ÉVOLUTION D'UNE POPULATION LIMITÉE MAL ADAPTÉE
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Z est une solution de (3) qui s'annule pour x = 0 et x — £. C'est donc une série de Sturr
hr 4
La solution stationnaire de l'équation (3) qui satisfait aux conditions (5) a pour expressior
poë Q | 8) — bte DH
Posons :
GhD—s@=2GD
Daff
Liouville de la forme :
ZGD= Shi 4 i=| | PE
chaque produit f;h; vérifiant (3) et fi étant nulle pour x — 0 et — :£; les constantes ki éta
déterminées par la condition (4). re Ù
Les fonctions f et h satisfont à l'équation : fs
ste D — HAN =—
s'étant une constante.
D'où :
hi (t Heat et :
(@) | HI) — 9 LAN + sf, = 0 |
les constantes s; étant les valeurs propres relatives à l'intervalle (0, £) de l'équation différe: cielle (7). Et on a finalement : Lee VS ES SC
__ po fe 0 HIS ke 1e
Il est nécessaire de préciser ce résultat avant d'utiliser (8) pour de recherche d' une meilleu approximation de la fonction F (x, t) et de son expression asymptotique.
Détermination des valeurs propres si et des fonctions f; :
Transformons l'équation (7) en prenant comme nouvelle inconnue
* ] Let
On a immédiatement :
el u
XX la XR—-I) — 4 Nsf = 0
ous sommes donc amenés (en changeant de notations) à chercher les solutions de l'équation différentielle ë
P x (e— D y — EG — 1) v° — 4 Noy =
qui s ’annulent pour x = Üetx — 1,età RE les valeyrs propres s.
Or, l'équation (9) peut s écrire :
LS | kg" + x. AG) +y.B (=
AGDE; Are
A (x) et B (x) étant holomorphes de le domaine de l’origine, l'équation (9) est du type de Fuchs et a deux intégrales régulières distinctes dans le domaine de l’origine.
. En posant :
on obtient, après substitution dans (10), en annulant le coefficient de x’, l'équation déterminante :
4 Elle a deux racines | et 0 : comme celles-ci diffèrent d’un nombre entier, les deux intégrales considérées sont de la forme : |
m=x.v0 ge = x . () [CLogx + x x]
les fonctions (x) et x (x) étant holomorphes dans le domaine de l'origine et ne s’annulant pas
pour x — 0. Il’ en résulte que y: ne s'annule pas pour x — 0 et donc que l'intégrale générale sys + Ayo ne peut s’annuler pour x — 0 que si À 10;
Les intégrales cherchées sont donc de la forme
PS
y — Àyi Précisons par suite cette intégrale y.
Posons :
yi = x (uoE uix Æ wesh su + mx + 33... ) d’où :
Vaio Uore 2x + nu LUE ie us PO UE EX mL S ol den te
En substituant ces valeurs -dans (9) et en annulant le coefficient de x”, on obtient la relation de récurrence :
(11) ni+laz Nil +9—A4Ns] uns — 6 (n — Dur
qui permet de calculer tous les coefficients u; à partir des deux premiers wo et u1. Or on peut prendre arbitrairement : :
et-le coefficient 1 s'obtient immédiatement en annulant le coefficient de x après substitutior dans (9) des expressions de y1, y1° et ya” : on trouve :
a = (Ë — 4 Ns)/2
Calculons alors une valeur approchée de 4, en tenant compte de ce que Ë est petit pat hypothèse. Posons :
Un — À; Re B,Ë Se 0 (£?)
On déduit immédiatement de (1i) :
nn +) A = nin—1)—4Ns] A,
OÙ
(12) A+ en (n % 1) —4Ns
ce qui montre que À°x" est le terme général de la série hypergéométrique de somme :
GA (B, y, 2, x)
en posant :
(13) nn + 1) — 4 Ns — Cp tp
De même la relation (11) donne :
(14) nn + 1)B = [nr —1)—4 ns] Bi + nAs-1 —(n — 1) A2 |
Or on peut écrire :
Re + Ge — be) à 4 0 € Mais on déduit de (14) : Ç | BR. nmTD—AN Be, | der nel An=1 n(n +1) An n+1l A, ‘n(n+1) d'où, en tenant compte de (12) : : £ B, A,B;-1 Î À, 2 n— |
A: A = RL A nr Cl) et finalement :
Un = 4 ne nfn—1l} | Hi nn +) "În+l nn+D{n—2)n—1)—4N;s]
ce qui donne, toutes réductions faites :
D nt) — A4Ns] bee AN et + 4 Ns)
Un—] nn +1) [(n — 1'(A—2) —4Ns] ou encore :
(15) Untl In(n +1) —4Ns] Lo en LS ER 2 A AE
Un (Ga +1) +2) mn—1) —4Ns]
Le rapport w,+1 /u, est de la forme P (n) (n + 1) Q (n)
Lt 2 MAMA », * lies Pr 2 EN icé } F2 LT che Ds dar. fi v = 4 Se je Te 4 SR CT An DR CESR POS PRE DT 1e ST ETES “ ATV Ÿ
CPS A LE ae DE MD
où P (n) et Q (n) sont respectivement des polynômes da quatrième et ie troisième : der
série de terme général u,x" est donc, avec l'eppronnetes adoptée, une. série h y e
du quatrième ordre. 5 DIR AU AuTNTERr Pour obtenir (toujours avec la même Ne l expression de ü » cherchons des v ‘approchées des racines du numérateur et du dénominateur de G5). Rs É
Remarquons tout d’abord que n(n— 1) — 4 Ns et nn 4 D — | TRADECANEENE opposées ; 1l résulte donc de (13) que le dénominateur
+ ei L
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# ; ; ; Le rs ns LE feat--dire de - ae Be ste g. Ÿ: ne ces racines cs par, sr
À : ACT. . = ‘: PAST ANS EUR | On a, en tenant compte de : R ve Hess FE D=aNee 0
qe | et en a négigent 0 (GI et LO &9:
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16 + 36 . 4° Dan + +96 +. an
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CE LUEUR F 5 s d = LIRE EE + Ne HE l’expression approchée : ke SARA SERRE ASSET Ne RE
