LES BASES DE LA DEMONSTRATION GEOMETRIQUE

On doit, d'abord, mettre à part les définUtons, dont la nécessité ne peut faire l'objet d'un doute, puisqu'il faut bien savoir de quoi l'on parle. Mais la discussion s'engage quand on aborde les autres bases des démonstrations qui, si l'on s'en rapporte aux Éléments d'Euclide, comprennent des axiomes^ énonçant des rapports entre des quantités indéterminées et des demandes ou postulats^ véritables théorèmes non démontrés. A ces éléments des démonstrations, énoncés, mais non pas tous admis par M. Liard, dans son traité si précieux des Définitions géométriques et des défini-

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tions empiriques^ nous ajouterons les grands principes essentiels de la raison, ceux de contradiction, d'identité et de raison sufîisante. Étudions ces divers éléments de la démonstration géométrique.

Comme nous lavons dit, on ne saurait, avec quelque apparence de raison, prétendre exclure les définitions des bases de la démonstration; mais on est loin d'êlre d'accord sur les caractères d'une bonne détinilioii. M. Liard affirme sans réserve que « la définition géométrique doit exprimer la génération de la figure à définir * » ; en cela, il ne fait que répéter l'enseignemen; d'un penseur que nous combaUrons plus d'une fois, mais qui fait preuve souvent d'une profondeur exceptionnelle : M. Delbœuf répète, en effet, pour ainsi dire à satiété, que la définition génétique est seule valable 2. Mais ce dernier philosophe a vu, sans en tirer tout le parti désirable, que, cela étant, tous les faits ne vf>euvent se définir (p. 37) 3 ; alors, on est amené à reconnaître que, si la définition doit, en général, être génétique, il en est un petit nombre de fondamentales (jui, ne pouvant reposer sur k génération, doivent consister dans l'énoncé d'une propriété caractéristique, attendu que toute construction repose sur la connaissance présupposée d'une autre figure. Mais alors une remarque essentielle s'impose : lorsqu'une définition est constructive, elle permet d'établir la possibilité de la figure définie, pourvu du moins que les éléments employés dans la construction soient eux-mêmes possibles. Or, nous venons de voir que les derniers éléments ne peuvent essentiellement être définis per genera-

2. Prolégomènes philosophiques delà géométrie.]). 37,94, 12 1, 178.

3. M. Rabier, qui tient aussi pour les définitions exclusivement constructives, admet cependant qu'on peut définir une figure par sa propriété essentielle ; mais il le fait incidemment et sans paraître se rendre compte qu'au début c'est une nécessité Logique^ p. 285).

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tionem, d'oii il résulte que toute la géométrie apparaît comme reposant sur des définitions hypothétiques, dont la seule justification semble résulter de ce que, en prenant ces définitions comme point de départ, on peut pousser la déduction aussi loin que l'on veut sans rencontrer de contradiction. Il est clair qu'un tel critérium ne peut jamais donner une certitude, puisqu'on peut toujours supposer qu'en poursuivant plus longtemps la chaîne des déductions on arriverait à une contradiction K On a été jusqu'à dire qu'il est possible de construire une science parfaitetement enchaînée d'un bout à l'autre, en l'appuyant sur des prémisses fausses quelconques ; mais M. Delbœuf a réfuté cette thèse paradoxale de Dugald-Stewart, au moyen de quelques exemples topiques (p. 77, note 1), ce qui ne l'empêche pas de contester formellement que la déduction rigoureuse d'un système prouve rien quant à la vérité des prémisses. Nous discuterons la valeur de cette manière de voir en traitant de la géométrie générale, et, en même temps, nous montrerons comment l'analyse permet, pour cette géométrie comme pour la géométrie euclidienne, d'affirmer que la suite des déductions ne présentera jamais de contradiction. Pour l'instant, il nous sutfit d'avoir établi la nature des définitions fondamentales de la géométrie.

Que les définitions soient, à elles seules, impuissantes à fournir des démonstrations, c'est ce qu'il est superflu de développer, car il est clair que les principes d'identité et de contradiction (à supposer qu'ils soient distincts) font la force des syllogismes, quel qu'en soit l'objet.

\. M. Milhaud^va jusqu'à dire que la géométrie non euclidienne constitue simpleliient une tentative infructueuse, sans importance, de démonstration du postulatum par l'absurde [Revue philosophique, t. XXV, p. 622). Sa thèse sur les Conditions et les limites de la certitude logique montre que sa manière de voir ne s'est pas modifiée.

Mais il ne sera peut-être pas inutile de faire remarquer que, le cas échéant, on ne devrait pas hésiter à s'appuyer sur le principe de raison sutiisanle. Ce n'est pas à dire que son emploi ne présente de sérieuses difficultés et n'expose le géomètre à formuler des jugements hùtifs ; mais il n'en reste pas moins vrai que, lorsque non seulement on ne voit pas de raison pour qu'une chose ait lieu, mais qu'on voit clairement qu'il ne saurait y en avoir, on peut afîirmer sans crainte d'erreur que cette chose n'est pas. M. Renouvier ajustement reconnu cette importance du principe de raison suffisante en mathématiques *, et nous verrons plus loin, sur un exemple, comment il doit et ne doit pas être appliqué.

Les axiomes sont des propositions de la science générale des grandeurs ou quant ité's que l'on déclare généralement indémontrahles, bien que des penseurs tels que MM. Renouvier et Rabier les tiennent pour exclusivement analytiques. A nous en tenir strictement à notre sujet, nous n'avons pas à discuter ce caractère d'indémonlrabilité, car ces propositions n'appartiennent pas en propre à la géométrie. Nous indiquerons toutefois, sommairement, sur un exemple, comment on peut essayer de les faire reposer sur le principe de raison suffisante, quand on ne voit pas le moyen de les déduire du principe d'identité.

Soit l'axiome : Si de deux quantités égales on retire une mémo quantité, les restes sont égaux.

Aux termes de cette proposition, les deux objets considérés le sont exclusivement au point de vue de la quantité, et, dès lors qu'ils sont égaux, ils sont identiques à ce point de vue, et, par suite, si on leur fait subir une même modification, toujours au point de vue de la quantité, il ne saurait

1. Traité de logique générale et de logique formelle, 2« édit.,

t. Il, p. 196. ' :« '

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évidemment y avoir de raison pour que l'un des résultats différât de l'autre, en quantité. Mais cela n'empêche évidemment pas que les deux objets diffèrent à un autre point de vue, celui de la forme par exemple ; toutefois, il est plus intéressant de considérer le cas oii, la forme étant aussi la même, il y aurait égalité géométrique. Dans ce cas, pourrait-on raisonner comme nous venons de le faire? Nous pouvons dire encore qu'il y a identité entre les deux objets, au point de vue géométrique ; mais nous n'avons pas le droit de dire que nous leur faisons subir une même modification, alors même que nous en retrancherions deux figures égales géométriquement, vu que la modification subie dépend de la situation de la partie enlevée : aucune objection de ce genre n'existait quand on n'envisageait que la pure quantité, dont les éléments sont indiscernables.

Le véritable caractère des axiomes étant ainsi reconnu, reste à savoir quel est leur rôle dans la démonstration. On sait que, depuis Locke, on a maintes fois soutenu la stérilité des axiomes, et cette opinion doit d'autant plus être discutée de près que MM. Lachelier et Liard la tiennent pour rigoureusement démontrée. Afin d'établir cette proposition, M. Lachelier considère la démonstration de l'égalité des angles opposés par le sommet, démonstration qui amène à envisager deux sommes d'angles égales à deux droits. Pour conclure de là l'égalité de ces deux sommes entre elles, s'appuie-t-on sur le premier axiome de Legendre : « Deux quantités égales à une troisième sont égales entre elles » ? Non seulement on devrait répondre négativement, mais il faudrait affirmer l'impossibilité de faire reposer un raisonnement correct sur cet axiome, qui ne saurait être la majeure d'aucun syllogisme. Si nous disons, en efl'et :

« Deux quantités égales à une même troisième sont égales entre elles;

., ih

« Oi% les deux sommes d'angles considérées sont égales à deux droits;

« Donc ces deux sommes sont égales entre elles, »

la conclusion n'est pas légitime, nous dit-on, parce qu'on est passé de l'idée d'une quantité indéterminée, dans la majeure, à une quantité' déterminée, dans la mineure, en sorte qu'il n'y a pas de moyen terme unique, alors que c'est une règle absolue du syllogisme que le moyen terme soit le même dans la majeure et dans la mineure.

Il ne servirait évidemment de rien de remplacer u égales à deux droits » par « égales à une même troisième quantité », car cette expression serait prise dans un sens déterminé, et l'objection de M. Laclielier subsisterait <. Il faut donc aborder franchement la question de la validité du syllogisme ; or, il nous semble qu'il suflît de l'interpréter en extension pour reconnaître que cette validité est parfaite.

« La totalité des" groupes de deux quantités égales à une même troisième est comprise dans la totalité des groupes de deux quantités égales entre elles ;

« Or, les deux sommes d'angles considérées sont un groupe de deux quantités égales à une même troisième ;

« Donc ces deux sommes sont comprises dans la totalité des groupes de deux quantités égales entre elles. »

Ici il paraît impossible de formuler une objection telle que celle que nous venons de voir, car la majeure et la mineure parlent également de groupes de deux choses dont chacune est égale à une quantité particulière. La validité du raisonnement nous semble évidente. Si, d'ailleurs, nous considérons la façon dont MM. Lachelier et Liard esquivent

1. 11 nous semble que, pour cette raison, le développement en polysyllogisme donné par M. Rabier ne saurait convaincre les partisans de la thèse que nous combattons comme lui (Logique, p. 289).

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le recours à l'axiome, nous nous trouvons confirmé dans la pensée qu'il intervient au moins implicitement : pour eux, quand on a remarqué l'égalité de chacune des deux sommes à deux droits, leur rapport d'égalité apparaît immédiatement. Nous ne prétendons pas, bien entendu, soutenir que, en pareil cas, l'esprit doive faire intervenir l'axiome de la façon que nous avons vue, ni même qu'il doive être formulé expressément; mais nous soutenons que c'est bien lui qui donne sa force à la conclusion : ce qui le prouve, c'est que, en pareil cas, ce serait faire preuve d'un esprit bien peu scientifique et peu philosophique que de s'arrêter à la valeur particulière des deux sommes : on constate que « c'est la même chose », pour employer une formule familière, et tout est là '.

Nous arrivons maintenant à la question encore plus controversée des axiomes géométriques, ou postulats. Comme forme, ce sont de véritables théorèmes, car ils énoncent une propriété d'une ligure particulière ; mais ils en diffèrent en ce qu'ils ne peuvent être démontrés. Il nous semble que, pour tout esprit non prévenu, l'existence de telles propositions au sein de la géométrie doit apparaître comme un véritable scandale.

Il est vrai qu'on a prétendu en établir a priori la nécessité, en s'appuyant sur ce que « la démonstration ne peut aller à l'infmi ». Cette proposition est incontestable ; mais faut-il en conclure, avec M. Rabier 2, qu'elle force à admettre des propositions indémontrables propres à la géométrie ? Nous ne le pensons pas, car, lui-même le reconnaît, ces

•r 1. Sur cette question si importante, on trouvera la thèse de M, Lachelier, exposée et adoptée par M. Liard, dans son ouvrage déjà cité, p. 91 à 103.