déterminantes du système ponctuel sont les puissances de deux points et toutes les hyperboles équilatères de ce système forment un réseau ponctuel à deux points communs (25) et dans lequel conséqueminent \v point (^ (;st à l'inlini dans bi direction perpendiculaire ;'i bi droite des centres des deux cercles.

1 2>S CHAPlTUr. V.

On ik; peut pas supposer que les liypcrholes équilatères du système taugentiel aient trois points eoniniuns, ear elles en auraient un quatrième et lormi'raient faisceau ^ or elles loriuenl réseau. Mais il j)eut arriver (jue toutes les courbes du svstènu' soient des hyperboles écpiilatères ; alors deux coupli's de points ccMijugués communs de ce svstènu^ ou, ce qui revient au même, deux sommets ojiposés du quadrilatère des tangentes communes aux courbes du faisceau sont les points circulaires de l'inllni^ c'est-à-dire que ces dernières sont homofocales, et les foyers communs sont les deux autres points réels, conjugués conununs aux courbes du système ponctuel.

Jl n'y a géiu'raii'ment dans le premier système qu'un faisceau de cercles, lesquels déterminent les puissances de deux points par rajiport aux courbes du second dont les cercles ortlioptiques ont, en eilèt, même axe radical; s'il y en a trois et le réseau résultant , le cercle orthoptique d'une couibe quelconque du second système est déterminé, et l'on connaît de plus un couple de droites conjuguées. Nous avons appris (lOo) à déterminer \cs quatre tangentes résultantes; elles forment un quadrilatère rectangle, et réciproquement toutes les coniques inscrites dans un rectangle sont harmoniquenient inscrites à trois cercles distincts. S'il y a quatre cercles dans le premier système, il y a tous les cercles du plan, lesquels satisfont en ellèt à deux conditions ; le second se compose alors de tous les couples de points situés à l'infini dans des directions rectangulaires.

Si dans un des couples de points formant coniques du faisceau taugentiel, les deux points coïncident, ce dernier se compose de toul(!s les conif[ues tangentes à deux droites données en des points donnés. C'est ce qui arrive lorsque les courbes du premier système ont un point commun, car il forme un eoiqde de points conjugués confondus. Si cela a lieu également pour un autre couple; de points, les courbes <lii |)t('mlcr svstème son! tontes celb's cpii |)ass('nt [)ai' dcii\

EXAMEN DES CINy CAS DANS LESQUELS, ETC. I yp

points donnés, et celles du second sont tous les couples de points conjugués de l'involution linéaire dont ces deux points sont les points doubles.

Si un même point fait partie de deux des couples de points conjugués aux courbes du système ponctuel, ce système se compose des courbes par rapport auxquelles ce point a pour polaire la droite qui joint ses conjugués dans les deux couples et le faisceau tangentiel de tous les couples de points formés par celui-là et un point quelconque de la droite précédente.

Enfin, si toutes les courbes du faisceau tangentiel sont les paraboles inscrites dans un triangle, celles du premier sont toutes celles sur lesquelles deux droites données interceptent respectivement des cordes ayant mêmes points milieux. Tous les cercles de ce dernier sont alors les cercles concentriques ayant pour centre commun le point de rencontre des hauteurs du triangle circonscrit aux paraboles.

Cinquième cas. — Un système ponctuel du quatrièrne ordre dont toutes les courbes sont hannoniq ueinent circonscrites à une même conique formant système tangentiel d'ordre zéro.

119. Si c'est le premier système qui est donné, la conique liarmoniquement inscrite en résultera ainsi que nous le verrons plus loin (125); si c'est cette dernière, on construira facilement cinq coniques quelconques qui lui soient liarmoniquement circonscrites et déterminent le premier système (34).

Ce système renferme une infinité de couples de droites qui sont tous les couples de droites conjuguées à la conique triple, quatre hyperboles équilatères distinctes et le système ponctuel du troisième ordre résultant, et trois cercles distincts ainsi que le réseau ponctuel résultant.

l3o CHA1MTHK V.

Par suite, ces liypcrholcs ne peuvent avoir (|u'uu [)t»int commun, c'est ce (|ui ai rive loisque la conique triple est un cercle; elles passent toutes par le centre (94, a^). Si elles en avaient deux, elles formeraient réseau, ce qui est impossible. Dans le cas où la conique triple est un cercle, la condition déterminante du premier système est la puissance d'un point. S'il y a cincj hyperboles équilatères, il en est de même de toutes les autres courbes du systènu^, et la conique triple est formée par les deux points circulaires de l'infini.

S'il y a qualie cercles, il y a tous les cercles du plan et une cinquième conique quelconque, et la conique triple est encori' un couple de points qui sont les points doubles i\c l'involution linéaire déterminée sur la droite de l'infini par tous les cercles du plan et la cinquième conique. D'ailleurs il ne peut pas y avoir plus de quatre cercles distincts, puisque tous les cercles du plan ont deux points communs.

Si la conique triple est une hyperbole équilatère, tous les cercles du système qui ont en i^énéral même centre radical ont un point commun, centre de l'hyperbole (9i, 2"), ce qui eu est un cas particulier.

JNous avons vu (36) que l'on peut construire deux droites formant conique du système sans la notion de la conique triple en s'en donnant trois points A, B, C, d'où il résulte un quatrième point Q, et dans cette construction le point Q est le Mièine quels que soient A et B sur la droite AB, par(M' qu'il est le pôh^ de cette droite par rapport à la conique triple.

La condition à laquelle satisfont toutes les courbes du faisceau est donc d'être harmoniqucment circonscrites à une conique fixe (30).

120. Nous croyons maintenant qu'il sei'a toujours possible, au moyen des détails qui précèilent, de déterminer le système lonliav ariani d un svsième doniK' ; il ne nous ii-sle

KXAMEN DKS CIJNi^ C. VS OVINS l.KSQl'KLS, VTC. l3l

plus qu'à doJiucr les solutious de quelques prohlènies, (|ui eonipléleront la ihéorie des coniques en involulion.

Remarquons d'abord que toutes les coniques qui passent par trois points et qui sont liarmoniquement circonscrites à une conique donnée, satisfaisant à quatre conditions poncluelles, passent par un quatrième point qu'il est facile de déterminer, car un des trois systèmes de deux droites formant conique du faisceau ponctuel cherché se compose de la droite qui joint deux des points donnés et de celle qui joint le troisième point au pôle par rapport à la conique donnée de la droite précédente. Les trois systèmes de deux droites ainsi obtenus passent par le point cherché, et l'on retombe en même temps sur ce théorème connu :

Lors(/ue deux triangles sont réciproquenienl conjugués f}(ir /apport à une conit/ue, ils sont hovio logiques.

121. PaoBLiiMES. — Construire la conique passant par quatre points et harnioniq uenient circonscrite à une conique donnée Q. *

i" Si les quatre points sont donnés direct(;ment, la polaire de l'un d'eux par rapport à la conique donnée coupera la coni(|ue cherchée suivant les points conjugués communs à deux involutions linéaires, dont l'une a pour points doubles les points d'intersection de cette droite et de la coni- (|ue donnée (06) et l'autre est déterminée par deux quelconques des courbes qui passent par les quatre points donnés.

x^ Si les quatre points sont communs à deux coniques déterminées, on coupera ces deux courbes par une droite quelconque sur laquelle elles donneront un couple de points conjugués à la conique cherchée. Ces di'ux points forment une conique harnioni(juement inscrite à la coiiicpic iherchée (93); il en est de même de \ix conicpie C (00):, donc il en sera de même de toutes les coniques du faisceau tangentiel qu'elles délermiucnt (08) et en particulier des

l32 CHAl'lTUE V.

couples de sommets opposés du quadrilatère obtenu eu menant des deux points des tangentes à la conique C. La droite qui contient l'un de ces couples coupera consé(|uemment la conique cherchée en deux points connus, puisque ce sont les points conjugués commmis à deux involutions linéaires dont l'une a pour points doubles ces deux sommets opposés et l'autre s'obtient au moyen des deux coniques déterminant les quatre points.

122. Construire la conique passant par trois points et harnioîiiquenient circonscrite à deux coniques données.

Au moyen des trois points donnés et de chacune des coniques, on déterminera successivement un quatrième, puis un cinquième point de la conique cherchée (120) (').

123. Construire la conique passant par deux points et harmoniquement circonscrite à trois coniques données.

On cherchera les polaires de l'un des points par rapport à chacune des trois coniques ; l'une de ces droites coupera la conique cherchée et la conique correspondante suivant quatre points en proportion harmonique (66) ^ on aura donc ainsi trois couples de points conjugués et l'on retombera sur un problème précédent (14).

124. Construire la conique passant par un point et harmoniquement circonscrite à quatre coniques données .

On cherchera les polaires du point par rapport aux quatre coniques, ce qui ramènera le problème à un problème précédent (16).

125. Construire la conique harmoniquement circonscrite à cinq coniques données.

On construira deux coniques harmoniquement circonscrites à quatre des coniques données en s'en donnant

(' ) M. Smith A résolu n; probk'nic ilo l;i mémo façon et a donné pour les trois suivants des solutions difl'érentes { f'roccec/inij^s, p. 87).

EXAMEN DES CINQ CAS DANS LESQUELS, ETC. l33

arbitrairement un point (124) ^ elles détermineront un faisceau ponctuel dans lequel on construira la conique harmoniquement circonscrite à la cinquième (121).

Une autre solution consistera à chercher cinq couples de points formant conique du système tangentiel défini par les cinq coniques données (64)5 ^^^ seront conjugués à laconique cherchée et l'on sera ramené à un problème précédent (16) (105).

Nous n'insisterons pas sur les problèmes corrélatifs dont les solutions seraient entièrement analogues.

FfN,

P.tris. — Jmprinu'iic do OAyimr.u-ViLLAUS, quai dos Au{;ustiiis, î<h.

PICOUET. S\.st<'iiK's ponctuels et t ano-eiiti(>ls de Seetioiis conique;

Letiat/ unp r. de !aBucheru;,l, Paris

(ùiuf/uc-rl',//„rs. F.,/,f,i,r /?

i;;irQl-KT.Svst..,H-s ,„.n,-l,H.|s .., tanc,-e„l,els de S...

Il ( <<)ni(]ue

(:,,!il/ii,-r Vill.irs. F.Jih'iir,

PICQTKT. Systèmes poneUiels ol lano-enliek de Scellons coninuos

PICOIET. SvsIciiHs pDiichicIs cl tanqriitiel.s do Sopùoiis conKiuf"

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