RE 1,0 100,0 F

57. — Tenons maintenant compte de la vitesse du Soleil. La loi

des distances périhélies sera alors donnée par la formule 177, dans

laquelle on regardera g comme variable, et si l’on veut avoir la loi

des distances périhélies pour la totalité des comêtes on remplacera

V par = ou par la quantité / donnée par l'équation 77. Gelte loi est

aussi donnée par ia formule 186, dans laquelle au lieu de + on peut

Li OS

nt

prendre pour limite supérieure de l'intégration la quantité U limite supérieure des vitesses des comèêtes répandues dans l’espace.

Que l’on fasse usage de l’une ou de l’autre formule, on voit que, quelle que soit la fonction (A), le nombre des distances périhélies inférieures à q est représenté par une expression de la forme :

C, et G, étant deux quantités positives et indépendantes de g. Si l'on déduit ces quantités des formules 186 et 183, on trouve :

a = ÿ) [cu Eh) + (A — | dh

} G=R [on + ny + (HA) ] 2%

Le signe — doit être pris pour X <H, le signe + pour À > H. Le rapport des quantité O, et G, dépend de la fonction e(k) de H et U. Avec la formule 177 on trouve

(V4 — 2H cosa + IH) Cox fps À — 2vH cos L IP v dv X Sina da

(1/0 — 20H cosa Ho cosa IF) H cos + H°) «= f fe 0 ose vidv X Sina da

l'est donné en fonction de + par l'équation 77; on peut remplacer {par > à la condition de faire attention de bien donner à :

E( V0? — Juil cosa E H)

la valeur convenable, valeur qui est nulle pour v> 4.

me

Ces dernières valeurs de C, et G, nous conduisent à une remarque intéressante. Supposons que la vitesse du Soleil et la fonction (A) soient telles que les orbites des comèêtes visibles soient toutes à peu près paraboliques (!), alors les valeurs de un peu grandes ne nous donnent presque jamais de comêtes visibles et peuvent être négligées. Comparons les valeurs 215 de GC, et C, , les éléments des intégrations

différent par le facteur 57 introduit dans GC, ; si par exemple toutes les valeurs de v sont inférieures à 0,1 (avec f— 1), C, sera sûrement inférieure à 0,005 C,. Donc C, sera négligeable relativement à GC, et la loi des distances périhélies se réduit à G,g. Comme les orbites des comêtes que nous voyons sont très peu différentes de la parabole et, que le Soleil est certainement animé d’un mouvement propre (!), nous pouvons énoncer le théorème suivant :

Si les comêtes viennent des espaces interstellaires le nombre des distances périhélies comprises entre o et g doit être G,g, C, désignant une constante.

On peut remarquer que le rayon du Soleil étant du rayon

de l'orbite terrestre, parmi 214 comètes qui viennent passer entre la Terre et le Soleil, une en moyenne tomberait sur le Soleil.

Directions asymptotiques.

58. —— Si l'on suppose le Soleil immobile, les directions asymptotiques doivent être réparties uniformément dans toutes les directions (en admettant que la fonction & soit la même dans toutes les directions). Il n'y a donc qu'à examiner le cas où le Soleil esten mouvement dans l’espace.

Considérons la formule 177 qui donne le nombre des comètes visibles qui passent au périhélie dans l'unité de temps avec des

(4) Nous admettons que la vitesse du Soleil n’est pas absolument nulle, car sans cela la formule 177 ne serait pas applicable.

vitesses initiales inférieures à V, si au lieu de chercher ce nombre pour les comètes qui nous viennent de tous les points de la sphère céleste nous voulons considérer seulement la portion de la sphère comprise entre les directionsoet #,il faut prendre + au lieu de + pour limite supérieure de l'intégration ; ensuite si nous voulons nous restreindre aux comètes qui viennent des directions comprises entre 4 et a + da il faut différentier par rapport à +, ce qui donne :

rfg X da sina ff(,2)v dv (216) [2]

Comme la surface de la sphère céleste comprise entre les direc- . (| 0 . Li tions a et à + du est ÿsinxda , la surface entière de la sphère

étant l'unité, le nombre des comèétes de vitesses initiales inférieures à V qui passent au périhélie dans l’unité de temps et nous viennent d’une petite surface ds de la sphère céleste située dans la direction æ es à ds X 2/9 ffv,2)v dv (217)

l'unité pour exprimer dé étant la surface entière de la sphère céleste.

Si au lieu des comètes dont la vitesse initiale est inférieure à V, nous considérons la totalité des comètes, il faut prendre pour V la plus grande des vitesses, c’est-à-dire la quantité / donnée par la formule 77, on peut prendre aussi car au-delà de la plus grande des vitesses la fonction + et par suite la fonction f sont nulles. Ainsi le nombre des directions asymptotiques descendantes (!) qui se trouvent dans la surface ds est :

ds X 2r/ÿ frv,2va (218)

oO

(1) Nous appelons asymptote descendante celle de la branche de l'orbite par laquelle la comète vient vers nous.

Nude ds. “ RS

La valeur de cette expression dépend de +{A) et de la vitesse du Soleil H.

59.—Examinons en particulier ce quia lieu avecles deux fonctions (2) que nous avons étudiées et prenons d'abord e(h) — MA? qui est le cas le plus simple, l'intégrale renfermée dans la formule 218, abstraction faite du facteur M, devient :

f(1+ Son 54e (219)

Lorsque + varie de o à +, / diminue d’une manière continue de U + H à U—H (j'admets U > H). Donc les régions de la sphère céleste où se trouvent le plus de directions asymptotiques descendantes sont celles situées à l’apex dun Soleil, celles où ils’en trouve le moins sont les régions opposées, et en passant de l’apex à l’antiapex le nombre des directions asymptotiques diminue d’une manière continue. Le rapport du maximum au minimum est :

s(U+H} + ay CU + Hys

THE sr (U — Hys

Vie VIe

la valeur de ce rapport dépend de H et U.

Examinons maintenant le cas où (A) serait une constante, les formules sont plus compliquées ; la valeur de l'intégrale renfermée dans la formule 218, abstraction faite du facteur +, est donnée par la formule 193 (n° 48) qui montre que le nombre en question est une fonction assez compliquée de «. Mais nous pouvons encore voir qu'il y a maximum dans la direction de l’apex du Soleil et minimum dans la direction opposée. En effet, si après avoir donné à « une certaine valeur, nous augmentons cette valeur, l'expression 218 subit deux changements, d’abord la limite supérieure / de l'intégrale diminue,

ce qui tend à diminuer la valeur de l'intégrale, ensuite cos: diminuant le dénominateur 4? — 2vH cos + H? (formule 72) augmente de sorte que chaque élément est diminué, ce qui diminue encore la valeur totale de l'intégrale. Donc il y a encore maximum à l'apex du Soleil, minimum à l’antiapex et variation continue dans l'intervalle. Quant au rapport du maximum au minimum il est ici infini ; on peut le voir par le calcul direct de la formule 218 pour «a —0 et 4 —7, ou encore au moyen de la formule 193. Dans cette formule pour H sina U termes en cotgx sont donc infinis. Pour « —7#+, cotga devient — =, mais les termes en cotge, abstraction faite de leurs coefficients sont

a—0, Cotga est infinie et arccos égal à arc cos o on =, les

H sina T COtga | arc cos Ü +- RES

Frs

ce qui pour a — *# prend la formule > x 0. Mettant cetteexpression sous la forme

arc cos FPS + 9

et prenant le rapport des dérivées, on trouve

- cos U ( 4 — 1 |] coS"« VIE sin — sin? « ce qui montre que la vraie valeur pour 4=—#+ est Le — 1. I en

résulte que pour « — + la formule 193 a une valeur finie, comme on devait s’y attendre par le fait que pour cette valeur de « le dénominateur de l'expression 72 étant «? + 2H + H? n'est jamais nul et par suite la quantité sur le signe ÿ dans la formule 218 est toujours finie.

Il est à remarquer que le fait que le nombre des directions asymptotiques dans l'élément ds de la sphère céleste est égal à ds multiplié

par un coefficient qui devient infini à l'apex du Soleil n’a rien de contradictoire, et qu'il n'en résulte pas que toutes les comètes devraient venir de l’apex du Soleil, parce que cet apex est un simple point, done une région nulle relativement à la sphère céleste ; il en résulte simplement que lorsqu'on se rapproche de ce point le nombre des directions asymptotiques subit un accroissement rapide.

60. — Si l'on fait sur o(2) d'autres hypothèses on trouvera pour la distribution des asymptotes descendantes d’autres lois; remarquons d'abord que si la vitesse du Soleil était supérieure aux vitesses de toutes les comètes répandues dans l'espace, toutes les asymptotes descendantes auraient leurs directions dans un petit cercle de la sphère céleste dont l’apex du Soleil serait le pôle, comme nous l'avons déjà vu n° 23.

Y aura-t-il quelle que soit e(.) un maximum du nombre des directions asymptotiques descendantes à l'apex du Soleil et un minimum à l’antiapex ? C'est ce que nous allons examiner.

Pour cela commencons par considérer uniquement les valeurs de o(k) qui correspondent aux valeurs de À entre deux limites infiniment voisines, et supposons pour un instant que la fonction e(k) soit nulle pour toute autre valeur de 2. C’est le cas considéré n° 24 et 45, il est inutile de reproduire ici tout ce qui a été dit dans ces numéros, il suffit de s'y reporter et on voit sans peine ce qui suit :

1° À>H, désignons par v la vitesse unique qui dans le cas actuel appartient aux comètes visibles venant d'une certaine direction (') 2, vitesse qui est la racine positive de l'équation

v? — QvH coss + H? — }? (222)

le nombre des comètes visibles qui passent au périhélie pendant l'unité de temps et qui viennent d’un élément de la sphère céleste situé dans la direction « est donné par la formule 84 multipliée par

(4) x, angle avec la vitesse du Soleil, définit une série de directions parmi lesquelles nous considérons une seule quelconque.

v, conformément au n° 45, c’est-à-dire, en supprimant les coefficients constants :

PE dé 22:

( # 27) v +7 — H Fe

20 h<H, le nombre des comètes visibles qui passent au périhélie pendant l'unité de temps et nous viennent d’une direction + est, à un facteur constant près :

LE v°? L 90" v"? (294

(1+ 7) RE (1 | one cu

v’ et v” sont les deux racines de l'équation 222, qui sont toutes deux positives.

Dans le premier cas (h > H) lorsque l'angle « croit de o à 2, c'est-à-dire lorsqu'on va de l'apex du Soleil à l’antiapex, v diminue d’une manière continue de À + H à k — H. Dans l'expression 223 le premier facteur diminue, le second facteur étant une fraction inférieure à l'unité dont les deux termes diminuent d'une même quantité diminue aussi, donc l'expression 223 diminue d'une manière continue de l’apex à l’antiapex du Soleil.

Le second cas (} <H) présente un phénomène tout autre. On voit en effet que pour v?—v"?—H?—}X?, ce qui a lieu pour (2 H quence des asymptotes descendantes ne se trouve done plus à l’apex du Soleil, mais tout le long d'un petit cercle de la sphère céleste ayant cet apex pour pôle, et lorsqu'on se rapproche de ce cercle le nombre des asymptotes augmente considérablement pour tomber à zéro dès qu'on l’a dépassé. Ce fait qui peut paraître étrange an premier abord est trés naturel, et on s'en rend très bien compte en remarquant que le volume détaché par l’hyperboloïde dans l'espace compris entre les deux sphères de rayon h, h + «dh, qui renferme les extrémités des vitesses, augmente rapidement lorsque l'hyperboloïde devient presque tangent à ces sphères.

Passons maintenant au cas ou &(2) est une fonction quelconque de

sins —— , l'expression 224 devient infinie ; le maximum de fré--

hk; pour avoir le nombre des asymptotes descendantes dans une direction donnée, il faut faire la somme des nombres qui correspondent aux diverses valeurs de X. Divisons la sphère céleste en deux hémisphères par un plan perpendiculaire au mouvement du Soleil. Dans l'hémisphère qui renferme l’antiapex du Soleil toutes les cométes visibles proviennent de valeurs de supérieures à H, nous venons de voir que dans ce cas pour chaque valeur de 2 le nombre des asymptotes descendantes augmente d'une manière continue à partir de l’antiapex. Donc, quelle que soit +(2), le nombre des directions asymptotiques descendantesaugmente d'une manière continue depuis l'antiapex jusqu'aux directions perpendiculaires au mouvement du Soleil.

Dans l'hémisphère qui renferme l’apex du Soleil, il résulte de ce que nous venons de dire pour une valeur unique de À inférieure à H, que la loi peut être plus compliquée, et on peut imaginer des fonctions e(k) telles que le maximum de fréquence des asymptotes descendantes ne soit pas à l’apex du Soleil, mais soit tout le long d’un petit cercle ayant cet apex pour pôle ; ceci se présentera si les vitesses des corps répandus dans l’espace présentent un maximum de fréquence suffisant autour d’une certaine valeur inférieure à la vitesse du Soleil.

Disposition des plans des orbites.

61. — Il est d’abord facile de voir que si les cométes viennent (les espaces interstellaires, le nombre des mouvements directs et rétrogrades doit être le même, et cela que le Soleil

soit immobile ou en mouvement. En effet, par

l'axe de l’hyperboloïde à l'intérieur duquel se

trouvent les extrémités des vitesses des comètes

N visibles, menons un plan quelconque ; toute vitesse dont l'extrémité est sur ce plan et à l'intérieur de l'hyperboloïde correspond à une Li Dh comète visible dont l'orbite est dans ce plan, si le

Soleil est immobile, dans un plan parallèle mené par le point G si le Soleil est en mouvement. Le mouvement de la comèéte est direct ou rétrograde selon que l'extrémité de la vitesse est d’un côté de l'axe entre cet axe et la branche d'hyperbole M ou de l'autre côté entre l'axe et la branche N, or la probabilité que l'extrémité de la vitesse soit dans l’une ou l’autre de ces régions estla même. Cela est évident si le Soleil est immobile, les vitesses absolues ayant alors pour origine le centre de l'hyperboloïde. Si le Soleil est en mouvement c'est encore à peu près évident à cause de l'extrême minceur de l'hyperboloïde, et si l'évidence ne parait pas complète, il suffit de se reporter au n° 44 où nous avons montré que les directions des vitesses des comètes visibles peuvent être regardées comme distribuées uniformément autour du centre de l'hyperboloïde entre son axe et sa surface.

On voit donc qu'à une orbite directe quelconque doit correspondre une orbite rétrograde, les deux orbites ayant le même plan, la même distance périhélie, la même valeur du grand axe et la même direction asymptotique descendante ; par conséquent, si elles différent trés peu de paraboles, ces deux orbites seront identiques mais parcourues en sens inverse.

Pour étudier la disposition des plans des orbites, nous imaginerons que par le centre de la sphère céleste on mène des droites perpendiculaires à ces plans. Ces droites percent la sphère céleste en deux points que nous appellerons les pôles de l'orbite. On peut distinguer ces deux pôles l'un de l’autre, en supposant un observateur ayant les pieds sur le plan de l'orbite et la tête sous l'un des pôles, et appelant pôle positif celui pour lequel l'observateur voit le mouvement de la comète S'eflectuer dans le sens direct (de droite à gauche), pôle négatif celui pour lequel l'observateur voit le mou— vement s'effectuer dans le sens rétrograde.

D'après ce que nous venons de dire, à une orbite directe quelconque dont le pôle positif est en P et le pôle négatif en P' correspondra une orbite rétrograde ayant son pôle positif en P' et son pôle négatif en P. Il en résulte que la disposition des pôles des

1/2 ne

orbites est symétrique par rapport au centre de la sphère céleste, et par conséquent soit qu'on considère seulement l'un des pôles, le pôle positif par exemple, soit qu'on les considère tous deux sans les distinguer l'un de l’autre, la disposition est la même; dans le second Cas, il y a seulement en chaque point de la sphère céleste deux fois plus de pôles que dans le premier. |

Lorsqu'on tient compte du mouvement du Soleil, il est clair qu'en tous les points situés le long d'un petit cercle quelconque ayant pour pôles l’apex et l’antiapex, il doit y avoir le même nombre de pôles d’arbites; et si nous divisons la sphère céleste en deux hémisphères par un plan perpendiculaire à la direction du mouvement du Soleil, la disposition des pôles des orbites est la même dans les deux hémisphères.

62. — Supposons d’abord le Soleil immobile dans l’espace. Dans ce cas la disposition des pôles est évidente, absolument rien ne distingue deux points de la sphère céleste l’un de l’autre; donc, si nous considérons un élément ds de cette sphère, le nombre des pôles situés dans cet élément, n'importe où il soit placé, est

C do (225)

C étant une constante.

Un grand nombre de points étant répartis uniformément sur la surface d'une sphère, dressons un tableau de leurs latitudes à rapportées à un grand cercle choisi arbitrairement. Quelle sera la distribution de ces latitudes ? Il est clair que le nombre des valeurs qui tombent entre À, et}, varie proportionnellement à l’aire de la zone comprise entre les deux petits cercles de latitude 2, et x,, donc à sin, — sin À,. Divisons par exemple les latitudes en cinq groupes de 20° dans chaque hémisphère, nous aurons le tableau suivant :

Um ANGLES SINUS DIFFÉRENCES

On voit que le nombre des latitudes n’est pas le même pour chacun des intervalles de 20c.

Cherchons quelle doit être la moyenne des latitudes de tous les points situés dans un hémisphère. Pour cela, divisons cet hémisphère en une série de zones par des petits cercles de latitude infiniment voisins, soit r le nombre des points dans la zone de latitude à, la moyenne de toutes les latitudes de l'hémisphère est :

Zn

le nombre n qui varie comme l'aire de la zone comprise entre les petits cercles x et A+ dx peut être représenté par GcosÀ dx, par conséquent la moyenne cherchée est

T à | u | CA cos di} [à sinx +- cosà] 2 à 0 r nn EE (226) 2 T ifé C cosX d} [sin x à oO (e)

Donc la moyenne des latitudes d'un grand nombre de points

répartis uniformément sur un hémisphère est le complément de l'arc égal au rayon, ou

Considérons maintenant une série de plans répartis uniformément dans l'espace, 1l est clair que les pôles seront répartis uniformément sur la sphère céleste. Les inclinaisons de ces plans sur un plan fixe, comptées de 0 à 100€, sont les compléments des latitudes de leurs pôles. D'après ce que nous venons de dire, le nombre des inclinaisons comprises entre :, —1, varie donc comme cost, — Cost, , eb si nous formons cinq groupes de 20° nous avons le tableau suivant :