PE

Il nous reste enfin à

montrer que la série Z (x, t), qui est évidemment uniformément convergente par rapport à { ({ > 0), est dérivable terme à terme par rapport à {

Il suffit pour cela de démontrer la convergence uniforme (pour | x | < 1) de la série de terme général :

UP NET SCT 2er)

Or, on a d’après ce qui précède

Sr 4

ee SG+LZi+201< D ele zen, 2i+2,»)|

Het 5 Du el

Or, cette dernière série est uniformément convergente au moins pour Ixl Arte] He Deer

, puisque est le terme général de la dérivée seconde de la série entière X kix! es convergente au moins pour |x|< I

On a donc finalement :

: 0G (x, i (6) en 0 Fes

Pour obtenir une meilleure approximation de la fonction F (x, t), nous tiendrons compte

des termes jusqu'alors apliéés de l'équation (1) en substituant à la fonction F, ET ces termes correctifs, la fonction G (x, i) que nous venons de déterminer.

On obtient :

of DE è de G 0G G ,oG #G AN D ee +20]

d'où en tenant compte de (16) et (16”) et de la condition initiale :

Ë L Cher ÔF Ne F »?

EG Eee + F G Fa) 4N dt

t + (2 Ouù — ou) x e She s (f' —f;") dt

et en dérivant par rapport à x :

6 i t er FF » dF OF x ur L Grant L Gr 2NS

t + (2 Oou — x) Ve She (fi —f") dt

Ë FICOw Ted] fe She GR —f") di | 0

t ; — 2 «°ux se 5 kie Re CH rte) dt

PNEU (0, Ô) EN (ag (2 Ou — ou) e Z kie a [" (0) ee () Ji F0

Ôx É — 2 «y h She M [f (0) —f"" (0) ] dt

On a donc pour x = 0 :

ou encore :

(18) : Gosse

en posant :

é t t Es G (19) |L(x, 1) = (2 On — ax) she roro [| she (ff di

É à € se sit FARMER) 1 Ra NT 0 fan (Rd ne VE PRESS

Si Si

et:

sn tor-ra ste GR EG) 0 /

S1 Si

Or d’après (3) et (6) :

(20) Shi Pr Doe ee fu .

et on a en dérivant :

(21) E kif: = Hot er FE

D'autre part, on déduit de l'équation (7):

(°° — fs = 4 Nf/x° et en dérivant :

Ms = ANS Je — 2 Nfjxs

et donc d’après (20) et (21) :

: ki CG — fr) (po

— po” + po — 1) 4 N/x°

ets

RG A) | (pur

— poë + po — 1) 2 N/xt — (po) — pue”) 4 NJx°

Supposons que { augmente indéfiniment, l’expression (19) tend, en vertu de ce qui précède, vers la limite :

L (x, 00) = — (2 Ouu — ax) (PT = poe* + po — 1) 4 NJx°

(22) — 2 au (PT pot + po — 1) 2 Njx°

+ 2\œu (ete — pue) 4N/x°

Cette expression permet de déterminer la limite © (x) de la fonction F (x, ?) lorsque { augmente indéfiniment ; on a en effet d’après (18), en supposant que les trois intégrales :

CF ®F ToE &F QE EF d? à? x? 2 x à EF y?

D 2 NT . Ge aan; Je Gr ait

sont continues et tendent donc vers 0 lorsque x tend vers 0 :

Montrons donc la continuité de ces trois intégrales pour x = 0.

En supposant, par exemple, x > 0 (sinon il suffirait d’inverser les inégalités), les inégalités (17) établies au chapitre I (p. 96) s’écrivent :

OH. dE 2 SE 0F Re — 3 à) x rl < Fan ar nieee MÉET 00e

®F vx?

7 1202 ru + À]

Ô 0? k ere ; Or on a vu que DE. — LE est une fonction > Ü non-décroissante de x. Soit donc X > 0

Ôx Ôx?

AT Ne assez grand pour que | (2 O — 3 à) Xou + IN ] soit > 0 ; on a alors pour x < X:

ÔF 0*F x 6F(X De) A0 Sn Xe QUE Ôt -