LA

Ge — flo Go dx

ÔF : À Montrons donc que la dérivée “5. “converge uniformément vers une fonction 9: (x) x ù

lorsqué { augmente indéfiniment.

En dérivant (E) par rapport à x on obtient :

OF Or

à Fr | eo 2) eu + X|+ ere

ot (E:) dE [Re oer-2e |-QE-h2n

En tenant compte de :

@F CA REA 0F For ÔF'':0E És be dei 00 Re

ona six est > 0:

OROFITOR OF, Rd nu 0 une

EEE Ou] + an + CO rt (7)

DOS OR 20€ oF ei

EG Le x +G0— D | +65 EE zu |

et les inégalités contraires si x est < (.

Pour x — X, assez grand et > 0, les deuxièmes membres des inégalités (17’) sont tous

0] ÔF : :

deux > 0; ——(——) est alors > 0; donc —-, fonction de { non décroissante et bornée Ôt Ôx oX

(on a en effet 0 < 5X = eX) tend vers une limite w; (X).

D'autre part, les inégalités (17°) montrent que l’on a quel que soit x au moins l’une des inégalités suivantes :

Soit alors un intervalle quelconque de borne supérieure X et soit M; le plus grand des maxima absolus dans cet intervalle des deux fonctions de + :

tre

ni suffit de montrer que l'on peut déterminer T de tele sorte que, pour { > T, on ait quel que it x dans l'intervalle considéré:

r, d’après (19°) on a

2 pre

dt [dx Ôx oX ox?

se Go “ Ft t) | = Ex Œ&, de M,

Mais, X étant > 0 assez grand, les inégalités (17) page 9% BETDeteRe d'écrire :

dF (X. »&F(X,) D M hd | ôX ne à © XAN + (20 —3 0) Xe

On a par conséquent :

le ÊT s

“ÿ d ÔF (X. à . Mid ET, TAË lee fo ro

et il sufitr pour tele (20’ ) de prendre Fons T une eus telle que pour { > T on ait :

a —3 a) Xeu + XY4N

re qui et toujours le

: | dE On peut ‘démontrer d'une façon analogue que la dérivée — converge uniformément vers

re une fonction limite En effet, dérivons Œ): par ae à F on obtient : a or | dF | Fe pue = ENT GES fun +02] LS . cr eo mL AN GO à an 4 ne] QE 2 2 vu

En tenant compte de :

SF. F àF F DRE UT Li ee dx Ôx Ôx® Ôx*

on a, si x est > O0, les inégalités suivantes :

Ô re > a FOPN+G 7 [nie are] PE LES a : BA N + (20 — x) xt — 6 au] Ôt Crete SAN + Ge 2 0 se ne Se

(YA N + (2 0 — «) aan — 4

où les inégalités contraires si x est < 0, | Pour x = X > 0 assez grand, les deux deuxièmes membres de (1 7' à sont > f e

dF (X, &t) L ox

(X, t), non décroissante et bornée (0< —

e y; tend vers une Bit

te ox?

la fonction

finie lorsque { augmente indéfiniment. NE M D ER

Les inégalités (17°) montrent que l'on a quel que soit x au moins l’une des inégalités :

ù dF “ere 2 [UN + fu +022] + AN +602]

(18 8”) | s | eu — 6 a | |]

Fr SRG [rennes

Considérons alors un intervalle Atos de borne supérieure égale à X. On a, en désignant par M, le plus grand des maxima absolus, dans cet intervalle, des deux fonctions :

+|raN+e0—a]

IN + |2N+ 20924 | +] MAN + CO Dame l et ENTUNTRO SI AN ee

l inégalité :

La Go |< te dF

Ôt Ùx°

On en déduit par un raisonnement identique à celui ÔF (x, t)

RE A ae fonttion a converge uniformément vers sa fonction limite.

D 4 EE, CT Te que nous venons de faire pour la fonction

Nous pouvons maintenant prévoir la forme de la loi limite de probabilité de la fréquence p. En effet, nous avons vu que la fonction

end uniformément vers 0 lorsque { augmente none ; il résulte par ailleurs de ce qui

pr:

Ôx FE 2 de F Ge, 1) doit donc vérifier l'équation :

ont respectivement pour limites — et —. La limite + (x)

dx dx?

précède que Le dérivées —

a. LÉ À -1 dx dx? LÉ

4 > “Hobf ue Le

où a et b sont des constantes à der er.

… Remarquons tout d'abord que, pour 2 0, l'équation (E) done

dF | ct ne la fonction F (x, ?) est hanaure et :

D sO=FOO—I d'où e SR ab l:

La fonction + (x) s'écrit donc :

LÉO … lea -D+t

C'est la fonction caractéristique d’une variable aléatoire qui ne peut prendre que les valeurs | (avec la probabilité a) et O (avec la probabilité | — ie La population tend donc asymptotiquement vers l’ homogénéité. .

__ La détermination, sous certaines hypothèses complémentaires, de la valeur de a ainsi que de la rapidité avec laquelle cette homogénéité est atteinte fera l'objet des chapitres suivants.

D. ChwyTtEnu