COUP D'ŒIL SUR LES GÉOMÉTRIES NON MÉTRIQUES

La géométrie classique, même complétée par les géométries non-eucfidiennes de Lobatchefsky et de Riemann, a un caractère essentiellement métrique : elle repose sur l'idée d'identité entre des figures distinctes, qu'on peut déplacer sans les modifier et amener ainsi en superposition les unes avec les autres. Or il y a intérêt, même pour ceux qui ne songent aucunement à déserter ce terrain traditionnel, à étudier des géométries non métriques, car elles mettent en évidence, notamment, que bien des choses qu'on serait porté à attribuer à une forme d'extériorité (ou de sensibilité) ont un caractère purement abstrait. Telle est la raison d'être de ce rapide coup d'œil sur les géométries non métriques, que nous ferons précéder de quelques réflexions sur les sciences déductives.

LES SCIENCES PUREMENT DÉDUCTIVES ET LA GÉOMÉTRIE CONSIDÉRÉE COMME TELLE

La géométrie classique et même la mécanique dans une assc z large mesure revêtent le caractère de sciences déductives, mais on doit reconnaître qu'à ce point de vue elles sont bien loin de pouvoir être citées comme

des modèles. A la suite d'un long travail, resté souvent obscur et méconnu, une pensée qui a hanté Leibniz pendant presque toute sa vie est parvenue, depuis quelques années, à prendre corps à un degré tel qu'il est impossible de ne pas s'arrêter devant elle. Cette pensée consistait essentiellement à substituer aux raisonnements sur des idées des opérations sur des symboles. De là est née la logique algorithmique, devenue finalement ce que, depuis le Congrès de philosophie de Genève, on appelle

la logistique.

Résumons brièvement, d'après M. Couturat et d'après MM. Russell et Whitehead dont il s'est appliqué à faire connaître les travaux en France, l'idée essentielle de toute science purement déductive.

A la base se trouve un certain nombre de notions quon ne définit pas et de propositions premières qii'on ne démontre pas, ces propositions visant les notions indéfinissables ; puis de ces propositions on en déduit d'autres, au moyen de principes dits principes de la logique. Pratiquement, on est forcé de recourir à des définitions nominales, par lesquelles on réduit une notion à une combinaison logique d'autres notions déjà ainsi définies, de façon à remonter finalement aux seules notions premières. Ces définitions, qui pratiquement rendent des services inappréciables, ne sont pas logiquement nécessaires, puisqu'on pourrait absolument introduire dans les raisonnements toute la suite des propositions qu'elles résument.

Au point de vue purement formel, les notions sont désignées par des écritures ou symboles, et les propositions se traduisent également par des signes ; aux principes de la logique correspondent d'ailleurs les règles d'après lesquelles s'opèrent les jeux d'écritures permettant de passer de l'expression d'une proposition à celle

d'une autre.

Gomme il existe une correspondance absolue entre l'expression verbale et sa traduction symbolique, on

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peut se demander à quoi sert celle-ci. Sa valeur n'est, en effet, que d'ordre pratique, mais a une portée effective considérable. Dans les raisonnements verbaux, il est extrêmement difficile de vérifier le rigoureux enchaînement des propositions et de distinguer tous les principes qu'on applique intuitivement et implicitement. Quand, au contraire, on opère sur des écritures algorithmiques, on aperçoit forcément les lacunes qui peuvent exister dans les règles du jeu et dans ses données, ce qui oblige à compléter les principes logiques qu'elles traduisent ainsi que les propositions premières ; d'une façon plus courante, le calcul permet de dépister les insuffisances du raisonnement.

Il va de soi que ce simple schéma de la science déductive ne fait aucune part aux procédés de l'esprit à la recherche de la vérité : il vise exclusivement le fait de la science existante, avec ses démonstrations. Pour découvrir la vérité inconnue, l'esprit se servira sans doute des procédés de démonstration ; mais ce n'est pas la seule logique qui le guidera dans ses tentatives novatrices \ Une première démarche de l'esprit, dans son

(i) Pour n'avoir pas compris le véritable objet de la logistique, M. Borel s'est livré à une manifestation très vive contre M. Couturat et les logisticiens en général dans un article de la Revue de Métaphifsique et de Morate (mai 1907, La logique et l'intuition en mathématiques). 11 est arrivé à M. Borel, éminent mathématicien pratiquant, à peu près ce qui arrive à presque tous les artistes qui s'indignent contre toutes les théories esthétiques, se figurant qu'elles ont pour objet de donner la formule du beau, destinée à permettre de produire systématiquement des chelsd'œuvre. Un vieil article de la Critique Philosophique (1887) sur l'emploi de l'hypothèse dans les sciences mathématiques témoigne que nous avons toujours cru à l'intervention active de l'esprit dans les découvertes de ces sciences. Au fond de ces discussions, il pourrait bien n'y avoir qu'une querelle de mots, ainsi que nous l'a fait comprendre la thèse latine de M. Kodier, dont la 19» Année philosophique (1908) a publié la traduction.

L'auteur de cette thèse sur les Fonctions du syllogisme distingue le syllogisme normal, dont le mouvement est régressif, et l'application artificielle de la forme syllogistique à un progrès de la pensée, et il donne sous forme syllogistique deux exemples

indépendance, ressort du fait même du choix des idées complexes qui doivent être les objets spéciaux de Tétude, et à vrai dire tout dépend de ce choix. Comme d'ailleurs le premier soin que l'on a, après avoir fixé un de ces objets d'étude, est de lui donner un nom, c'est-à-dire de poser une définition, on voit comment M. Whitehead a pu dire, sans méconnaître le caractère purement nominal des détinitions, qu'elles apparaissent comme la partie la plus importante de la théorie '.

Le même auteur a montré sa large compréhension des choses en acceptant qu'on dit que les propositions premières ou axiomes définissent par postulats les notions premières que nous avons dit n'être pas définies. Il n'y a aucun inconvénient à cette terminologie, dit-il formellement, tant que l'on conçoit clairement qu'en général les axiomes ne caractérisent pas une seule classe d'entités. Cette dernière remarque se trouve développée par M. Couturat dans les termes suivants :

« On conçoit donc qu'une même théorie déductive formelle puisse recevoir plusieurs applications matériellement différentes, si l'on peut trouver pour l'ensemble des symboles non définis plusieurs interprétations qui vérifient également l'ensemble des propositions non démontrées » '.

Si maintenant nous cherchons quelles conditions doi-

inverses de ce double mouvement de la pensée, mouvement analytique et mouvement synthétique. Dans le premier, le raisonnement est rigoureusement syllogistique, car on s'y achemine de propriétés complexes d'une ligne à une propriété plus simple de cette ligne considérée en elle-même ; dans la seconde, on va du moins complexe au plus complexe, car de la ligne considérée en elle-même on passe à ses relations avec une nouvelle ligne. La différence est évidemment profonde, et l'on peut la traduire en disant que la synthèse n'est pas au fond syllogistique. Nous n'avons jamais dit que les hypothèses, même de méthode, se découvrent par la déduction.

(1) Chapitre I de The Axioms of projective Geometry, traduit dans la Revue de Métaphysique et de Morale, de janvier 1907.

(2) Les Principes des Mathématiques, p. 37.

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vent vérifier les divers éléments d'une science logique, nous ne trouverons rien en ce qui concerne directement les notions dites indéfinissables, puisqu'elles ne sont qu'un mot ou qu'un signe tant que des propositions premières ne les ont pas fait sortir de cette indétermination. Quant à ces propositions premières, elles doivent essentiellement ne pas impUquer contradiction entre elles, et il y a d'ailleurs avantage, en principe, à ce qu'elles soient irréductibles, c'est-à-dire à ce qu'aucune d'elles ne puisse se déduire des autres, puisqu'alors on pourrait la reléguer au rang de théorème. Sous cette forme simple, le défaut d'irréductibilité n'aurait même aucune excuse si on le maintenait après sa découverte ; mais il peut arriver qu'une certaine proposition soit complexe et que seule une partie en doive disparaître, et il serait fort possible que, pour une raison ou une autre, ce qui en resterait fût moins satisfaisant que l'ensemble, tout surabondant que soit celui-ci : alors on sacrifiera la perfection purement formelle à des considérations d'un autre ordre, ce qui sera admissible puisque la rigueur de la déduction n'en souffrira aucu

nement.

Pour vérifier, du reste, l'indépendance d'une proposition première par rapport aux autres, on s'appuie sur ce que, si la négative d'une proposition est compatible avec d'autres propositions, la proposition primitive est indépendante de celles-ci. Il en résulte que, pour qu'un système de propositions soit irréductible, il faut et il suffit que, pour chacune d'elles, on puisse trouver une interprétation des symboles non définis qui vérifie toutes les autres, mais non celle-là.

L'absence de contradiction entre les pro[)Osi tiens i)rcmières est évidemment beaucoup plus impérativement exigible que leur irréductibilité; mais, comme on le devine sans peine, il est radicalement impossible de démontrer cette absence : en principe, on peut toujours craindre d'arriver un jour à une contradiction dans la

suite des déductions. Ce n'est pas qu'on ne voie établir la « non-contradiction des axiomes », mais les démonstrations qu'on en donne n'ont jamais qu'un caractère purement relatif, car elles se réduisent à prouver qu'il ne peut y avoir contradiction s'il n'y en a pas dans un autre système : ainsi, on établira que des contradictions dans une géométrie en impliqueraient dans une arithmétique.

Quant aux définitions proprement dites, on doit les faire suivre d'un théorème d'existence, c'est-à-dire établir que les diverses conditions qui les constituent ne sont pas logiquement incompatibles. Remarquons enfin qu'une science déductive n'est pas forcément apriorique, les propositions premières pouvant fort bien être suggérées par l'expérience.

En ce qui concerne spécialement la géométrie, des travaux très importants ont été publiés sur son établissement conformément aux principes de la logistique, et d'autre part M. Peano a beaucoup fait pour répandre les procédés du calcul symbolique par la publication de son Formulaire de mathématiques \ Néanmoins nous ne croyons pas devoir prendre ces travaux comme point de départ de nos exposés et de notre discussion. Deux motifs nous en ont détourné.

On doit reconnaître que des critiques très subtiles ont été formulées contre les exposés de la logistique et qu'on y a relevé des cercles vicieux, si bien que M. Russell, après avoir tout fait reposer sur les classes, a imaginé ce qu'il a appelé la théorie « pas de classes » et qu'il termine un article sur les Paradoxes de la logique en reconnaissant que les commencements de la logistique sont beaucoup plus difficiles qu'on ne l'avait cru ^

D'un autre côté, nous devons avouer que nous sommes loin d'être satisfait de la façon dont on a résolu

(1) Une édition française a paru en 4901.

(2) Revue de Métaphysique et de Morate de septembre 1906.

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jusqu'ici le problème de poser les propositions premières devant servir de base à la géométrie logistique. Si nous considérons, par exemple, la théorie de M. Pieri, qui, selon M. Couturat, constitue l'analyse la plus approfondie des principes de la géométrie, nous y trouvons des choses qui sont absolument contraires à notre manière de concevoir un exposé philosophique de cette science. Sans entrer pour l'instant dans l'examen de ses vingt postulats ou propositions premières, nous signalerons seulement que son exposé amène à définir le cercle comme intersection d'une sphère et d'un plan, c'est-à-dire à subordonner la géométrie à deux dimensions à la géométrie à trois dimensions. De même, la perpendicularité de deux droites ne se définit qu'en s'appuyant sur la notion de sphère. Au point de vue auquel se placent en général les logisticiens, ce sont là des détails de minime importance. Le but essentiel qu'ils poursuivent est d'arriver à constituer une géométrie d une rigueur irréprochable reposant sur des propositions premières indépendantes, et le problème est assez abstrus pour qu'on ne leur reproche pas bien vivement de se préoccuper un peu trop exclusivement de la perfection purement logique (le leurs systèmes au détriment de leur valeur philosophique. Peu à peu, au fur et à mesure qu'on acquerra un plus facile usage du symbolisme logique, on pourra faire plus grande la part d'autres considéralions, et nous comptons sur les logisticiens pour nous donner un jour une théorie géométrique quasi définitive.

On doit bien se rendre compte de la complexité du but ainsi poursuivi : dans un système logique, il n'y a pas, pour ainsi dire, d'axiomes-nés, de propositions appelées à être forcément prises comme propositions premières, en sorte que d'innombrables échanges peuvent se faire entre la classe des propositions premières et celle des théorèmes.

Ainsi que nous l'avons dit, le calcul symbolique, si utile soit-il, n'a rien d'indispensable en soi, et l'on peut

établir une science purement déductive en langage ordinaire : on est seulement, grâce à lui, moins exposé à laisser passer inaperçue une proposition première ou une règle de raisonnement admise implicitement. On étudiera très utilement les Principes fondamentaux de la Géométrie, de M.D. Hilbert, qui ont été traduits en français par M. L. Laugel, cet ouvrage constituant, à notre connaissance, le plus rigoureux essai de constitution de la géométrie par une méthode purement logique en langage ordinaire. Dans le système des axiomes de cet ouvrage, nous ne trouvons pas la confusion, que nous regrettons si vivement dans ceux de M. Pieri, de la géométrie à deux et de la géométrie à trois dimensions, M. Hilbert distinguant très nettement ce qu'il appelle les axiomes planaires ; mais nous regrettons qu'il n'ait pas su éviter d'introduire dans ses axiomes une proposition telle que l'affirmation de la congruence de deux triangles ayant deux côtés congruents chacun à :hacun et comprenant un angle congruent : on peut voir cependant, dans cette axiome, une formule simple du principe d'isogénéité, comme nous le constaterons plus loin.

Pour les personnes non familières avec cette notion de congruence, qui remplace celle de l'égalité classique, nous allons montrer comment l'introduit M. Hilbert, et cela donnera un bon exemple de l'application de la méthode déductive.

Il pose d'abord cette convention : Les segments ont entre eux certaines relations que le mot « congruent » sert à désigner. Puis il énonce les axiomes ou propositions premières sur cette notion non définie :

1. — « Si l'on désigne par A,B denx points d'une droite a et par A' un point de cette même droite ou bien d'une autre di^oite a', P on pourra toujoin^s^ sur la droite a', d'un côté donné du point A\ trouver un point et un seid B', tel que le segment AB soit congruent au segment A'B', ce que l'on écrit

AB s AB'.

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Tout segment est congruent à lui-même, c est-à-dire que l'on a toujours