EXAMEN OF.S CINQ CAS DAIVS LESQUELS, ETC. I I I
rap]MML à ce conlo, l.Kjiu'llc sera pcrpondirulairo à S, A' cl .1 une dislance du point Si vs^alv à SiO'cos^a.
On jx'ut t(Mit de suite tirer de la relation précédente les valeurs de SiO'eos^flr. elh^s sont symétriques par rapport au
point A et égales à Sj A ± y Si A sin'^a — f^cos'a.
On aura ainsi les tangentes à la conique perpendiculaires à la bissectrice Si A; les deux autres tangentes du laisceau tangentiel déterminé par le cercle ortlioptique O et le couple Pi Qi seront les tangentes perpendiculaires à l'autre bissectrice; elles forment lui rectangle circonscrit à la courbe et inscrit consécjuemment clans le cercle O, de sorte que les deux premières donneront immédiatement les deux autres, si elles rencontrent le cercle. Elles seront imaginaires, s'il n'y a pas de tangentes à la courbe perpendiculaires à cette bissectrice, et la construction ne sera plus applicable; mais nous avons cinc| couples et par suite dix bissectrices; par suite, le cas où il n'y aurait de tangentes parallèles à aucune de ces dix droites peut être considéré comme très-particulier.
Cette solution, dont l'exposition a été longue, est néanmoins excessivement simple eu égard à la difliculté inliérente à la nature du problème ; on s'en assurera en faisant I épure.
Tous les problèmes déjà traités et où la conique est assujettie à cinq conditions tangentielles données directement peuvent alors être considérés comme des cas particuliers du précédent.
107. Revenons à nos deux réseaux contravariants. Nous avons Ml que le cercle du premier coupe orthogonalement les cercles ayant pour diamètres les segments formés parles coniques du si'cond réduites à deux points. Corrélativement, il y a une conique; du second ayant pour foyer uu point donné, et le cercle ayant son grand axe pour diamètre coupe ortliogonalenu'Ul tous les cercles déduits du
[)()iiit doiinô et îles conuiucs du proniior réduites à deux droites ainsi que nous 1 avons expliqué (59).
?>ous avons vu aussi (ju'il y a quatre e(;reles dans le second (80) dont les centres sont les quatre points communs aux hyperboles équilatères du premier ; ce sont les sommets d'un triangle et le point de rencontre des hauteurs ; ils sont harmoniquement inscrits à un même cercle qui est le cercle du premier réseau; donc ce dernier coupe orthogonalemcnt leurs cercles orthoptiques (66) qui sont les quatre cercles res])ectivenient concentricjues et dont les rayons respectifs sont ceux des premiers multipliés par y'2 : ce qui donne le moyen de déduire le rayon d'un de ces quatre cercles de ceux des trois autres. 11 suffira de décrire les cercles respectivement concentriques aux trois autres avec des rayons égaux aux premi(;rs juultipliés par Y'r?, et leur cercle orthogonal commun. Le cercle orthoptique du cercle cherché devra couper ce dernier orthogonalement. Cette remarque nous sera particulièrement utile dans l'application aux surfaces du second degré.
Corrélativement, il v a dans le premier réseau quatre coniques dont un point donné est le foyer, et les polaires du point donné par rapport à chacune d'elles, c'est-à-dire les directrices correspondantes, sont les quatre tangentes d'un faisceau tangentiel, dont le point donné e^t un sommet orthoptique (40). Enonçons le théorème :
Théorè:mk. — // } a quatre coniques conjuguées à trois couples de points et ayant pour foyer un point F ; les quatre directrices correspondantes forment un quadrilatère dont le point F est un sommet orthoptique.
Le cercle du premier réseau est le lieu des centres des hyperboles équilatères du second; coriélativement, la conique du second, qui a pour loyer un point donné, est l'enveloppe des polaires de ce [)oint par rapport aux courbes (lu |)ri'ini(r ([ui sont vues de ce point sous un angle dioit .
EXAMEN nES CINQ CAS DANS LESQUELS, ETC. m3
108. Telles sont les remarquables propriélés de ces deux svslèmes de couiques; uous allons terminer leur exposé en faisant voir les analogies que cliacun d'eux présente, eu ellét, isolément (70) avec le système des segments formant une proportion harmonique sur une droite avec nu segnumt fixe, c'est-à-dire avec l'involution linéaire.
Les propriétés de l'involution linéaire sont en eiïbt les suivantes :
1 " Les segments formés par deux points conjugués quelionques sont en proportion harmonique avec le segment lixe des deux points doubles^
2° Les cercles décrits sur ces segments comme diamètres coupent ortliogonalement le cercle ayant pour diamètre le segment des points doubles ;
3" Le produit des distances du milieu de ce segment aux extrémités de tous les autres est constant^
4" Si les points doubles sont imaginaires, il y a deux points d'où l'on voit sous un angle droit tous les segments dont les extrémités sont deux points conjugués.
Considérons d'abord les courbes du réseau ponctuel :
1° Toutes les courbes du réseau sont harmoniquement circonscrites à trois coniques fixes, coniques triples des involutions planes dont peuvent faire partie les triangles inscrits dans les premières. Ces trois coniques en entraînent une infinité d'autres, formant réseau tangentiel, parmi lesquelles il y a quatre cercles-,
2" Un de ces cjuatre cercles, quelconque, coupe ortliogonalement les cercles, lieux des pieds des perpendiculaires abaissées de son centre sur les cordes de chaque conique vues de ce point sous un angle droit (76};
3" La puissance de première espèce d'un quelconque de ces quatre centres par rapport h toutes les coniques du réseau est constante -,
4" A chacun de ces cercles, s'il est imaginaire, coi'res'
Il4 CHAPlTIir. V.
pondent deux points (qu'on obtient en élevant de part ai d'autre du plan et au centre du cercle une perpendiculaire égale à la longueur géométrique de son rayon), d'où l'on voit toutes les courbes du réseau sous un cône équilalère de première espèce (73) (*).
Les courbes du réseau tangentiel donnent lieu aux mêmes analogies :
i** Toutes les courbes du réseau sont harmoniquement inscrites à trois coniques fixes, conicjues triples des involutions planes dont peuvent faire partie les triangles circonscrits aux premières. Ces trois coniques en entraînent une infinité d'autres, formant réseau ponctuel, parmi lesquelles il y a un cercle ;
2° Ce cercle coupe orthogonalement les cercles ortlioptiques de toutes les courbes du réseau.
3" La puissance de seconde espèce de son centre par rapport à toutes les courbes du réseau est constante ^
4° S'il est imaginaire, il y a deux points de l'espace d'où l'on voit toutes les courbes du réseau sous un cône équilatère de seconde espèce (88).
109. Nous allons examiner maintenant les cas particuliers auxquels peut donner lieu ce système de courbes en involution.
(') Nous avons omis d'énoncer le théorème analogue relatif au faisceau ponctuel. Il est clair qu'alois il a lieu pour tous les points de l'iiypeibole équilatcre du faisceau et peut s'énoncer ainsi :
Si, d'un point, l'on voit sons un cône équilatère de première espèce deux coniques d'un faisceau ponctuel, il en est de même de toutes les autres. (Comptes rendus de la Société Philonialhi(jue, journal l'Institut, 20 décembre iS6f).)
Nous aurons à revenir sur celte propriété remarquable, à propos du système de surfaces du second degré ayant huit points communs; car, si l'on considère qu'un pareil système est coupé par un plan suivant un faisceau ponctuel de coniques, on voit qu'elle est complètement analogue au théorème de Desargues-Sturm relatif aux cordes interceptées par une droite dans les conitiues <l'uii faisceau ponctuel.
