SU DAT
Cette discussion montre, en résumé, qu’il y a fixation du gène À (ou du gène a) lorsque le génotype le mieux adapté est l’homozygote AA (ou aa) ; et qu'il y a équilibre asymptotique avec coexistence des deux gènes, si le génotype hétérozygote Aa est le mieux adapté.
Cas où il n’y a pas de dominance : d — 0.
Les formules (2) et (3) ete :
h= Oje—1 (3) B= h+1/2= OJ« — 1/2 R=—= 2x
On a donc toujours À > 0 ; Ap a le signe de (B — p). La discussion précédente (2° cas, à > 0)
donne alors les résultats suivants :
Si O< «/2, il y a fixation asymptotique du gène a:
Si O> 3 0/2, il y a fixation asymptotique du gène À ;
Si a/2 <O <3 x/2, il y a un équilibre asÿmptotique avec coexistence des deux allèles, la fréquence limite du gène À étant O/« — 1/2,
Rapidité d'évolution de la population.
Afin de préciser davantage la rapidité avec laquelle la population atteint son état d'équilibre, remarquons que Ap est la différence première de p, fonction du temps, lorsqu’ on prend comme unité de temps la durée d’une génération ; l'intégration de cette différence première se ramène sensiblement à l'intégration de :
dpt À = ko (p— 1) p—f) c'est-à-dire à la quadrature :
ne à Pop (p — 1) (p — 6)
ce qui donne :
1x p ] l—D 1e l p —$ (7) k=—L—+ Ste E Pope ET pe PO D M 6
Nous distinguerons plusieurs cas suivant la valeur asymptotique de la fréquence p : 1 kR<0e@B>Ilouk> 0etB <0: p tend vers 0.
L'expression (7) montre alors que :
ds OÙ :
É PRE Bb EM fo om iTé ne ) ae On a donc, lorque { augmente indéfiniment :
et
en posant :
| 8 Lg C= pe | (1 — ps BE) È sn AE Comme Gk est < 0, p décroît et tend asymptotiquement vers 0 comme la fonction exponentielle décroissante :
Ekt e 2 k>0eB> 1: p tend vers I.
L'expression (7) montre alors que :
ESP rip pre L (I Ykt——©L—+—-L Rep F B Po fé be. B ou :
(ES re)
] TT Po Po
PET ES On a donc, lorsque { augmente indéfiniment :
aa
en posant :
1—8. P Cr (I Ds po) £ 2] Pot ip + 9) Comme (1 — £) k est < 0, (1 — p) décroît et tend asymptotiquement vers 0 comme la fonction
exponentielle décroissante :
(LS Rt
3 kR> Oet0<B <1: bp tend vers L.
L'expression (7) donne alors :
DER no. P L = 66 — D ki— (6 Ph ns ne .
po — B
OÙ
5 BE—DE ERA en
On a donc, lorsque t augmente indéfiniment :
B(B— 1) kt [P—B| 2 Ce
en posant :
Sn A CA
Comme kB (8 — 1) est < 0, | p — B | décroît et tend asymptotiquement vers 0 comme la fonction exponentielle décroissante :
B(B— 1) kt
e 49 Cas limite 6 — 0: p tend vers 0. (AA et aa sont équidistants de O.) Nous avons vu que l'expression de Ab est alors :
Ap = kp°?(p — 1)
> pe Lx (ED
s Meet dd Ur.
| pi" Po Po 1 — po
pRt = 1 — pipe — pLp + pLpo + pL (I — p) —pL (1 —p)
>: “quantité qui tend vers | lorsque p tend vers 0. Donc, lorsque { augmente indéfiniment, on a :
D à (Mau us
: Asymptotiquement, la loi de décroissance de p est t harmonique : p est ere proportionnel
au | nombre des générations.
- . * Cas s limite 6 li sp 1e vers (AA et Aa sont téquidistants de 0)
L expression de Ap est alors : | | ee A = hp (1) 4 Done de Ï de à de : :
Ce te Ag= . noie CE
Nous sommes ramenés au cas précédent : lorsque { augmente indéfiniment, on a :
. [a=i=osiie) où &= 2m + D
6 Ca parties h = A — “D 2d: L tend vers 0.
Nous avons vu que l'expression de . est alors :
p — EUR es 1)
ce qui conduit à la quadrature :
D Dee. — 2 ht — 2 on
On en déduit :
p Zuéht 1)
fonction exponentielle décroissante puisque À est < 0.
Etude particulière du cas de la dominance complete : d = 1.
Nous supposerons tout d’abord h = 0, c'est-à-dire que les deux phénotypes ne sont pas équidistants de l’optimum ©. Les formules (3) deviennent alors :
et l'expression de la variation Ap est :
Ap = kp (p — 1}?
Ap a donc le signe de k, c’est-à-dire de h.
En remplaçant l'intégration de la différence première par une quadrature, on obtient :
fe a
OU
] ] 1 —}p (10) a È : lp 2h pe une Var
1° Sih > 0, c'est-à-dire O > «, ce qui signifie que le phénotype À est le mieux adapté :
Ap est > 0 ; p augmente constamment et tend vers I lorsque { augmente indéfiniment : il y a fixation asymptotique du gène À.
La relation (10) s'écrit :
kt(1—p)}=1 A (1— p) L(1 0 Ep) L (1 — po) +(1 —b) Lp — (I — p) Lpe
Le deuxième membre tend vers 1 lorsque p tend vers 1. Donc, si { augmente indéfiniment,
on a :
