FES Ÿ SR
T= + QD à + a C0 fe ( rene,
LA
: Rs er REP ERCCTE (+ dr — 20)
SEE le des caractères primaire et secondaire suivant le génotype de l'individu sont
L’équation (I - 5) donne alors :
Ap = upT = uap (| — p) p [— 4 d0 — 44 +20(] + d}] 42 (| + d)O — «(1 AE A)
Nous conviendrons de poser :
h = Ofa —1 (3) 8 = 1/2 —h/(d — 2 dh— |) k = — 2 nat (d — 2 dh— 1)
L'expression de Ap devient alors, si l’on suppose h 5 (d? — 1)/2 d :
(4) Ap = kp (p — D@— P)
C'est là l’expression de la variation de la probabilité du gène A, et donc de sa fréquence puisque la population est très nombreuse, lorsqu'on passe d'une génération à la suivante. * * *
Proposons-nous maintenant d'étudier la composition asymptotique de la population. Nous distinguerons plusieurs cas suivant les valeurs des paramètres h, $, k. Nous supposerons dans cette discussion 0 < d < 1, nous réservant de traiter ensuite le cas de l'absence de dominance (d — 0) et celui de la dominance complète (d — 1).
Les valeurs stationnaires possibles de p sont : br 0: en p=P 1% cas: k < 0.
Ce cas se produit si d — 2 dh — 1 > 0, c’est-à-dire si :
Ap est alors du signe de p — f. Or, dans le cas envisagé, B est toujours supérieur à 1. En effet, l'inégalité $ > 1 s'écrit :
2h<1+2dh— € puisque d° — 2 dh — | est > 0. D'où :
DU De dora
et :
Or, cette inégalité est une conséquence de (5), car :
(d — 1)/2 d <(1 + d)/2 puisque d < 1.
? Y > oe
us TE
valle (0 bo) ne dans cette ‘intervalle une valeur Ar sue m
Par < . = ( me
mA Er DE Le nt montre encore que p Hd vers 1e ent, m étan t le plus peHt des deux.
de
ne ER Se 4
RDS ce qui prouve que dans ce cas <
te Rs 4 Cr É Li La ‘ S
To b) 8> 1, c'est-à-dire 1/2— Ad —2dh—1)>1 ARS OÙ : ; | ; TN Re TR CN D D oo à
inégalité qui entraîne l'inégalité (6) et qui “exprime que le génotype AA est le mieux adapté.
La variation Ap est alors > 0. En posant q — J TP, on obtient : Ag=— Ap = —k(I Mende De ka (= GE + 8)
Or, (1 — 8) est < 0. Nous sommes ramenés au cas précédent en remplaçant p par q et B'par (1 — £). Donc q tend vers 0 plus rapidement que (1 — m)" quand n augmente indéfiniment, m étant le plus petit des deux nombres > 0 : — À (1 — 8) et kpo (B — po).
Il y a donc fixation asymptotique du gène À.
| @— DR <h<@+ D ci - | . È .
inégalités qui entraînent (6) et expriment que l hétérozyeote Aa est le mieux adapté des trois
c'est-à-dire :
génotypes.
Or Ap = À (p — 8). Nous pouvons donc écrire :
Le —= kp ee > 0
L'expression précédente dans l'intervalle (bo, 8) a une valeur minimum a positive m | [égale soit À à Rpo (1 — fo), soit à kB (1 — E)]. et Le ERA Posons : PRE Pn — 8 — Zn ; i £ On a, quel que soit n : ; | È Gr em
d'où : LR PR EN EME
De
LA een) | 2 <= m)) 22 LE — = ( me E Zo ë .
ce qui montre que z tend vers 0 plus rapidement que (| — m)" lorsque n augmente ba
Donc p a pour limite 8. La population tend vers un équilibre asymptotique dans lequel les deux génes coexistent.
Le
De de Or CL
d) Cas limite 8 — 0,
c'est-à-dire :
D lA=@—-02
4 Les génotypes Aa et aa sont alors équidistants de O. 160 L'expression de la variation Ap devient :
+ Ap = kp° (p — 1)
. avec: | k=—2u&@(d—1)>0
Donc Apest constamment < 0 ; la fréquence p tend vers 0 : il y a fixation asymptotique du gène a. |
: e) Cas limite 8 = 1, as \ R c'est-à-dire : Ne
= pates k Le (4 + 1)":
: Les génotypes AA et Aa sont alors équidistants de O E
L'expression de la variation Ap devient :
ns Ap = kp(p — 1}
Dons | Eu (+ D>0
“Donc Ap est constamment > 0; la fréquence p tend vers | : il y a fixation asymptotique du HET RENe - |
DJ ças: k e @ = - Dia
De ce cas, les formules (3) ne peuvent être considérées, car le paramètre B n'existe pas. Le calcul de la variation Ap conduit au résultat suivant : À d
Ap = BpT = — 2 hp (p — |)
Le
en remplaçant dans l'expression (2) de T la valeur optimum O par :
RSS A+ D —2 É. ee arr
Re Ap est donc < 0 quel que soit p. La fréquence p tend vers 0, et il y a fixation asymptotique du gêne a.
