AG = A'G

D'autres axiomes de même genre sont ensuite formulés sur la congruence des angles.

Gomprenons bien qu'on ne doit attacher aucune image spatiale ni aucune idée à ce mot « congruent», pas plus qu'au terme « porter » employé dans la formule abréviative. Tout cela signifie simplement que, lorsque nous aurons dit, par exemple :

« Le segment AB est congruent au segment A'B' et au segment A"B" », nous aurons le droit de dire : « Le segment A'B' est congruent au segment A' IV' ».

M. Hilbert accompagne son texte de figures, et cela peut induire le lecteur en erreur; en fait, toute la géométrie doit s'établir logiquement sans recours à aucune image. Ge n'est qu'ensuite qu'on fera l'application de cette science pure à un système d'images. Mais dès lors il faut bien reconnaître la supériorité de la forme algo-

COUP d'oeil sur lf.s géométries non Métriques 11

rithmique sur la forme verbale qui perd toute raison d'être, car ce ne sont plus les écritures qui traduisent le langage, mais plutôt le langage qui se moule sur des jeux d'écritures en laissant croire facilement qu'il est autre chose.

Ainsi que nous l'avons dit, nous ne suivrons pas la méthode logistique dans notre étude sur la géométrie ; mais nous croyons que ce coup d'œil préliminaire sur cette méthode ne nous sera pas inutile, car elle nous permettra de mieux saisir la portée et le caractère des diverses démarches de notre esprit : ce n'est jamais sans prolit qu'on pose devant soi l'idéal qu'il faudrait atteindre, même lorsqu'on doit renoncer à poursuivre un but aussi élevé.

GEOMÉTRIK NUMÉRIQUE

Avant d'aborder l'étude de la géométrie métrique, qui est la géométrie proprement dite, science de l'espace, nous allons encore consacrer deux paragraphes à des études plus indépendantes de notre sensibilité. \ous espérons qu'on reconnaîtra combien ces études jettent de lumière sur la géométrie métrique.

Le titre inscrit en tête du présent paragraphe est celui que, sur notre conseil, notre très cher et regretté ami Calinon donna comme titre à la dernière étude que la mort lui ait permis de publier '. Rien qu'elle soit fort intéressante, nous ne prendrons pas cette étude pour guide, l'œuvre magistrale du général de Tilly nous paraissant présenter un ensemble plus complet.

Chose singulière, il ne semble pas que ce dernier

(I) Ktude de Géométrie tmmérhfue. pjir A. Calinon. Ganthier- Villars, 1900.

mathématicien ait jamais eu très nettement conscience de l'absence de tout élément proprement géométrique dans son système, car, dans son discours prononcé à la séance publique de l'Académie royale de Belgique du 17 décembre 1901 et consacré au résumé et à la défense de la dernière forme donnée par lui à son œuvre, il posait comme principe que a l'objet principal de la géométrie est la recherche des relations entre les intervalles des couples de points situés dans l'espace ».

De fait, il construit bien une science des intervalles, mais, comme il le dit lui-même, l'intervalle n'est qu'un nombre caractérisant un couple de points, et un point, ajouterons-nous, n'est au fond pour lui qu'une lettre. Si donc nous allons constamment l'entendre parler d'espace, de points et de distances, ce ne seront là que des mots plaqués, pour ainsi dire, sur une pure algèbre; c'est ce dont on se rendra facilement compte dans la suite, et l'on verra bien, par exemple, que, si deux c( intervalles » sont appelés égaux, cela ne signifiera aucunement qu'ils sont superposables ou décomposables en un même nombre de parties superposables, mais simplement qu'ils sont caractérisés par le même nombre, ou mieux que le même nombre est attaché à deux couples de lettres.

L'attention du lecteur étant ainsi appelée sur le vrai sens des expressions employées par de Tilly, nous allons résumer son exposé, en employant aussi souvent que possible ses propres expressions.

(. La géométrie, dit-il donc, n'étant que la science des intervalles et l'intervalle lui-même n'étant a priori qu'un nombre caractérisant un couple de points, on peut imao-iner d'abord un système de géométrie dans lequel tous les intervalles seraient arbitraires.

(( Prenons, par exemple, 1.000 points dans l'espace, lesquels auront entre eux 499.500 intervalles. Puis choisissons 499.500 nombres au hasard et attribuons l'un de ces nombres à chacun des intervalles. Imaginons ensuite que l'attribution d'un nombre à chaque intervalle soit

^^,?^;*s?53!3^t;Sî^R^

continuée, sinon pour tous les points de l'espace, du moins pour tous ceux que Ton aura à considérer spécialement dans le cours d'une opération déterminée. On aurait ainsi un système complet de géométrie. Mais ce serait une géométrie rudimentaire, se réduisant à un catalogue des points de l'espace et sans relations possibles entre ces intervalles puisque ceux-ci ont été choisis au hasard » '.

« Si l'on veut qu'il existe une géométrie dans le sens ordinaire du mot, c'est-à-dire une géométrie comprenant des relations, des formules entre les intervalles, il faut se poser le problème suivant :

« Choisir les nombres correspondant aux intervalles des couples de points de l'espace, non plus d'une façon tout à fait arbitraire, mais de manière qu'il puisse exister entre les nombres des relations générales, d'ailleurs quelconques.

« Le point de départ est donc celui-ci : si nous voulons qu'il existe une géométrie théorique, nous devons admettre qu'on ne puisse pas augmenter indéfiniment le nombre des points choisis dans l'espace en laissant tous les intervalles arbitraires. On devra donc s'arrêter à un nombre n de points à partir duquel il existera au

moins une relation entre les

intervalles corres-

pondants. On démontre d'ailleurs qu'il ne peut exister qu'une relation entre ces intervalles, du moment que ceux de n — 1 points sont tous arbitraires.

« De plus, si Ton veut que les formules de la géométrie soient non pas locales^ mais applicables à l'espace tout entier, il faudra non seulement que n soit le même dans tout l'espace, mais encore que la relation ou les

- intervalles soient aussi les

relations entre les mêmes ^ ».

(1) Discours du 17 décembre 1901.

(2) Essai de géométrie analytique générale, extrait du

COUP d'oeil sur les GÉOMÉTRIES NON MÉTRIQUES 13

Arrêtons-nous un instant sur cette dernière condition. Comme dit l'auteur, on aurait des exemples de formules locales, dans la géométrie à trois dimensions, par les formules applicables seulement aux points d'une surface ou d'une ligne, et la condition d" universalité des formules peut être appelée condition à' homogénéité, ou mieux, ajouterons-nous, d'isogénéité, ainsi que nous le verrons plus loin en étudiant les travaux de Delbœuf . 11 faut bien remarquer qu'il ne s'agit aucunement des propriétés d'un espace, mais uniquement d'une condition purement arithmétique que nous imposons à notre système de nombres, condition qui n'a rien de nécessaire, mais qui est commode et peut être imposée sans nuire au fond à la généralité, attendu que, si un système à n dimensions (nous allons définir cette expression) n'y répondait pas, on pourrait le considérer comme compris dans un système isogène k n -h \ dimensions.

« Lorsque le nombre de points à partir duquel les intervalles ne sont plus tous arbitraires est égal à n, on dit que la géométrie est de la (n — 2)^ espèce ou à n — 2 dimensions. » Cette déduction de deux unités est motivée par le fait que trois points sont nécessaires pour qu'il puisse exister une relation entre leurs intervalles, puisque deux points n'engendrent qu'un seul intervalle : il faut donc faire n = ^ pour obtenir la première espèce de géométrie.

De Tilly, prenant comme exemple la géométrie à trois dimensions, cherche la forme qu'il faut donner à la relation entre les dix intervalles de cinq points d'après la seule condition qu'elle puisse exister sans contradiction pour tous les groupes de cinq points dont on peut remplir l'espace. Nous ne saurions le suivre dans le détail des calculs, mais nous reproduisons son point de départ :

tome XLVII des Mémoires in-8o publiés par l'Académie Royale de Belgique, 1892. Cet essai est donné en annexe au journal Mathesis de 1893.

CHAPITRK PREMIER

COUP d'oeil STIR les OÉOMÉTRIES non MÉTRlQrKS 15

'< Représentons provisoirement cette relation, dit-il, par

^ [(12)... (45)] = 0, ou, pour abréger, par

« Les dix intervalles de ces cinq points étant connus, cherchons à y ajouter un sixième point et à déterminer les

cinq intervalles supplémentaires (!()). ..(56j. On peut choisir au hasard trois intervalles, tels que (1(>), (26), (86) mais alors (46) et (56) ne sont plus arbitraires, car ils doivent satisfaire respectivement aux relations :

(12356) .= 0 Ces deux relations ainsi que la relation

sont donc analytiquement réalisables pour un système de SIX points, même avec une forme arbitraire de ^F ; mais comme on veut que la relation W = 0 soit vérifiée dans lotf/ système de cinq points, on devra avoir en outre :

« Ainsi donc les équations (2) doivent être des conséquences analytiques des équations (1). Par exemple, la première des trois équations (2) doit être le résultat immédiat de l'élimination des intervalles (13) et (23) entre les équations (1), cette élimination faisant disparaître en même temps les intervalles (34), (35) et (36). Toute forme W qui ne satisfait pas à cette condition purement analytique est impossible, comme représentation géométrique d'un système de 5 points. »

De Tilly énonce cette condition des six points sous la forme suivante : « Si, dans un système de six points, trois des six équations comprenant chacune dix des quinze intervalles sont vérifiées, les trois autres doivent

l'être aussi ».

Il démontre ensuite que cette condition nécessaire est suffisante, c'est-à-dire qu'elle permet l'existence d'une relation semblable à *' -= 0, non seulement pour les six groupes de cinq points que l'on peut former dans un système de six points, mais pour tous les groupes de cinq points que l'on peut former au sein d'un nombre illimité de points empUssant l'espace. C'est dès lors la véritable condition d'existence d'un système de géométrie à trois dimensions.

Reste il découvrir cette forme W. Or, on démontre que deux formes répondent à la condition que nous venons d'indiquer. On obtient deux des équations de condition, en éi^alant à zéro deux certains déterminants contenant une fonction arbitraire o et que nous donnons en note ^ Analytiquement on n'a pu encore démontrer qu'il n'existe pas d'autre forme ^\ mais on prouve géométriquement que la découverte d'une nouvelle fonction ne conduirait pas à un nouveau système de géométrie.

Pour étudier les propriétés des systèmes satisfaisant à