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0 < es DÉTOHONESS Diiicns . —
SMTGIFDU+). Gi+i+D. eue
Comme d'autre part on * quel que soit Po : ne | pese ">
Ga dédiut de (14) linéealie: |
Aile n+ll!
5) || tels. the
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En faisant la somme membre à membre des n premières inégalités (l 5) Gone ne ne
n n ..n—Î sv | > Hl< Diisiite Les D lit+ nr el LE ER At
et donc a fortiori :
ki
n > er]
<'e2 + (e—1)/2 S fa i=|
et finalement :
2 Lt | < 2(—2)G—9
Le)
ce qui montre que la série > ki est absolument convergente.
Or on a :
ee] 00 LZGHL2i4+291<1+ Du lal<s+s D la:
ou :
Andorre drel lp
On peut écrire par conséquent :
S Iul- > lRefil< S Ihr SGH 2i+2,1x1)
“B. D ialsl
Cette dernière série est convergente au moins pour | x | < l.Ilen . que la série de terme
général U: est absolument convergente au moins dans l’ Hole [x | < Remarquons d’ailleurs que la série est uniformément convergente dans cet intervalle puisque
la série :
eidthr: Salt
l’est.
Mr ET UE
La convergence de la série :
Sika lt G+12i+21x)
montre que la série double :
est absolument convergente ; on peut donc, sans changer sa somme, grouper ses termes dans. un ordre arbitraire ; en particulier, en posant :
CE on Lo rh €
on peut la mettre sous la forme :
où À, d’après (14) n’est autre que le coefficient de x” dans le développement de Z (x, 0). La série 2 U; a donc bien pour somme Z (x, 0), au moins dans l'intervalle | x | < 1. On peut voir directement que la série ? Ü; peut être dérivée terme à terme. Posons en effet :
au dx
NE WE avec :
itl dFG+I,2i+2,x dx
W: = kix
Il suffit de montrer que les deux séries ? Vi et z Wi sont uniformément convergentes.
Or, d’après ce qui précède, on a :
SV < 2klGEDIxl SGHI,25402, xD < (1 +el*lp .2@+Dlkllxl La série Y Vi est donc uniformément convergente au moins pour | x | < |, puisque |
(+eltl}2s(G+DIkI xl l’est : (i +1) ee est en effet le terme général de la série dérivée de la série entière Y pre
convergente pour | x | < 1.
Considérons de même = W;. On a :
dEG+I2i+29. i+l GG +2, 2i+3,x)
de ASE, - Or, en posant :
PGHLZIF2D= Tu xl et GGH22iH3,9= 0, x}
on a immédiatément :
D à Cr F2 (HIS D 2542 ;%0
lu; Giti+DGED 2itir2.
pl
On peut donc écrire :
22e lee 2 (42,2143, |xD<2»lklal SGH 262 1x)
cette dernière série étant uniformément convergente, la série X W; l’est également.
: " ee dU On verrait de manière analogue que la série
dx
; AE : nes est dérivable terme à terme, et ainsi
de suite.
La série de terme général :
fr, NAN ENS Er Ceipsss
est majorée par la série > | U; |. Il en résulte que la série :
EI MAN EE Sont ZGD= S ke a AE AE CG+I,2i+2,x) est également convergente uniformément par rapport à x et dérivable par rapport à x au moins
pour | x | < 1. On a par conséquent :
CNRS é SH HADIENSE ; = po + > ke f(x)
Ne Se tt DRE
co ic” — à (i 4N,,, EME " ne + > Le iG+Dt#} f
