DÉTERMINATION DE LA VIE MOYENNE A DIFFÉRENTS AGES

(Voir tableau xvm).

Deparcieux,'dans son Essai sur les prohabilités delà vie humaine^ a donné une formule qui permet de calculer la durée de la vie moyenne pour une collection d'individus, quand on connaît le nombre des survivants à chaque âge, et que les âges se succèdent d'année en année. Mais cette formule est inapplicable, dans le cas où les âges se succèdent suivant une autre loi, par exemple, de cinq en cinq ans, comme dans les tables mortuaires, publiées par la Statistique de la France, ou bien encore, d'année en année, pour les dix premières années de la vie, et de cinq ans en cinq ans, pour le reste de la table, comme dans V Annuaire du bureau des longitudes. Il y a donc lieu de rechercher une formule plus générale qui convienne aux différents cas spéciaux qui peuvent se présenter dans la pratique. Voici comment j'établis cette formule générale :

Supposons qu'aux âges

se.succédant de A en H à des intervalles de temps égaux à n; et de H en R,

à des intenralles de temps égaux à n^ ; supposons, dis-je, qu'à ces âges, correspondent rospcctirement les nombres suivants de survivants :

nous supposons aussi que R représente le dernier âge de la table, celui

pour lequel le nombre des survivants se réduit à zéro.

Cela posé, dans Tintervalle de temps B-A = n, il meurt a-b individus,

et comme ces individus meurent à des époques quelconques entre A et

B, on peut admettre qu'ils meurent tous au milieu de l'intervalle B-A,

B-A n en sorte qu'ils ont •û^^ -t années de vie, de même dans l'intervalle

C-B, il meurt b-c individus, qui auront n + -^ = -3- années de vie, et ainsi de suite; en sorte que les individus des groupes :

atteindront respectivement les âges :

3n, ^t + î , 2ti + i

mais on peut considérer a-b, b-c, etc., comme représentant les chances

favorables pour arriver à ces âges, et si l'on divise a-b, b-c, q

par le nombre total des individus a dont chacun a la chance d'y arriver, les fractions

a-b b-c ff-h h-i irk q

représenteront respectivement les probabilités pour chacun des individus a d'arriver aux âges (1).

Si maintenant on multiplie les âges (1) respectivement par les probabilités (2) d'y arriver, et qu'on fasse la somme des produits obtenus, on aura ce que Bernouilli a appelé Vespérance de vie, à cause de son analogie avec l'espérance mathématique que l'on considère dans le calcul des probabilités : or, l'espérance de vie n'est autre chose ici que la vie moyenne à l'âge A, et cette vie moyenne, à l'âge A, aura pour expression :

a-b , n b-c . 3 n , g-h (2t + 1)n , /h-i\ / 2t + 2) Vm = — -2=— -2-+ 2 +\^"TJ\^"1^

en tenant compte des réductions qui s'opèrent entre les termes^ cette expression peut se ramener k la forme suivante :

\m^jj(^+^h+^c+ 2g. + h.)+5^(h+2i + 2k....+2q)

ou (3)Vm = |.+i(b+c+....g + l)+^'(l+i+k + q)

Si dans cette formule, on suppose nj = n, c'est-à-dire si les âges se succèdent dans la table mortuaire suivant des intervalles égaux d'un bout de la table à l'autre^ l'expression deviendra

Enfin, si l'on veut calculer la vie moyenne, dans le cas où les âges varient d'année en année, ce qui est le cas de la table de Deparcieux, la formule sera encore plus simple :

Vm - 1 J- b + c + g + h + i + k + g

Je me suis servi de la formule (3) pour calculer la vie moyenne à Paris pour les différents âges de la vie. Quand on emploie cette méthode, on commence d'abord par calculer la vie moyenne à l'âge le plus avancé, et on remonte de proche en proche jusqu'aux premiers âges de la vie. L'opération ainsi conduite marche très-vite, et ea moins de deux ou trois heures, on peut achever par ce procédé un calcul qui, en suivant la -méthode ordinaire, demanderait plusieurs jours de travail.