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Ces deux équations sont valables séparément, mais lune se déduit de l'autre en passant à la limite.

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Tune de ces équations, de Tilly introduit la notion de coordonnées ; mais il convient de bien en préciser le caractère, car ici les confusions seraient faciles, et il nous semble que l'illustre géomètre belge n'a peut-être pas été assez explicite : nous ajouterons donc quelque chose à ces énoncés, mais avec la ferme intention de n'y rien changer.

Jusqu'ici les intervalles des points ont seuls été désignés par des nombres, ou du moins, si les points l'ont été aussi, les nombres qui leur étaient appliqués ne l'étaient pas à titre de nombres, des lettres auraient fort bien tenu leurs places : c'étaient de simples noms sur lesquels il ne devait être effectué aucun calcul. Maintenant, au contraire, on va désigner chaque point par trois nombres, pris comme tels. Ces nombres pourraient être absolument arbitraires, comme ceux qui caractérisent les intervalles Tétaient d'abord; mais ils ne rendraient aucun service. Indiquons d'une façon très sommaire la systématisation adoptée.

Trois points quelconques A, B, G sont pris pour qu'on y rapporte tous les autres. Entre leurs neuf coordonnées on pose trois équations que nous donnons en note \ ce qui permet de se donner encore arbitrairement six d'entre elles, et de Tilly fait égales à zéro trois coordonnées de même nom de ces points ; ces équations contiennent d'ailleurs la fonction o de leurs trois intervalles. Cela fait, on définit les coordonnées d'un autre point (1), au moyen d'équations analogues aux précédentes, oii figurent les fonctions o des intervalles entre ce point et les trois points fondamentaux. On opère de même pour un second point (2), et l'on a alors neuf équations entre les six coordonnées de ces deux points et les fonctions cp des neuf intervalles des cinq points autres que celui des deux

(«Ta

(xh — œcf -f {yb — ye)

^c)' -h iy^L

UbY = f (AB) ^

i/c)' = f (AC) ( = ? (BG) )

COUP n'mL SUR LES GÊOMÉTRIES NON MÉTRIQUES 17

points supplémentaires \ Ajoutons l'équation de condition (3), qui contient les dix fonctions çj; on peut éliminer les neuf fonctions autres que -f (12), et il se trouve qu'on élimine en même temps les coordonnées des points A, B, C. On obtient ainsi, dans le cas du premier déterminant :

cp (12)^ [œ, - x,y + {y,^y,Y -4- (,, ^ .^f^

expression dont le second membre contient les six coordonnées des points i et 2.

D'une façon générale on a :

cp {mn) = {xm-XnY 4- (y^ -ynY-\- (r,, - r„ )^

généralisation qui a besoin d'être démontrée à cause d'une ambiguïté de signe qui, levée pour le premier système de deux points, aurait pu ne pas l'être par là même pour un système quelconque.

Après la définition des coordonnées vient celle de la ligne droite : c'est la suite de points telle que, si l'on en considère trois, tout autre point du système ne peut être distant de deux de ces points comme l'est le troisième. C'est là une définition analytique qui répond à la définition géométrique : la droite est la Hgne telle que, si l'on immobiHse deux de ses points, tous les autres sont immobifisés par cela seul. 11 demeure bien entendu, d'ailleurs, que cette définition analytique ne répond à aucune ligne déterminée dans l'espace, tout devant dépendre, comme application, de la façon dont se fera l'attribution des

(1) Ces neuf équations sont :

(a?a — XhY -f (//a — yb> == ^f (AB) ) (Xf, — xcY + (ya — ycY = f (AC) ( (5) (xb — XcY + (yb — ycY = f (BC) ) (oc, — Xa)* + {y, — ^/a)« -f r,« = y (1 A) ) (^, - Xb)* + (y, — yb)* + ^,« = y (IB) ( (6) (x, - xc)* + {y, — yc)* +s,*=<p (IC) ) (^, — xa)* -f (y, — ija)* + s^* = f (2A) (J?. — Xb)* + (y, — yb)* -^s^*==f (2B) f (7) (^, - JOc)* -f (y, — yc)« +s^* = f (2C)

coordonnées, en vertu de méthodes absolument étrangères à la géométrie numérique. On trouve que les équations de la ligne droite passant par les points 1 et 2 sont, quelle que soit la fonction f :

___fi— ^

La longueur d une droite entre les points 1 et 2 se définit comme étant l'intégrale de l'intervalle élémentaire (ds) entre ces deux points, lorsque z varie d'une manière continue. D'après la valeur trouvée pour o (mn), on a :

o{ds) = dx^ -f dif 4- dz\

d'où l'on déduit facilement, en tenant compte des éguations (8) : ^

[fMds)X = v/?(12).

Si l'on veut que la longueur de la droite joignant les points 1 et 2 soit égale à l'intervalle entre ces deux points, il faut adopter une forme spéciale pour la fonction o :

o(x) = kx^.

De Tilly appelle condition de mesure la condition d'après laquelle on détermine ainsi la forme o. En réalité il y aurait mesure de la distance sans qu'elle fût satisfaite, mais elle ne se ferait pas suivant la droite joignant les deux points.

Si l'on cherche maintenant si à tout système de valeurs pris pour les intervalles lA, IB, IG, correspondent des valeurs réelles pour les coordonnées du point 1, on trouve qu'il faut pour cela que, dans chacun des qua^ tre systèmes de trois points formés avec les quatre points A, B, G, 1, un intervalle quelconque soit plus petit que

COUP d'ceïl sur les géométbies non métriques 19

la somme des deux autres et qu'en outre il doit exister entre les intervalles donnés une inégalité supplémentaire.

Inversement, si les coordonnées des quatre points sont réelles, leurs intervalles le sont également ; mais, dit de Tilly, cela ne suffît pas pour que le point 1 existe dans l'espace : puisque tous les intervalles relatifs à A, B, G ont été choisis arbitrairement, rien ne prouve que le groupe (1 A, IB, IG), calculé au moyen de neuf coordonnées \ en fasse partie.

Il importe d'insister sur ce point : jusqu'ici notre auteur imposait des conditions qui limitaient le système numérique en le définissant de plus en plus étroitement ; maintenant il laisse ce système tel qu'il est et s'impose simplement d'attribuer à un point, quelconque d'ailleurs, de l'espace tout groupe (1 A, IB, IG) d'intervalles correspondant à un système quelconque de valeurs réelles attribuées aux coordonnées du point 1. G'est ce que de Tilly appelle la condition géométrique de continuité. Il s'impose également de ne faire correspondre qu'un seul point à chaque groupe d'intervalles (I A, IB, IG), mais ici l'expression dépasse sa pensée, car il en admet deux en réalité. On voit la raison de cette dualité si l'on part des coordonnées au lieu de partir des intervalles du point 1 aux points A, B, G ; les équations (6) montrent en effet qu'à deux systèmes de coordonnées x^, y^, z^ et x^, y^^ ^ z , répondent les mêmes valeurs de lA, IB^ IG. Aufond, la condition consiste à n'attribuer qu'à un seul point un même système de coordonnées, et cela pour éviter que deux points différents puissent avoir un intervalle nul. Sur ce dernier point, nous ajouterons une remarque : par cette convention de ne jamais attribuer les mêmes coordonnées à deux points différents, de Tilly écarte une des façons dont peut se présenter cette circonstance de

(1) Il y en a neuf et non pas douze, puisqu'on a pris les trois z de A, B et C égaux à zéro.

MtM

"S^pqSBgK.

deux points différents ayant une distance nulle ; mais on peut se demander si pareil fait ne peut pas se présenter pour des points de coordonnées différentes.

L'hypothèse n'a du reste rien de chimérique, car elle se réaliserait si ds était une fonction linéaire de ^/a, rfy et cls, ou si, ds' étant une somme algébrique de trois carrés des différentielles dx, dy et dz, les trois carrés n'étaient pas tous affectés du signe + Ml pourrait donc y avoir ICI une condition analytique nouvelle à imposer au système numérique ; mais nous avons vu précédemment que à un facteur constant près, d»'' est égal à la somme arithmétique dx' + d,f + dz\ en sorte que la condition est remplie sans qu'il soit besoin d'imposer aucune restriction nouvelle audit système.

Sans développer la géométrie numérique résultant de ce système qui correspond au premier déterminant, de 1 illy en tire les principes fondamentaux de la géométrie euclidienne.

II passe ensuite à l'étude du second déterminant, laquel e se fait de la même manière, mais avec plus de diliicultés. On trouve que :

et que les équations de la ligne droite sont les mêmes qu'avec le premier déterminant \ La recherche de la

(1 ) Calinon, Etude ,1e Géométrie numérique, p. (0. On sait uue ou le loncdon du second degré de rfu-, d,, e( dz peut se meltrc sous la dite lorme au moyen d'un changement de variables.

(2) On voit de suite, les équations de la droite étant linéaires dans tous les systèmes de géométrie, que de ïillv n'a pu prendre

irdîn«T^T'*' °''''"''''"'' ' *" '■»"• ^' ^ désigne une c'!>o.^onnee ordinaire, il a pris :

0? = tg ArX ou :

qS/.r' ^ "'* '''* """ imaginaire (on va voir tout à l'heure ce

COUP d'oeil sur les géométries non métriques 21

longueur d'une droite entre deux de ses points amène à la relation :

arc cos f ( 1 2) ;

pour que cette longueur soit égale à Tintervalle (12), il faut qu'on ait o{x) =-. cos /ùt. Ici la constante /joue un rôle important, tandis qu'elle disparaissait dans le cas du premier déterminant: lorsque/: est réel, on trouve la géométrie dite de Riernann, et celle dite de Lobatchefsky lorsqu'il est imaginaire.

Dans le premier cas, la condition que la distance de deux points différents ne doit pas être nulle est forcément vérifiée ; mais il n'en est pas de même si kest imaginaire : il faut ajouter la condition d'inégalité x" + // -f- s- < 1 . De Tilly l'a fait, mais de façon peu explicite.

Si notre exposé n'a pas été trop insuffisant, on a dû se rendre compte du haut intérêt de cette fjéométrio numorique ; mais nous serions surpris qu'un détail n'eut pas choqué le lecteur. Si, en effet, les diverses conditions, limitant et définissant successivement le système numérique adopté, ont été posées librement, elles avaient un sens, une portée qui en justifiait l'adoption Mais la définition des coordonnées a été posée sans aucune explication, et par suite on est fondé à se demander ce que signifie le choix ainsi fait, s'il était plus ou moins imposé par des conditions précédemment admises, et l'on remarque que ce choix réagit sur la fonction o, qui n'a été déterminée que postérieurement et corrélativement aux coordonnées adoptées.

Le nombre même des coordonnées, égal à ce qu'on a appelé le nombre des dimensions de la géométrie, aurait besoin d'être justifié ou expliqué. Il peut d'ailleurs l'être et le général de Tilly avait bien voulu nous donner les explications suivantes :

« Si je prenais quatre coordonnées, je devrais avoir

IvJ

quatre points fondamentaux A B, C et D. Alors, avec le point I, cela ferait cinq points, et les intervalles lA, IB, IC, ID qui doivent servir à la détermination des coordonnées ne pourraient plus être choisis arbitrairement. « Si au contraire je ne prenais que deux coordonnées et deux points fondamentaux A et B, les coordonnées de 1 seraient déterminées par lA et IB, les coordonnées de 2 par 2A et 2B, et comme la distance de 12 doit ensuite s'exprimer en fonction des coordonnées de 1 et de 2 (car c'est le but du calcul), on aurait une relation entre les six intervalles 12, lA, IB, 2A, 2B, AB des quatre points A, B, 1, 2, dont les deux derniers au moins sont pris au hasard. Or, par définition, il ne peut pas exister de relation générale entre les intervalles de quatre points dans un espace à trois dimensions non réductible à un ordre moindre ».

Cette question ainsi parfaitement résolue, il s'en pose une autre plus délicate : quel motif a-t on de poser les systèmes d'équations (5), ((>) et (7) ? ne le fait on pas simplement pour trouver b's formules désirées de la géométrie ordinaire ? De Tilly, disons-le, ne nous a pas donné à ce sujet une réponse aussi nette et précise que sur le premier point ; nous croyons cependant pouvoir dégager de ses explications les indications suivantes. L'obligation de satisfaire à la condition des six points imposait des fonctions du second degré des coordonnées ; en ajoutant à cela la condition du caractère additif des distances, on devait forcément être conduit aux formules adoptées ou à d'autres n'en différant que comme diffèrent les formules en coordonnées obliques des formules en coordonnées rectangulaires de la géométrie analytique ordinaire, en sorte qu'il serait possible de justifier a priori les équations discutées. Il serait très intéressant que cela fût clairement élucidé.

La constitution d'une géométrie purement numérique, étrangère à toute notion spatiale, les mots seuls étant empruntés à la science de l'espace, présente un grand

COUP d'ceil sur les géométries non métriques 23

intérêt philosophique, car elle montre que les théorèmes de la géométrie ne sont point attachés à une réalité extérieure ou à une forme d'extériorité, mais qu'ils peuvent lui être appliqués sans qu'il existe entre eux aucun lien essentiel.

Pour que cette application puisse être faite, il suffit que l'on soit en présence d'un ensemble de points de même puissance * que l'ensemble numérique ; or, nous verrons, en discutant la notion du continu, qu'un segment de ligne est de même puissance qu'un espace infini à un nombre quelconque de dimensions, si bien que l'on pourra trouver dans un segment quelconque tous les points nécessaires à l'apphcation des géométries dont nous venons de voir poser les principes.

Avant d'aborder l'étude des géométries métriques, il nous reste à montrer comment, sans recourir au concept d'identité de deux segments distincts, ou de transport d'un segment, il est possible de faire l'attribution de coordonnées aux divers points d'un espace.

GEOMETRIE PROJECTIVE

Jusqu'ici nous n'avons pas fait, à proprement parler, de géométrie : dans le premier paragraphe nous avons, en quelques mots, seulement indiqué comment on peut enchaîner des mots vides de sens, suivant des règles algorithmiques correspondant à celles du raisonnement et de façon à arriver à des énoncés qui, verbalement, sont identiques à ceux de la géométrie. Ensuite, dans le deuxième paragraphe, nous avons vu, avec un peu plus

(1) Deux ensembles sont dits de même puissance lorsqu'à tout élément de l'un on peut faire correspondre un élément de l'autre, de façon univoque et réciproque.