CRE

IV. Étude générale d'une nappe cylindrique à régime propre non influencé coulant dans un sol homogène sur un fond imperméable, le débit de la nappe n'étant pas limité. — Si le régime de la nappe n’est pas uniforme, nous ne pouvons pas admettre comme précédemment quey = f(x, q).

La valeur de y variant également avec le temps, nous aurons y = f(æ, q, 1).

y est donc, dans le cas général, fonction de trois variables indépendantes.

Il peut arriver, dans certains cas particuliers, qu'il soit possible d'établir une relation entre deux de ces variables, et y devient fonction de deux variables seulement.

Considérons par exemple une nappe à régime non influencé, c’est-à-dire pour laquelle il n’existe pas d’apports d’eau extérieurs ni de déperdition autre que celle qui se fait par le seuil. Supposons, en outre, que l’émissaire, et par suite la nappe, puissent avoir un débit non limité supérieurement.

Pour une telle nappe, la dérivée par rapport au temps du volume d’eau contenu dans la nappe est égale au débit changé de signe.

Si le régime était permanent, la valeur de y serait une fonction de x et de q :

dont la forme dépendrait de la forme du fond imperméable, La nappe étant comprise entre les ordonnées x — 0 et æ — L, le volume d’eau contenu dans la nappe sera

=) fl) de (28)

TO re

» étant le coefficient de perméabilité défini au début du chapitre.

La dérivée de V par rapport au temps sera :

dV of dq

En égalant à — q la valeur de 2 ,on obtient :

2% u | ef CHE ie dt. (29) 0 0gq q

Cette relation (29) donne après intégration : g=?{) et l’on a :

y=flet),xl = F(,x).

y est donc alors fonction de deux seules variables indépendantes, x et 1.

V. Cas particulier d'un fond imperméable horizortal. — Dans ce cas, la valeur de y est donnée en régime permanent par l’équation (19).

1 = KV TRE 9). 19)

Le volume d’eau compris dans la nappe entre les ordonnées — Let 0 est :

À DR V=— #[. KV—3 (Kx — q) dx.

Cette formule donne, après intégration :

4 Va À È V — ee U. Le + KL)2— q2|:. (30)

Telle est la valeur exacte du volume d’eau contenu dans la nappe.

Remarque. — Pour comparer notre résultat avec ceux trouvés précédemment, calculons V en fonction de la hauteur H de la surface de la nappe au point d’ordonnée — LI.

On a, d’après (19) :

A £ IH H?= (KL + 4) ou EE Portant cette valeur de KL + q dans (30), il vient : > s EUOTRES sd Ve

On tire de (Sly E

as [VER L|, et, en portant cette valeur dans (32), il vient en définitive : V=É [HER 1) 21e He + 2 LVD + H| (33) Or, avec nos notations, M. Maillet trouve (1) :

NV = =uLH (1 Le) (= 0pourz—0)

et M. Boussinesq (2) :

2 LIT Pate TEE Or, lorsque le : de M. Maillet devient nul, À devient nul et par suite H aussi.

(1) Marzzer, Essais d’hydraulique souterraine et fluviale, p. 38. (2) BoussiNËsQ, J. Math. pures et appliquées, 1904, IV, p. 25.

RTS

Supposons que H, sans s’annuler, devienne assez petit pour , . Fr. . 5 4 p 1 . .

que l’on puisse négliger H? par rapport à L? et a fortiori par rapport à 2 L?.

Notre formule (33) devient :

C'est précisément la formule de M. Maillet pour :° — 0, ; H Posons maintenant L =" et voyons pour quelle valeur de m il y a équivalence entre la formule de M. Boussinesq et celle que nous proposons.

Pour cette valeur, on aura :

[m (VI + m2 + 1) —2 — mm? + HONTE m2] 5 0 86236 ”

QSITE

d’où l’on déduit m — 1,28.

La formule que nous proposons est donc équivalente à celle de M. Maillet pour les petits débits et à celle de M. Boussinesq lorsque la hauteur à l’amont de la nappe est égale à 1,28 fois sa longueur, ce qui peut être considéré pratiquement comme un cas extrême.

Il est à remarquer que, pour arriver à sa formule, M. Boussinesq (1) a fait l'hypothèse que la charge : est la même en chaque point d’une même verticale, hypothèse que nous n'avons pas admise pour l'établissement de notre formule.

Nous pouvons donc adopter comme exacte la formule (33), et par suite la formule (30) dont elle est déduite et qui donne le volume V contenu dans la nappe en fonction de son débit q.

Mais cette formule donne lieu à des calculs trop compliqués pour être utilisée pratiquement.

Nous envisageons ici le cas de débits très petits. Il est, par

(1) M. Boussineso, J. Math. pures et appliquées, 1904, IV, p. 13.

= he. =

> conséquent, possible de négliger q par rapport à KL et q?

par rapport à HL ES

Nous aurons alors :

SV De 7

Kæ+ (35)

Ceci posé, et par application de la théorie exposée au paragraphe IV, dérivons V par rapport à q.

Nous avons :

aV 2% Ls 1 dq 3 K /q° Écrivant que la dérivée de V par rapport à { est égale à — q, nous obtenons :

Ju UE ft 4 3 VK a

qui donne par intégration :

7 =t+ cie (36)

Fixons la constante par la condition qu’à l'origine des temps, l’'ordonnée de Ja surface libre au point d’abscisse (— L) soit égale à H,.

Le débit q, à cet instant sera donné par :

5] pee .

Hy= K Vo KL d’où GES

en. Ve

Portons cette valeur de q, dans (36) et faisons ! — 0, nous obtenons :

et la valeur de q sera :

Posons :

nous obtenons :