DISPOSITION THÉORIQUE DES ÉLÉMENTS AUTRES QUE LE GRAND AXE

Dans les deux premiers chapitres nous nous sommes occupés seulement du grand axe des orbites, nous allons maintenant chercher comment les autres éléments devraient être disposés si les comèêtes venaient des espaces interstellaires. La forme et la position d’une orbite étant déterminée par cinq éléments, nous en avons encore quatre à étudier, nous prendrons pour ces éléments : la distance périhélie, la direction asymptotique du côté où la comête nous arrive, et enfin réunissant ensemble linclinaison et la longitude du nœud nous étudierons la disposition des plans des orbites.

Distances périhélies.

56. — Pour avoir la loi des distances périhélies il n'est pas besoin de nouvelles formules, 4 ayant été laissé arbitraire dans les formules du chapitre 11 qui donnent le nombre des comêtes qui passent au périhélie dans l'unité de temps, il suffit de regarder cette quantité g comme variable pour avoir la loides distances périhélies soit pour la totalité des comèêtes, soit seulement pour celles dont le grand axe est compris entre certaines limites.

Occupons-nous seulement de la totalité des cométes et examinons d'abord le cas où le Soleil serait immobile dans l'espace. Alors le nombre des comètes qui passent au périhélie dans l'unité de temps est donné par la formule 161, où pour avoir le nombre total des comètes on doit remplacer V par la limite supérieure des vitesses, que

nous désignerons par U. La différentiation de la formule 161 par rapport à g donnera le nombre des distances périhélies comprises entre q et g + dgq. Cette différentiation a été déjà faite et a donné la formule 172.

Les formules 161 et 172 renferment g non seulement dans la quantité placée sous le signe {, mais encore dans À qui est l’une des limites de l'intégration. Il en résulte que la loi des distances périhélies dépend des valeurs de la fonction -(v) pour de très petites valeurs de v. En effet, donnons d'abord à g une valeur g,, à laquelle correspond pour À une valeur AÀ,, la formule 172 peut s'écrire :

U 2rf fe dv + ren [1e — “ o(v) do

A Ai

les valeurs des intégrales dépendent des valeurs de e(v) pour » entre À, et U. Donnons ensuite à g une valeur g, plus petite que g,, à laquelle correspond pour À une valeur A, plus petite que À, , le premier terme et le coefficient de g dans le second se trouvent augmentés de :

2] + UE dv et æ | (o — 3) a(v) dv

ces deux quantités dépendent des valeurs de #{v) pour v entre À, et A,, c'est-à-dire pour de très petites valeurs de ». : Donc si l’on suppose le Soleil immobile dans les espacesstellaires, la loi des distances périhélies dépend beaucoup de la fonction & (A), si cette fonction est donnée nos formules font connaître cette loi Dans le cas par exemple où & est une constante, la formule 164 où q est regardé comme variable donne la loi des distances périhélies ; si l'on suppose 4(v) —Mr, ce sera la formule 169 (en faisant V— U). Afin de montrer des exemples des lois qu'on peut ainsi obtenir, nous donnons ci-dessous les nombres des distances périhélies pour des