DUR = 225$ =N2N
Onaalors 6.2; G (2, — 1, 2, x) et (2, — 1, 3, x) sont des polynômes du premier degré et Œ(— 2, 1, 2, x) est un polynôme du deuxième degré (°).
On calcule facilement l'expression de y: à l’aide de (22) ; on trouve : mx ll topo + 0 (€?) 2 2 à
F re Fe : : Res expression qu'il est d’ailleurs aisé de retrouver directement avec l’approximation convenue en calculant les coefficients Un à partir de la relation de récurrence (6) : on trouve effectivement que pour n> 3 on a :
un = 0 (E?)
39 Cas général : k = p > 2; s = p(p — 1)/4 N.
On a alors : B5=p; Y=1—p<0.
A (p, 1—p, 2, x) et (p, | —p, 3, x) sont des polynômes de degré p— 1; Œ(p — 1, —p, 2, x) est un polynôme de degré p (1).
Il en résulte d’après (22) que y: est de la forme : WA P (x)
où P (x) est un polynôme de degré p : on calcule aisément le coefficient du terme de degré p de ce polynôme : il est égal à :
opel D? DHL
En résumé donc, les valeurs propres si de l'équation (9) relatives à l'intervalle (0, 1) sont : si —i(i+1)/4N (i entier > 0) l'intégrale correspondant à la valeur propre s; étant, avec l'approximation adoptée, de la forme :
y = xPin (x)
(1) Polynômes de Jacobi.
Pi+1 (x) étant un polynôme de degré i + 1.
, . f; . . : DIS a Ces résultats sont évidemment conservés si l’on revient aux notations primitives en remplaçant x par x/Ë, et y par f;, l'intervalle considéré étant alors (0, ©).
En particulier, les valeurs propres s; étant positives, la fonction # Fr Sit Z (x, D — Ehie fi (x) tend vers 0 lorsque { augmente indéfiniment, comme l'exponentielle : — 1/2 N e
car la plus petite valeur propre est :
Nous précisons ainsi la rapidité avec laquelle la fonction G (x, t) tend vers sa limite g (x).
(oe) Détermination des k:; et étude de la série Z. (x, ?) — D be. “ (x).
= On peut écrire l'équation (9) sous forme réduite en posant : £ Ex é—I dh * Le
h= — Fe d'où HI -
e — | | es
et :
y (x) = T (h) On obtient :
D: RES Ï 2 (23) Ÿ AP an a Co à Bae ro
Pre2êx y (I Tune x)
Or on a :
Nous sommes donc amenés à chercher des intégrales de (23) non nulles, et nulles pour
h= let h = 0.
Peel à Le a
On sait (*) que la suite de telles intégrales est orthogonale relativement à la fonction :
& | bre 2 | H (D = 4N(e— 1) | HP
et à l'intervalle (0, 1) et est complète relativement à cet intervalle. C'est-à-dire que l’on a :
4 LI ] rés ’ : en 1 Se A "A * (24) Re HT:T;dh = 0 | Ne CP ae
et qué, d'autre part, si Y (é) est une fonction continue dans (0, 1) la condition : fr
| à 2 ; fe | À RE k [ YTidt = 0 Pr ve
entraîne, si elle est réalisée quel que soit 1, la nullité de Y (f) en tout point de (0, 1).
Ces remarques permetient de cles les nombres ki. En effet, par suite de la condition initiale :
Ge DE
on doit avoir :
(25) Z (0 = G(,0 409 = So ee -
ou, en stenant compte des changements de variables et. que nous avons faits LE puis se
Ge > ki T: (4) —
- (1) se E. PicarD, Quelques problèmes aux limites de la théorie des équations différentielles, rss Gauthier-Villar : éd., p. 36 et 67.
S1 l'on pose :
on obtient à partir de (25°), en tenant compte de (24) et de (26) :
LS UNE 0 *e
où Z (h, 0) représente l'expression (25'). Et, en revenant à la variable x qui figure dans (9)
et (22) :
joe | GE ; Poë
Fan he fe ptet ho, 0 Ê : M;
sie (1 — x) e — |
Mi étant donné par :
Î PNERE | oi M: — “ na sen ue dx rl
Les intégrales (27) et (26”) ont toujours un sens, les polynômes y; étant tous divisibles par x (1 — x).
Les quantités À; étant ainsi déterminées, on sait (1) que la série Z | k;T; (h) | est uniformément convergente dans l'intervalle (0, 1), que la série X A;T; a pour somme Z (h, 0) et enfin que la série Z A;Tie “it, umiformément convergente par rapport à h (0 < h< 1) et t (t> 0) est dérivable par rapport à {et admet une dérivée seconde par rapport à h.
En revenant à la variable x on a donc :
(28) se a >. — ske Sig (x)
- (1) Cf. E. Prcarp, op. cit., p. 79 et suivantes,
et:
(29) = SE De SR hie (x) ; er de 2 + m (x)
pour 0 < x/£<1l et 1>0.
Afin d'obtenir une meilleure approximation, tenons compte des termes négligés jusqu'alors dans l'équation (1) en substituant dans ces termes, à la fonction F, la fonction approchée CD
que nous venons de déterminer. L'équation (1) devient :
F oF àF | IG PC. Le pe.
co | T-GDe—paan | a) | OX dx VOL el
Et comme d'aprés (6) :
GG 15 2 7 ‘GC. PC a, 2.
ee et —————
Ôx sa CPP ANTE 0x? 0x? OX EE OX sa dx
on obtient en tenant compte de (29) :
29r àF F sn LUN set %T :
(31) 5) — œux . à C LU RE 2U NN sl |
d'où, en tenant compte de la condition initiale F (x, 0). AS
Ci er à + f'&- DE Danse D |
en posant :
(33) S (D = vis RE CET
* Or, on a d’après (7) :
sa taf: N AE AN TNT"
fi — fi = — A4 Nsif/x (x — E) en dérivant :
PE INR) LAN Cr D +
: L'intégrale (33) s'écrit donc :
6) | San
