TABLEAU II

1%; Enfants | ; | Parents é

père AA

mère

1/2 p° * 2 pq

1/2 p° + 2 pq

un p° * g° 0 3 |: 1/22 pq x p° 1/2 2 pq + p° D: 1142pq + 2pq | 12299 x 2pa | [42 pq x 2pq

= 1/22pq « q°

1/22 pq « CE

ER ph

1/2 q° « 2 pq

M H;x) + M (HiHL) + > ’M ie 2)

et, d’ après la remarque que nous avons faite :

ee.

MH) = M (HUHD + MH)

5 ; ou encore :

D Fr,

Mix) UE + M x) — MH) # à

MEN EU , en posant :

2 MŒHD—MŒHH) |

DÉS, 7 Die

on obtient :

(31) MG) — M (Hix) = M Gn) — 54

Calcul de g:

Le tableau III permet, en raison de la remarque faite au début de ce paragraphe, d'écri l'expression de la moyenne M (H:Hb) : :

M (HH:) = (p° # p°) à + (p° x 2 pq) ( + 5)14 + (p° x 9°) ÿ° + (2 pq » p°) G + 4 + (2 pq x 2.pa) G +25 + R}/I6 + (2 pq » a°) G + A4 + (a? » PJ + NS x 2 pa) G + k)°/4 Le a + q°) k° ï On a de même Pre de M (H:°) :

M (Ha) = (p° x p) à + (p° & 2 pq) (+ 5/2 + (pt # qi + 0 .pg & PJ +2 EC ra 2h) 27 TRIA + (2 pq + q°) (7° + R9/2 + (q? + p°) 7° + œ + 2 pq) (? + e mA Ca Et De d'où l’on déduit :

8 = (pq # p) (Gi — 5} + (pq x 9 G—k) — (pq + pa) (G— 252 R} 4 ue et en remarquant que : e x a È Fe FE pq * p — p°q (1 + uy290) + 0 (u°) + y100 = T = 0 to pq * q = pq* (1 2 4y200) + 0 (u?) car y300 — == S = == 0 (a) et: TETE T0 pq x pq = pq (1 + 2 uy206) Pet on obtient :

= pr ipE D + ap AE . 1 + agaro [PO +aG— D — Abe 2 . 00.

Introduisons alors les résidus de dominance m, n, r, et posons : 10 — jo — jo — ko — € i—j=e+m—n

Sp Et comme la condition d'ajustement (1) donne : pm + qn = 0 (u°) ; pn + qr = 0 (n°)

on peut poser, avec l'approximation adoptée :

Mo à

D os re Le: | m—n = qC n—r—=—pC

| et en écrivant :

i—j=.e +; j—k=e—pC; i—2j+k=C

l'expression trouvée pour g devient :

Vo " J paC (33) | EST CE ee + 4y200 (e? + jai ee) |

Or e et C sont de l’ordre de grandeur des contributions de chaque facteur ; si le nombre n de ceux-ci est assez grand, le coefficient de # dans (33) est de l’ordre de 1 /n°. On a donc dans ce cas :

Be:

3 C: € S | 8 = pq (et + ÈS) + 0 (un) |

et on obtient pour £g l'expression approchée :

3 paC:

pq )

69 = ve | Sex pq(e + 2

- Pour interpréter cette. expression, rerhar dons avec M. MALÉcoT, que les CoMmEUOnS génétiques sont proportionnelles à à e (:) ; en effet, les relations :

| er + qko = 0 (aienes de (2)]

entraînent :

5) - HR io = 2 qe ; jo = (q—ple; RCA

On a donc :

M (G:) = p'io? + 2 pqjo? + q’ko° = 2 pqe* On a de même d’après (32°) :

M (d?) es p°m? + ? pqn? + q°r° —— p°q°C?

et l'équation (34) devient :

L'éauation (31) donne alors :

M (xixe) = M (x:°) — > M (G?)/2 — 3 x M (d°)/4

ce qui s'écrit finalement d’après (15°) et (21) :

(36) M (xx) = V — Vo/2 — Vo — 3 M (D°/4 + 0 (x?)

On en déduit, en tenant compte de M (D°) — V — Vs, la valeur du coefficient de corrélation

entre frères :

9 = M (xx)/V = 1 — Vof2 V — aVSN —3 (V —Vo)/4N

ou, en posant :

d = Vo/V

67) pren Ve

Remarque. — L'expression (37) peut encore s’écrire en posant :

a rs p = 5 (1 + A)/2 + (1 —:5)/4

Il est curieux de constater que cette expression ést identique à celle qui a été établie par M. MALÉcOT et prévue par M. Fisher dans le cas d'homogamie qu'ils ont étudié (1). Mais la quantité À ne représente plus ici le coefficient de corrélation entre z et z, puisque nous avons vu que ce dernier est nul. Re

(1) Cf. G. Maïécor, Thèse, Paris, 1939, p. 95.

Comparaison avec le random mating :

Contrairement à ce que nous avons trouvé pour la corrélation père-fils, le coefficient + n'a * pas la même expression en fonction des variances V et Vo que dans le cas du random mating. < Lo trouve en effet dans ce cas :

go = (1 + d)/4 = 80/2 E (1 — 39)/4

En particulier, si nous considérons le cas où il n'y a pas de dominance, nous avons vu que les . coefficients de corrélation père-fils 9 et Po sont les mêmes ; les coefficients de corrélation entre frèes + et ?o sont au contraire différents ; leurs valeurs sont :

= (1 —2 xV)/2

__ Le mode d'union sélective adopté entraîne donc une diminution du coefficient de À corrélation entre frères.

Remarque. — Il est possible d'établir directement l'expression (38) du coefficient de corré- - lation entre frères dans le cas où il n'y a pas de dominance.

En effet, si on fixe la constitution génétique des parents, les constitutions, des batahts deviennent stochastiquement indépendantes et on a :

a Guix) — [M GE trs)

Si l’on désigne par 7 et r les Here des ren dans lesquelles se trouvent les parents et si l'on envisage tous les cas SU on a.

M ES = Eger (1 + ay + ay) (x + x)*/4

L M Go M (x°)/4 + M (&:)/4 + M (xx)/2 + M (x°y)/4 + M (x°y)/4 + 4M (xxy)/2 + M (xxy)/2 + 4 M (y) 4 + 4 M (x°y)/4

Or, puisque il n’y a pas de corrélation entre conjoints :

MG = MG) = MG) — M Gi) = M y) — 0 et il vient Aalent :

Max) = M (902 + M (x)2

4 soit en remplaçant y par son expression (IV-11) en fonction de x :

; : Fe y=—x +20: +V M (xax:) = V/2 — [M(x‘) — 2 OM (x°) — V?] #2

DTA EE

Les contributions des différents facteurs étant, selon notre hypothèse, petites et les facter très nombreux, l'effectif de la population n'étant d'autre part pas limité, on peut suppos que la loi de répartition de x est sensiblement gaussienne, et on a alors :

M9 =13,V: ; NG)=0 d'où :

M (x1x:) — V (I —2 uV)/2