Lofjiqne, p. 282 à
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axiomes ou postulats peuvent jouer, dans lardémonslration, le même rôle que les définitions, et celles-ci, combinées avec les axiomes communs, fournissent tous les élémenls nécessaires à des raisonnements. Xous verrons que, en effet, les postulats ne sont que des définitions méconnues, et tant qu'on ne leur restitue pas ce caractère, on est amené logiquement, comme l'ont été d'innombrables géomètres, à en chercher des démonstrations, bien qu'il soit prouvé, nous le verrons, que ce but est impossible à atteindre en partant des définitions qui servent communément de base à la géométrie. Le vice de ces définitions, nous le montrerons, consiste en ce qu'elles sont trop générales, que plusieurs surfaces, plusieurs lignes distinctes peuvent répondre à celles de la ligne droite et du plan. Or, s'il en est ainsi, il est clair qu'on ne pourra sortir de l'indétermination qu'eu ajoutant après coup, sous forme de postulats, les propriétés caractéristiques complémentaires nécessaires jjour préciser la ligne ou la surface qu'on a en vue.
Ces réfiexions permettent d'écarter uu malentendu auquel prête parfois la géométrie non euclidienne. Comment, diton souvent, pouvez-vous soutenir qu'il pourrait se faire que, par un point pris sur un plan, on pût mener une infinité de droites n'en rencontrant pas une autre située dans le même plan, ou que la somme des angles d'un triangle ne fût pas égale à deux droits? Cela doit être ou ne pas être, mais cela ne saurait dépendre de la fantaisie de personne, fût-ce de Dieu. Sans aucun doute; mais, si votre définition du plan répond k toute une classe de surfaces, votre définition de la droite à toute une classe de lignes, vous n'êtes pas en droit de vous étonner si les propriétés qui en découlent ne sont pas toutes déterminées.
Nous verrons, dans le troisième paragraphe de ce clmpitre, ce qu'est la géométrie yénerale de cet ensemble de lignes et de surfaces; mais auparavant nous étudierons
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les moyens de sortir de cette indétermination pour s'enfermer dans la géométrie euclidienne.
