HE
on voit facilement que cette formule est identique à la formule 187.
Pour obtenir P',, nombre total des comètes qui passent au périhélie dans l'unité de temps, il faut appliquer encore la formule 177, mais en remplaçant V par la quantité / conformément à ce qui a été dit n° 22, de sorte que dans le cas où 4 est une constante nous aVONS :
èT al V3 Pi 212 — d ï AE (192) 2 X r/qe ne Hispans — 2vH COSa + H?
L est donnée par l’équation 77, comme c’est une fonction de « on ne peut pas intervertir l’ordre des intégrations, nous allons donc opérer autrement. L'intégration par rapport à v est possible puisqu'il s'agit d'une fraction rationnelle, en appliquant les règles relatives à ces fonctions on trouve pour l'intégrale indéfinie :
qv° HT
+5 v COSa«a
— H cs]
1 a de 2e ; d A 1e [: ui n LEONE D|x [5 L(v? — 2H cosa + HF) + cotga arotg RE
H? v — H cosa
Ccotga arctg + const,
H sin «
faisant v —0o puis v —/— H cosa + VU? — H° sin’ et retranchant, nous trouvons pour la valeur de l'intégrale par rapport à v dans Ia formule 192 :
g® , qu = + 7 cos FÉINTR U H sin Tr + [1 + PF GG costa — 1)] x [Z H + cotgx (are eos Ü +52) JagRe ec HSsine | n COtg x (are COS — + 9 :)
il faut multiplier cette expression par sins ds et intégrer de o à =. Nous diviserons les termes en trois groupes; le premier est H sin « T Du 205»
de ces termes de o à + est nulle, parce que si on change + en + — x ils changent de signe. Le second groupe comprend les termes sui-
vants :
formé des termes qui renferment arc cos l'intégrale
2 2 [: Fe (4 COS? x — | 4 (sina Le — à cosa) dax + me x COSa dx (193)
l'intégrale de ces termes se déduit des formules suivantes
T T n L , 9 | Sina da = + 2 | Sina COS* à da = + 3
Le
[« COSax da —| cos+ — à sin :| = —
“ pr
T T Ÿ ÿ : are 2 14 a COS$a da — | al sina — gSina + 3 COS « + à costa > — —
on trouve ainsi pour valeur de l'intégrale de l’expression 194 de oOùT:
He 2 (1 dE Fe) 2 n+2+ (195) Enfin le troisième groupe, qui comprend les termes en /, est: (Le ee ue OS ) Sina d (196) re (6) œ œ L4 :: DORE |
pour intégrer ces termes nous prendrons / pour variable, comme aux n° 24 et 27, l'expression 196 devient
don LR» pe = = FŸ Dale +su nm TT a (197)
aux limites o et r pour «, correspondent pour / les limites U+H et U — H. L'intégrale indéfinie de l'expression 197 est :
= pH [5 +2 UE Li |] + const.
eten prenant pour limites U + H et U— H on trouve:
+ JE (HU? + Hs) (198)
En additionnant les expressions 195 et 198 nous avons finalement la valeur du second membre de la formule 192, de sorte que :
Cette formule et la formule 188 sont identiques.
49. — Substituons dans les formules que nous venons de trouver les valeurs numériques considérées précédemment (n° 10, 26, 38)
q = 2, fly N=0,1, DEAD MIO ONE 0 SNA Struve (n° 20 et 26).
La formule 187 ou 191 nous donne pour me la valeur 0,1654 La formule 188 ou 199 nous donne pour He les valeurs : U I 5,9068 10 109,6080 100 10014,3092
Le rapport du nombre des orbites de demi grand axe supérieur à 100 (en valeur absolue) au nombre des orbites de demi grand axe inférieur à 100, parmi les comètes visibles qui passent au périhélie
pendant un certain temps, est + ; nous obtenons ainsi pour Fra ce rapport les valeurs suivantes :
D’après ces nombres la presque totalité des comètes seraient sensiblement hyperboliques, par exemple pour U—1, limite proba-
, UE, blement trop faible, comme (0,0288 — 7 il y aurait seulement une
orbite non sensiblement hyperbolique pour 35 orbites sensiblement hyperboliques.
Va l nn J'ai aussi calculé les valeurs de —— pour une série de valeurs de
V, en admettant toujours g — 2, H— 0,25; ce calcul a été fait au moyen de la formule 191, qui convient à la condition que V<U—H. Voici les nombres obtenus:
Le P°
V fa v fa 0,1 0,1654 1,0 5,822 0,2 0,7516 2,0 10,254 0,3 2,1557 3,0 16,085 0,4 2 ,9785 4,0 23,673 0,5 3,585! 5,0 33,130 0,6 4 ,0978 6,0 44,50 0,7 4,560! 7,0 57,82 0,8 4 ,9938 8,0 73,08 0,9 5,4118 9,0 90,33 10,0 109,53
Ces nombres montrent que non seulement on devrait rencontrer beaucoup d'orbites hyperboliques de demi grand axe inférieur à 100, mais même un nombre considérable d'orbites hyperboliques avec grand axe beaucoup plus petit. Supposons par exemple
» P'’ — e , U—1, nous avons trouvé —*—5,9068 ce nombre est à peu prés rfqe
LA
double de la valeur de —. pour V — 0,4, il y aurait donc la moitié des comètes pour lesquelles la vitesse initiale dépasserait 0,4
et dont par conséquent le demi grand axe serait inférieur à
ou 6,25.
D'après ce que nous avons dit n° 20, on peut vraisemblablement supposer U—3, alors le nombre des comètes pour lesquelles la vitesse initiale est inférieure à 1 et le nombre total {‘) sont entre
es (0,4ÿ
14 £ (1) On remarque que les valeurs de 2 pour U—1 et U — 10 ne différent
rfqe
pas des valeurs de a pour V—=1 et V —10 si on se borne à prendre une
rfqe
décimale, donc pour U—3 on peut prendre la valeur de égale à celle de
LS DOUPAN —:27.
rfqe
