D ———— (170) PAM OESTE=N

Si l'on prend V égale à la vitesse parabolique à la distance r, la valeur de cette expression est presque nulle, c’est-à-dire que dans le cas g(v) — Mr toutes les orbites seront des hyperboles, sauf de très rares exceptions. Si nous prenons comme précédemment g—2, f —=1;,.V —=0,1, expression 170 prend les valeurs suivantes :

On voit que dans le cas que nous examinons ici presque toutes les orbites seraient sensiblement hyperboliques. |

Il est à remarquer que la valeur de l'expression 170 ne dépend pas der.

Pour avoir le nombre total des comètes visibles qui passent au périhélie pendant l’unité de temps, désignons par N la valeur de la quantité entre crochets dans la formule 169 lorsqu'on y fait

V =U, nous avons alors :

U P',—= MrN Nes = | Mr'du—=— 3 MU*

P',et N, désignant les mêmes quantités que précédemment, on en déduit :

Passion Nate ou à très peu près Re = 3x (7 ou + À) 7!

= sr (qu +1 (171)

Voici quelques valeurs de = déduites de cette formule

(en!

41.— On voit que, lorsqu'on suppose le Soleil immobile, le nombre des comêtes sensiblement hyperboliques qui doivent passer au périhélie pendant un certain temps dépend beaucoup de la fonction o(v) . Lorsque cette fonction est une constante et que la limite supérieure des vitesses n'est pas très inférieure à la vitesse de la Terre dans son orbite, nous devons trouver une forte proportion d'hyperboles parmi les comètes que nous voyons passer au périhélie. Comme «{v) entre simplement en facteur dans chacun des éléments des intégrales de la formule 161, pour que les orbites sensiblement hyperboliques soient très rares il faudrait que la fonction #{(v) soit beaucoup plus grande pour les petites valeurs de w que pour les valeurs de un peu grandes.

al"

42. — Nous avons dit (n° 6) que Laplace a cherché à tenir compte de ce que la probabilité des découvertes de comètes varie avec la distance périhélie, nous allons examiner rapidement cette question. ;

Pour cela, au lieu de chercher le nombre des comètes de grand axe donné dont les distances périhélies sont inférieures à une valeur donnée, cherchons le nombre de celles dont la distance périhélie est comprise entre deux valeurs infiniment voisines g,g + da; il suffit de différentier la formule 161 par rapport à la variable gq. D'après les règles de différentiation sous le signe $ et en tenant compte de ce que g entre dans la limite À des intégrales, nous trouvons

les deux premiers termes peuvent s’écrire

d’après la valeur de A (formule 50) le facteur entre crochets est nul, de sorte que

“ARCS à 2 D — > | va(v) [a 0 Li = *) a (172) A dq représente le nombre des comètes de vitesse initiales infé— rieures à V et de distances périhélies entre g, g + dg qui passent au périhélie dans l'unité de temps.

La formule 172 nous permet de résoudre pour une distance périhélie fixée les mêmes questions que la formule 161 pour les distances périhélies entre o et g. En ce qui concerne le rapport des nombres des orbites de vitesses initiales inférieures et supérieures

re. dA 2 2/q q dA c 2f 2q — m*Ao(A) dd rA®(A) + > (1 FÈ ) | dq Fr | v(v)| 29 +2: fi SA

à V, en partant de la formule 172 nous obtenons ce rapport pour chaque distance périhélie donnée. Or d’une part les conditions de visibilité d’une comète dépendent peu du grand axe de son orbite, tant que l'orbite ne s'éloigne pas trop de la parabole, et d’autre part, lorsqu'on admet que le Soleil est immobile et que la fonction (uv) est la même dans toutes les directions, le rapport en question est indépendant des éléments autres que la distance périhélie. Il en résulte que pour une distance périhélie donnée le rapport réel et le rapport observé entre les nombres des orbites de grand axe inférieur et supérieur à une certaine limite sont égaux ; en partant de la formule 172, nous obtiendrons donc le rapport que nous devons réellement observer. On arrivera ainsi à des résultats analogues à ceux obtenus pour les distances périhélies inférieures à g, je me dispense de les développer.

Supposons que nous ayons représenté le nombre des comètes observées de distances périhélies inférieures à qg par une certaine fonction de g, b(q) ; désignons l'expression 172 par F(9), et par F,(q) la valeur de cette même expression lorsqu'on remplace V par la limite supérieure des vitesses, on ce qui revient au même par >.

Le nombre des comêtes de distances périhélies entre q, g + dg qui

ee : dæp :

ont été observées est “a dq , et parmi ces comètes le nombre

de celles dont la vitesse initiale est inférieure à V doit être :

dæ Fi(q)

ag TX E,@

Donc, le nombre total des comèétes observées de vitesses initiales inférieures à V sera :

La 4 | dæ | Fi(q) aq F;(Q) (473)

Solution en tenant compte du mouvement du Soleil.

43. — Reportons nous au premier chapitre n° 21, nous avons trouvé que le nombre des comètes visibles dont la vitesse est inférieure à V, qui se trouvent à un instant quelconque entre deux sphères de rayons 7’, r + dr ayant le Soleil pour centre est, d'après la formule 75,

T V dr X sfq | dx X Sin a [ fb,2)d0

Considérons les comètes pour lesquelles la vitesse est entre v et ù + dv, leur nombre s'obtient par différentiation de cette expression par rapport à la limite V de la seconde intégrale ('), ce qui donne :

T dr X xfqd | f(, a) sina da (174)

Remarquons maintenant que lorsqu'on tient compte du mouvement du Soleil, d'après ce qui a été dit au premier chapitre, le nombre des comètes visibles dont la vitesse initiale fait un angle sensible avec le rayon vecteur est extrêmement petit, et infiniment petit si r augmente indéfiniment. En effet, l'angle de la vitesse avec le rayon vecteur a été désigné par 6 et le maximum de $ pour les comèêtes visibles est l’angle 8, donné par la formule 156, d’où

sin, — £ + AE (1 -

tant que w n'est pas extrêmement petite l’angle $, est extrêmement

(1) On peut aussi déduire la formule 174 de la formule 69, de la même manière que la formule 75 de la formule 71.

petit, par exemple pour # égale à la vitesse parabolique re

g—2?, r —100000, on trouve .8, — 0°,28 seulement, et nous avons vu que le nombre des comètes visibles pour lesquelles la vitesse est inférieure à la vitesse parabolique est presque nul. Lorsque r augmente indéfiniment 8 tend vers zéro. Nous pouvons donc, en ne négligeant que des quantités infiniment petites, considérer toutes les comètes visibles qui se trouvent entre les deux sphères de rayons r,r + dr et dont les vitesses sont entre v,” + dv comme ayant leurs vitesses dirigées vers le Soleil, dés lors elles restent dans l'espace compris entre les sphères de rayons r,r + dr le temps

Répétons maintenant les raisonnements du n° 34, soit encore 4, le temps que mettent ces comêtes pour traverser la sphère de rayon g ayant le Soleil pour centre ; £, ne dépend pas de l'angle £ qui est toujours très petit, mais il n’en est pas de même de 4, , parce qu'une très petite variation de R fait beaucoup varier la distance périhélie. La valeur de £, n'est donc pas la même pour toutes les comètes dont les vitesses initiales sont entre v, v + dv, et il faut considérer d'abort, parmi ces comèêtes, celles pour lesquelles #, a des valeurs comprises entre deux limites infiniment voisines (ce sont celles pour lesquelles 8 a des valeurs comprises entre deux limites infiniment voisines) elles forment une fraction du total que nous (lésignons par K”. Le nombre de ces comètes entre les deux sphères de rayons r, r + dr s'obtient alors en multipliant l'expression 174 par K”, pour avoir ensuite leur nombre moyen dans une sphère de rayon q ayant le Soleil pour centre il faut multiplier par

la où v Le ce qui donne :

t, dr ? I

K'ér fqu dv | ‘fo, a) Sina da (175)

Répétons le raisonnement du n° 35 qui nous a donné le nombre

des comèêtes qui passent au périhélie dans l'unité de temps, nous

de . I aurons ce nombre en multipliant la formule 175 par 7 COQUE élimine 4. Si ensuite au lieu de considérer parmi les comètes visibles de vitesses initiales entre v, w + du seulement celles pour lesquelles é, a une valeur déterminée et qui forment une fraction K' du total on veut les considérer toutes, comme le facteur qui multiple K’ est toujours le même, il suffit de supprimer ce coefficient K’. De sorte que nous trouvons que le nombre des comètes visibles qui

passent au périhélie pendant l'unité de temps et dont les vitesses initiales étaient entre v, © + «dv, est :

T rf qu dv f f(o,e) Sina dax (176)

Pour avoir le nombre des comèêtes visibles qui passent au périhélie dans l’uuité de temps et dont les vitesses initiales étaient entre oet V, il faut intégrer la formule 176 par rapport à la variable de o à V ; ce qui donne, en désignant encore ce nombre par P':

T V ps fa | da sina : f(0,2) v dv (77)

O oO

la fonction f(v,z) est toujours donnée par la formule 72.

Il y aurait à reproduire ici les considérations des numéros 22 et 23 sur le cas où #(2) est une fonction donnée pour À entre zéro et une limite U et est nulle ensuite, mais il suffit de se reporter à ce qui a été dit à ces numéros.

44. — Afin d'éviter toute objection relativement au raisonnement qui nous a amenés à considérer les vitesses des comêtes visibles comme dirigées exactement vers le Soleil, je dois présenter quelques remarques. D'abord si nous voulions tenir compte du petit angle que les vitesses font avec le rayon vecteur, le chemin parcouru par

les comètes entre les sphères de rayons r, r + dr au lieu d'être dr

cos ÿ

on peut donc d'autant plus négliger de tenir compte de

; : rà dr ; simplement dr serait et le temps {, au lieu d'être ds serait

dr v cos B ?

l'angle 8 qu’il entre dans les formules par son cosinus, lequel ne

a? . . LA diffère de 1 que de la quantité extrêmement petite 5 . Ainsi si

d nous ne regardons pas 8 comme nul, le rapport = par lequel nous

avons multiplié la formule 175 pour obtenir 176 se trouve multiplié par cos 8 et par suite un peu diminué ; il en résulte que la valeur de la formule 176 est un peu diminuée et comme 8 n'est sensible que pour de très petites valeurs de », en tenant compte de cet angle nous diminuerions un peu le nombre des orbites peu différentes de la parabole. L'erreur infiniment petite commise en regardant 8 comme toujours nul est donc à l'avantage des orbites peu différentes de la parabole.

Si l'on voulait absolument tenir compte de l'angle 8, on y arriverait d'ailleurs, d'une façon très approchée, de la manière suivante :

Reportons nous à la figure: 5 {n° 21) et considérons le volume MN M'N' qui renferme les extrémités des vitesses des comètes visibles pour lesquelles la vitesse relative initiale est entre et v + dv. Ce volume est extrêmement petit, infiniment petit lorsque r augmente indéfiniment, mais considérons le comme divisé lui-même en volumes infiniment petits égaux, qui donc lorsque 7 augmente indéfiniment sont des infiniment petits du second ordre. La probabilité que l'extrémité d'une vitesse absolue tombe dans l’un de ces petits volu-

mes varie proportionnellement à sl » en effet la probabilité que

l'extrémité d'une vitesse absolue tombe entre deux sphères de rayons h, h + dh ayant le point G pour centre varie comme #(A) et si nous supposons ce volume divisé en une série d'éléments infiniment petits égaux, la probabilité que l'extrémité de la vitesse tombe dans

? | 4 Li e “h) l'un de ces éléments variera proportionnellement à . . Le volume

MNM'N étant extrêmement petit et infiniment petit si r augmente

indéfiniment, les valeurs de pe Pour les divers points de ce

volume ne difiérent qu'extrêmement peu et nous pouvons les regarder comme égales. Considérons maintenant les vitesses relatives, dont l'origine est au point D, le volume MNM'N' étant divisé en éléments infiniment petits égaux la probabilité que les extrémités de ces vitesses (extrémités qui sont les mêmes que celles des vitesses absolues) soient dans l'un de ces éléments est la même pour tous ces éléments, il en résulle que les vitesses relatives des comètes visibles peuvent être regardées comme distribuées uniformément en direction autour du point D. Ceci admis nous pouvons tenir compte de l'angle 8.

Revenons à la formule 174, elle représente le nombre des comètes visibles renfermées entre deux sphères de rayons r, r + dr ayant le Soleil pour centre et dont la vitesse est entre v, v + dv ajoutons en outre la condition que l'angle de cette vitesse avec le rayon vecteur soit entre 8 et 8 + d$ ; la répartition des directions étant uniforme le nombre des vitesses de direction comprise entre 8, 6 + dB varie proportionnellement à K'”sin£ dB , K°” désignant une constante, pour les comètes considérées $ à un maximum $,, si nous voulons que l'expression 174 multipliée par K°” sin£ d£ donne le nombre de ces comèêtes il faut que

JK" sing ds —1 d'où l sin

a Net ë, K” sinf di — ]

5 — COS f;

Appliquons maintenant le raisonnement fait n° 43, la seule dif-

férence est que é, est ici égal à et que le facteur désigné

’ , , sin f par K'est égal à CT pour le nombre des comètes qui passent au périhélie dans l'unité de temps et dont les vitesses relatives initiales étaient dans les limites

», v.+ du et 6,P +. df :

v COS ÿ d8 ; nous trouvons la formule suivante,

T sin $ Cos f DT ee LÉ rfqv dv ESS TER a fre Sinx da (178)

Pour avoir le nombre P’ des comêtes visibles qui passent au périhélié pendant l'unité de temps et donc les vitesses initiales sont inférieures à V il faut intégrer la formule 178 d'abord de o à &, relativement à 8 puis de o à V relativement à vw, pour v < À

. L'intégration par rapport à 8 s’effec-

la limite $, est toujours 3

tue facilement :

sing COsÿ d8 __1 sin'f, 1— cos& ‘ 21— cos8,

8, est lié à w par la formule 156 qui donne :

RE RUE: Ce Was : r (139 PA CHEN 07 PRE Ou CNE SR 19) " f1-y£+2%t-9 10 ur Fr pour w < À il faut prendre 8, — 2 et DE Pour abrèger 2 21—cosB& 2 = y 4 IT CSN k ; + nous désignerons la quantité > T—5oss qui est une fonction “ dre l

de w par E. En intégrant de o à V nous trouvons alors pour P' la valeur suivante :

T fe

| sa [ da X Sina JE f(v,x) v dv (180)

Si nous comparons les formules 180 et 177 nous voyons que la 1 sin?8,

différence consiste dans le facteur E ; ce facteur égal à à Heat] D" 1

diffère très peu de 1. En effet, pour 8,— 0 il prend la forme © mais (a

le rapport des dérivées montre que la vraie valeur est 1. Sa dérivée par rapport à £, est

1 2 sinf, cos, (1 — cosf,) — sin'8, l 2 (1 — cosi,) .

11 L SIN ÿ;

quantité négative car 6, ne dépasse pas Se E diminue donc constam-

Q . 7 us 1 ment lorsque $, varie de © à 5 et pour f—; sa valeur est 3;

On voit que pour la presque totalité des comètes le facteur E ne diffère pas sensiblement de 1, ce n’est que lorsque » devenant extrêmement petite 8, différe sensiblement de zéro, qu'il devient

inférieur à 1 et sa plus petite valeur est 5 . La formule 180 nous

donnerait donc des résultats très peu différents de la formule 177, et la différence consisterait dans une légêre diminntion du nombre des orbites voisines de la parabole.

45. — Le calcul des formules 177 et 180 exige deux intégrations, nous pouvons, comme dans le premier. chapitre, n° 24, trouver une formule qui ne renferme qu’une seule intégrale. Pour cela reprenons les raisonnements déjà faits n®% 34 et 43 ; considérons parmi les comètes visibles qui se trouvent entre deux sphères de rayons r, r + dr ayant le Soleil pour centre celles dont les vitesses relatives ont des valeurs entre v, + dr et font avec le rayon recteur des angles entre £, 6 + d£. Soit n, dr le nombre de ces comètes et #, le temps.qu'elles restent entre les deux sphéres de rayons r , r + dr, RL.

v CosB sphère de rayon g ayant le Soleil pour centre, £, le temps qu’elles restent dans cette sphère et p le nombre de ces comètes qui passent au périhélie dans l'unité de temps, nous avons

Lt, . Soit maintenant nr, le nombre de ces comêtes dans une

M PX la

entre n,dr, n,, t,, {, nous avons

Na __ {3 __ la X 0 COSÉ mdr dr

d’où, en remplaçant n, par pe, :

Di Mr XUICOSR

D'après cela, si dans le premier chapitre nous prenons une formule quelconque qui, multipliée par dr, donne le nombre des comèêtes remplissant certaines conditions qui se trouvent entre deux sphères de rayons 7,7 + dr, pour en déduire le nombre de ces comètes qui passent au périhélie dans l'unité de temps, il faut diviser le nombre donné par la formule du premier chapitre en éléments infiniment petits par des accroissements infiniment petits de “etf, multiplier chaque élément par v cosf et faire la somme.

Il est maintenant facile de déduire des formules du n° 24 d’autres formules analogues qui donnent le nombre des comètes visibles qui passent au périhélie dans l'unité de temps ; d'après ce que nous avons dit n° 43 et 44 nous pouvons faire cos8 — 1, il suffit donc de multiplier par v chaque élément infiniment petit des formules du n° 24.

La formule 87 devient alors :

an x 0 «jy fG+ +5) do (181)

les limites de l'intégration sont encore (H—) en valeur absolue et V, de sorte que les formules 88 et 89 sont remplacées par les suivantes, qui s’obtiennent par l'intégration de la formule 181 entre ces limites :

&(h) qv? ac 9 sa 1 a] (: “e x) F (H — h) (1 + | dk (182)

f,(h)dn = fa [GR + 0) (1 ÉCE) (n n (| + En] dh

Dans le double signe + on doit prendre — pour À < H et + pour k > I, on pourrait mettre le signe — seul et convenir de prendre toujours H — 2 en valeur absolue.

Les formules 90, 91, 92 du n° 24 restent ensuite les mêmes, mais J'est ici remplacé par Pet les fonctions f, et f, par f, et f, , de sorte que le nombre des comêtes visibles qui passent au périhélie pendant l'unité de temps est donné par les formules suivantes :

SUV Hi H+V P' sk f,(h)dh (184) H—V Si V >H V—H V+H P' | f,(h)dh + 1 f,(h)dh (185) oO V—-H

et enfin le nombre total des comètes visibles qui passent au périhélie pendant l'unité de temps est

DO P',— | f,(k)dh (186)

Nous avons ici à remarquer comme au n° 24 que si #(h) est représentée par une fonction donnée jusqu à une limite U et nulle ensuite, il faudra arrêter les intégrations à cette limite.

Au lieu de faire usage des deux formules 184 et 185, on peut se servir de la formule 184 même dans le cas V > H, à la condition de regarder &(— ) comme égale à &(k); en effet, si dans l'expression 182 nous changeons À en — À et convenons que pour À négatif, qui rentre dans le cas À <H, nous prenons le signe — dans le double signe +, nous trouvons

cette expression ajoutée à la formule 182 donne la formule 183, il en résulte que

V—H V—H i fs(h)dh — ï Ch) dh

H—V dE

et que la formule 184 peut être employée même dans le cas V > H.

Conséquences des formules.

46. — Si nous comparons la formule 177 à la formule 75 du premier chapitre, nous voyons que la différence consiste en ce que chaque élément de l'intégration relative à la variable » est multiplié par la valeur de cette variable. Il en résulte que le nombre des orbites peu différentes de la parabole, pour lesquelles la vitesse » est petite, est considérablement diminué. Nous avons trouvé dans le premier chapitre, en tenant compte du mouvement du Soleil, que les orbites doivent toutes être hyperboliques, il en sera donc à fortiori de même ici, et parmi ces orbites hyperboliques le nombre de celles qui s'écartent beaucoup de la parabole sera augmenté dans une forte proportion.

Remarquons aussi que, lorsqu'on tient compte du mouvement du Soleil, r n'entre pas dans les formules, par conséquent le nombre des comètes de grand axe donné qui passent au périhélie dans l'unité de temps est indépendant du rayon de la sphère d'activité du Soleil.

47 — Examinons le cas où #{2) est une constante entre 0 et U. Le nombre des comèêtes visibles qui passent au périhélie pendant l'unité de temps et dont les vitesses initiales étaient inférieures à V, est donné par la formule 184; l'intégration doit être divisée en deux parties, la première de H— V à H, la seconde de H à H + V; pour la première partie, comme À <H, il faut prendre le signe — dans la formule 182, pour la seconde il faut prendre le signe +.

L'intégrale indéfinie J f,(4)dh , abstration faite du facteur sit

et de la constante arbitraire, est

es 3 Q [T2 3 ? h3 (v à D) heu Fat Lh— ta + Sur — À]

. le signe — convient au cas À < H, le signe + au cas À > H.

Prenant l'intégrale d'abord de H — V à H avec le signe —, puis de H à H + V avec le signe + nous trouvons (!) :

Le nombre total des comètes visibles qui passent au périhélie pendant l'unité de temps est donné par la formule 186, il faut prendre U pour limite supérieure de l'intégration. L'intégrale indéfinie,

abstraction faite du facteur #98 et de la constante arbitraire, est : LR ES a(x Lh + 3H%k + à hr = n)

+ q Pr St CRE æ [un {ue ce su + En -}")]

Dans le double signe + il faut prendre — de 0 à Het + de HaU, dans le premier cas, les termes en LA disparaissent. En donnant à À les valeurs 0, H, U cette expression prend les valeurs suivantes :

Signe — . 7

kh = 2H + Le (545) k—=H H LH + ge @H° LH + 3H°)

HDMI F (2H3 LU + 3HU?)

(1) Je suppose V <U — H, je mets ; 5 L(R= £ +) et = ; L(- 4 pour ne pas dis-

tinguer deux cas selon que V <Hou V>H, Un. ce dernier cas il faut diviser l'intégration en trois parties limitées par les-valeurs -H=V ‘or HAE",

ou faire usage de la formule 185.

2 QgV*\ ;/H+VY\V.H EE ANT NT Re mn 2 (+ Mr) Le) +5 2) le 2(— 5) +uv

Faisant la différence des deux premières valeurs, celle des deux

dernières et ajoutant, nous trouvons finalement :

St QUE U arr U +2») 188 PA Xe = 2H (LE +t)+ à 2H LE SHU° + H)+ He] (188)

48. — Les formules 187 et 188 peuvent aussi être obtenues par ja méthode du n° 46. En effet, dans le cas ou + est une constante, la formule 177 se réduit (!) à :

T NI qu?

1 2 PR mile X re v dv (189) v? — 20H cosx + H?

comme les limites ne dépendent pas des variables, nous pouvons intervertir l’ordre des intégrations et écrire :

(Pshe ; qu? Sin &

Pete fe ue (1 d 2IE D EVE TS : he O 2] or

T L11 F Sina ji

Re — — —) La 2

Jos pr 4 or [EC — 2H coss + H°)]

= [ £ Co D CACI Se H>|

La formule 189 devient donc :

T VILA pie ge fs + Ÿ) [ £Co he HN ST Pre Hy Ja (190) oO

l'intégrale se déduit des deux suivantes

(1) Je suppose V < U—H de façon que À = v? — 2vH cos « + H? ne dépasse jamais la limite U .

| Lo dx = x Le — zx fe Lo dx = 3 S (£ CO — 5)

en appliquant ces deux formules nous trouvons

| [Z EN Liur- Hy | ER L(LS ts ee) L HL(w — H?ÿ + const.

ur 3 3 = iii fe[ze +H}—ZL(o—H?| PRE — Lo + AY — EL — H}

+ À Hv* + const.

la formule 190 devient alors