Mécanique générale, par A. Flamant, p

de définilion, M. Flamant continue dans les termes suivants qui sont de nature à provoquer bien des réflexions : « Le « temps, comme l'espace, est partout semblable à lui-même « et mfmi. Nous ne pouvons nous en faire une idée précise « qu'en y supposant * des repères ou époques fixes, à partir « desquels nous mesurons, au moyen d'une unité arbi- « traire, les dislances d'autres repères ou époques déter- « minés. — L'unité de temps sera un intervalle de temps « compris entre deux instants bien définis... L'unité de « temps la plus généralement usitée en mécanique est la « seconde : intervalle entre deux passages successifs, par la (( verticale, d'un pendule simple dont la longueur serait, à « Paris, de 0°i,99384. »

Pour qui réfiéchit, cette définition de l'unité de temps, à la base d'une science mathématique, doit paraître bien singulière, car, avant de choisir l'unité de temps, on a besoin de savoir reconnaître des temps égaux, semble-t-il. C'est là le problème fondamental, car il importe au fond assez peu que y échelle du temps soit plus ou moins grande ; c'est, disons-nous, le problème fondamental, à moins qu'il ne se trouve qu'au contraire ce problème no réponde point à une question qu'on doive aborder pour étudier la cinématique. Or, en fait, la série des théorèmes se déroule sans qu'à aucun moment on éprouve le moindre embarras causé par l'absence d'une définition de temps égaux et sans que, d'autre part, intervienne, en quoi que ce soit, le choix indiqué de l'unité de temps : celui-ci n'apparaît que lorsqu'il s'agit de décrire un phénomène naturel particulier.

De cette remarque on est fondé à conclure que la cinématique ne suppose aucunement qu'on sache reconnaître des temps égaux, ou plutôt, puisqu'on y introduit le temps

1. M. Flamant remarque en note qu'on peut contester la possibilité de ces repères fixes.

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comme variable indépendante, à laquelle on attribue successivement toutes les valeurs, cela montre que l'on peut choisir arbitrairement les mouvements que l'on conviendra, r,ar définition, de considérer comme répondant à des temps égaux ; par exemple, nous pourrons prendre comme temps éaaux ceux qui réi)ondent au parcours d'arcs égaux quelconques par le pendule, et nous aurons même une définition bien plus commode que celle de M. Flamant, car nous décomposerons ainsi le temps en instants aussi courts ou aussi longs que nous le désirerons, au lieu de n'avon', directement dumoins, qu'une décomposition en unités indivisibles. Aussi, d'une façon générale, est-il préférable de mesurer le temps au moyen d'espaces égaux parcourus par un mobile quelconque. Si deux mobiles difîérents se meuvent suivant la môme loi, c'est-à-dire si à deux espaces égaux quelconques parcourus par le premier en répondent deux autres, difîérents des précédents, mais égaux aussi entre eux, les deux mesures du temps qui y correspondent sont concordantes, à l'échelle près, et nous dirons que les deux mouvements ne sont pas distincts l'un de l'autre, au point de vue de la définition de temps égaux.

Ces considérations trouveront bientôt leur application ; mais, pour l'instant, l'essentiel est de bien se rendre compte que le temps joue simplement, en cinématique, le rôle d'une variable indépendante quelconque, en fonction de laquelle se déterminent les coordonnées des points considérés. Alors il est tout naturel d'élargir la notion de la cinématique et de la dégager de la notion de temps, pour en faire une science purement géométrique. M. Delbœuf avait bien.vu cela ; mais il en a seulement glisse une indication au milieu de l'exposé d'une théorie de la mécanique dont nous n'avons pu saisir les avantages <. A M. Cali-

» Essai de logique scientifique, p. 154.

non, croyons-nous, appartient l'honneur davoir mis le premier cette vérité en pleine lumière et d'en avoir tiré parti par une exposition conforme de la cinématique «.

Précisons bien la pensée fondamentale de celte simpL^ application de la géométrie. Soient deux courbes S et T sur lesquelles les posilions des divers points sont déterminées par leui^ distances 8 et t à deux points pris pour origines des arcs. On peut établir une relation point par poiul entre ces deux courbes, de telle sorte qu'à tout poi„i de 1 une en réponde un de l'autre ; c'esl ce qu'on obtiendra en posant une relation eutre s et t, telle que sz=zf(t). Dans tout cela, non seulement il n'y a pas de temps, mais il n'y a même pas de mouvement; cela n'empécbe aucunement, SI l'on appelle vitesse d'un point de la courbe S la dérivée de l'arc .s qui y répond par rapport à l'arc / correspondants tnée de l'équation précédente, et accélcvalion du même' point la dérivée seconde de n, cela n'empêche point, disonsnous, de démontrer tous les théorèmes de la cinématique. Il suilira, pour leur rendre leur signification ordinaire de concevoir deux points mobiles décrivant simultanément les arcs s et / et de prejidre comme mesure du temps la longueur de l'arc t : la cinématique proprement dite n'est donc qu'une application particulière d'un simple exercice de géomé'trie. Les thcorCmcs de la cinématique sont dès lors indépendants du choix de la variable indépendante, c'est-à-dire du mouvement-unité ; mais la description de mouvements paiticuliers, les lol^ crpé riment nies auxquelles ils obéissent en dépendent essentiellement, car,

ISs'o}^'''' ''''' ^''''' ""''''^"^ *"'' ^"^ w^c«/t/gwe (Ber^er-Levrault,

2 Nous rappelons que la dérivée dune fonction est la limite vers laquelle tend le rapport de l'accroissement de la fonction à celui de la variable indépendante, lorsque ce dernier tend vers zéro.

LE TEMPS ET l'eSPACE EN MÉCANIQUE 69

si la forme de la trajectoire reste la même, la valeur de la vitesse en chaque point change avec la variable, et l'accélération change à la fois de valeur et de direction K

Une autre question de grande portée surgit si nous plaçons les trajectoires des mobiles dans un espace à trois dimensions. Les positions de ceux-ci se trouvent déterminées par rapport à un système d'axes de coordonnées pris comme repères et relativement auxquels tous les mouvements sont déterminés. Quelque opinion qu'on professe sur l'espace et le mouvement absolus, on doit reconnaître que, uu point de vue de la cinématique pure, le choix de ces axes est complètement indifférent. En disant cela, nous ne parlons pas d'un choix entre des axes différents, mais immobiles les uns par rapport aux autres, car ces divers systèmes, distincts géométriquement, ne le sont pas en mécanique, attendu qu'ils ne modifient en rien les trajectoires, vitesses et accélérations, u II ne faut donc pas oublier, dit M Calinon, qu'un changement de repères consiste toujours dans le choix d'un second système d'axes en mouvement par

rapport au premier. »

Ceci posé, les théorèmes de cinématique ne sont en rien modifiés par un changement du système d'axes, puisqu'ds ne constituent que des théorèmes de géométrie revêtus d'une forme mécanique. Mais, comme tout à l'heure, a l'occasion de la variable indépendante, il n'en est point de même de la description d'un mouvement particulier, c'est-adiie de ses lois propres. La forme de la trajectoire dépend, en efîet, du système d'axes, c'est-à-dire que, restant la

1. Nous rappelons que deux variables indépendantes ne sont vraiment distinctes que si leurs accroissements ne sont pas proportionnels, et, par suite, deux mouvements-unités ne sont vraiment distincts que si des temps égaux pour l un deux sont inégaux pour l'autre.

70 ÉTCDE SUR l'espace ET LE TEMPS

même, elle revêt une autre apparence, et, alors même que par un cas très particulier, le mouvement servant à mesurer le temps serait resté en concordance avec le premier vitesses et accélérations seraient changées en grandeur et en direclion '.

Ceci nous permet de prévoir que le double choix du système d axes et du mouvement servant de mesure au temps peut ne pas être indiiîérent, lorsqu'on entreprend la description des mouvements d'un système matériel ou, en termes plus scientifiques, l'établissement des équations exprimant ces mouvements.

A vrai dire, jusqu'à l'époque de Copernic et de Galilée le problème du choix des axes (car celui du mouvement-unité n'était pas en discussion) se posait à un point de vue purement cinématique, et l'antiquité grecque a produit les systèmes les plus variés, en se plaçant exclusivement à ce point de vue : le système héliocentrique complet, comportant la circulation de la terre et des planètes autour du soleil et la révolution diurne de la première autour de son axe, a été enseigné lui-même, notamment par Aristarque de Samos au in« siècle avant Jésus-Christ, a Comment, dit à ce propos M. Mansion, les Anciens, qui ont connu le système héliocentrique, ne l'ont-ils pas préféré au système géocentrique dit de Ptolémée ? Quelles raisons ont pu faire choisir le plus imparfait, le moins simple des deux systèmes? » Le savant professeur de l'Université de Gand répond à celle question pai' deux raisons, l'une d'ordre pratique, l'autre d'ordre philosophique.

En ce qui concerne les prédictions astronomiques et le calcul des coordonnées géographiques, il est naturel de se

1. Notons toutefois que, si les nouveaux axes étaient animés d un mouvement de translation uniforme par rapport aux précédents, les accélérations ne seraient pas chancrées

LE TEMPS ET l'eSPACE EN MÉCANIQUE 11

placer au point de vue géocentrique, et la perfection de VAlviageste de Ptolémée, dressé dans ce système, en rendait l'abandon difficile. D'autre part, les Anciens rattachaient à des sciences distinctes l'astronomie et la physique, l;i description des phénomènes célestes et la recherche des causes des mouvements des astres. Dès lors, selon l'expression de Posidonius, « il est indifférent pour l'astronome de savoir ce qui est immobile et ce qui se meut ». Toutefois, nous voyons Ptolémée introduire une considération physique dans le choix de ses axes, car, s'il écarte l'hypothèse de la rotation diurne de la terre, qui expliquerait plus simplement les mouvements des astres, c'est afin de pouvoir se rendre compte du mouvement des nuages et autres objets dans l'atmosphère.

Saint Thomas d'Aquin, dans son commentaire sur le de CavIo d'Aiislote, enseigne le caractère on peut dire fictif des suppositions des astronomes, qui expliquent les apparences, mais ne sont pas vraies pour cela ». M. Mansion 2 voudrait étendre à Copernic cette indifférence pour les hypothèses des astronomes ; mais lui-même cite un passage où Copernic déclare le mouvement de la terre plus probable que son repos ^. Qu'importe qu'il ne soit question que de probabilité et non de certitude? le vrai savant est sobre d'aftirmations tranchantes, et, d'ailleurs, le sujet était alors assez délicat pour qu'on ne fût pas porté à forcer l'expression

de sa pensée.

Quoi qu'il en soit, on peut remarquer que le débat n'était pas posé avec la précision scientitîque qu'il requiert, car

1, Ad lect. XVII, lib. 2. ,. . , r -

2. Sur les principes fondamentaux de la géométrie, de la mécanique et de Vastronomie (Gauthier-Villars, 1893).

3 Vides ergo quod ex hisomnibus probabilior sit mohilitas terrœ quam ejus quies, prœsertim in quotidia revolutione, tanquam terrœ maxime propria {Des Révolutions, lib. I, c. vni).

72 ÉTUDE SIR l'espace ET LE TEMPS

on parlait d-l.ypothèses vraies ou non alor, „„• ■ dû parier que du choix de coordonna l.M 'T'" sique du mouvement absolu simn"sai \T '"''"'"'*- Quand rorage éclala sur la .ê fl tl ,? '^"''"'^• gens sVmurenI en faveur de ce.LÎin'1doTe'/ent:;;f certes, que lémo.ion ne fù. en soi légi,ime:.a. ,'.?'; ne„ mo.„s que ton, Tavenir de ,a science q.'.i Je'; "j :" comme nous le verrons en t.aitant de la d^amiaûe n ' comme il anive souveni, la masse s'ém,,, T^ ' '"'' - se trompant sur le vrii point:: TuTe ' '"''""""' """

Mais laissons celte digression, pour achever de n,;-a question du choix des axes et L impor „ e "^^'i de vue de la seule cinématique. Il „e suffî^nt l' ^ «n système d'axes par rapplt auque ^c L ï: l'.: sou en repos, pour obtenir les sim'pli.icatio, de fl „ t que procure le système héliocentrique complet 77-,n «H-ore préciser ce système et choisir conZSlJm „ ^ mo-ement-unité servant à la mesure du temps.Su " pr m.er pomt on remarquera que, si Ion prend pour oline ^centre même du soleil, celui-ci sera fLémeL immoble ma,s qu on pourra donner au système un mouvemenT ,u ' conque autour de ce point, par rapport à un autre sj t m : 0 , les lo.s les plus fondamentales de l'astronomie per' dia,en toute leur simplicité si, parmi ces système avam le centre pour orieine on n» h;--, J»'e"ies avant

convemble s,.! ^''^'Ipas encore un choix

convenable. Supposons, par exemple, quon prenne des axes mvanablement liés à toute la masse .lu .soleil, de ton ; -ppnm.r le mouvement de rotation qu'il possède avec es axes en usage : c'en sera fait des lois de Kepler 7ta„ donne, en effet, que les plans des écliptiques ^ ive ' planètes ne coïncident pas avec celui de l'équatenr soTa re

on vo,t queles orbitesplanétairesne seraient mémep^ es' c urbes planes, et, quant à la loi des vitesses augura re elle ne sera.t plus vériflée, alors même que les écllp ^^ues'