ANGLES COSINUS DIFFÉRENCES

On voit que les faibles inclinaisons doivent être plus rares que les fortes ; ce qui est très naturel, car une inclinaison nulle ne définit qu'un seul plan, tandis qu'une inclinaison de 100° en définit un grand nombre.

La moyenne des inclinaisons est le complément de la moyenne des latitudes des pôles, elle est donc égale à l'arc égal au rayon où 63°,662.

63. — Maintenant tenons compte du mouvement du Soleil, Dans ce cas, la loi de distribution des pôles des orbites se déduit de celle des directions asymptotiques descendantes.

En effet, considérons les comêtes qui nous viennent d'un point quelconque G de l'espace, le plan de chaque orbite passe par la droite qui va du Soleil au point C et par la vitesse relative de la comète ; pour les comètes visibles, ce plan peut avoir, avec une égale probabilité, une direction quelconque autour de la droite qui va du Soleil au point C. Cela est à peu près évident à cause de l'extrême minceur de l'hyperboloïde, et si la chose ne paraît pas évidente à priori elle résulte de ce que nous avons montré n° 44 que les vitesses relatives des comèêtes visibles sont distribuées uniformément sur toutes les directions entre l’axe de l'hyperboloïde et sa surface. La droite qui va du Soleil au point C est la direction de l’asymptote descendante de l'orbite, à cause de la grande distance du point C au Soleil.

Cela posé, supposons que par la méthode du n° 58 nous ayons trouvé la loi du nombre des directions asymptotiques descendantes qui se trouvent dans un élément de surface de la sphère céleste, cette loi est donnée par la formule 218, qui, après que l'intégration a été effectuée, est de la forme

de NX E(a)

tt +2

ds étant un élément quelconque de la sphère céleste, « la distance angulaire de cet élément à l’apex du Soleil et F{x) une certaine fonction de + déterminée par la formule 218.

Pour avoir la loi de distribution des plans des orbites, il faut diviser la sphère céleste en éléments infiniment petits et par le rayon qui passe par chacun d'eux mener une série de plans en nombres donnés par la formule 227, également espacés les uns des autres en distance angulaire. Ou bien pour avoir la disposition des pôles des orbites, il faut imaginer que chacun des éléments de la sphère céleste est le pôle d’un grand cerele et marquer sur ces grands cercles des points également espacés en nombres égaux à deux fois (") la formule 227.

(1) Deux fois, si l’on considère les deux pôles de chaque orbite ; une seule fois, si l’on n’en considère qu'un. Rappelons aussi que la disposition des pôles étant symétrique par rapport au centre de la sphère (n° 61), il suffit de l’'étudier dans Phémisphère de l’apex du Soleil, dans l'hémisphère de l’antiapex elle sera la même.

Il s'agit de trouver la formule qui exprime la loi ainsi obtenue. Soit I (fig. 15), l’apex du Soleil sur la sphère céleste, il est clair que le

Fig. 15

nombre des pôles qui se trouvent dans un élément de cette sphère ne dépend que de la distance angulaire de cet élément à l’apex du Soleil.

Considérons la zone limitée par un petit cercle B situé à une distance 8 du point I et un petit cercle infiniment voisin dont la distance à I est 6 + dB, cherchons le nombre des pôles quise trouvent dans cette zone.

Pour cela divisons la sphère céleste en une série d'éléments dé par des petits cercles infiniment voisins ayant pour pôles l'apex et l'antiapex du Soleil, et des méridiens infiniment voisins passant par l’apex et l'antiapex. Soit en M l’un des élèments ds ainsi obtenus, « sa distance angulaire au point I, cherchons quel est le nombre des pôles envoyés par cet élément dans la zone BB’. L'élément M est le pôle d’un erand cercle dont SP représente la section par le plan de

la figure et qui est représenté dans son plan au-dessous. Le plan du petit cercle B coupe le plan de ce grand cercle suivant une droite EF, le plan du petit cercle B’ le coupe suivant une droite EF infiniment voisine de EF, l'arc de ce grand cercle qui se trouve dans la zone BB’ est EE’ + FF’ ou 2EE’. Le nombre total des pôles

d'orbites qui proviennent de l'élément M de la sphère céleste est égal à deux fois la formule 227, ces pôles sont uniformément répartis tout le long du grand cercle qui a M pour pôle, en prenant pour unité de longueur le rayon de la sphère céleste la longueur de ce grand cercle est 2%, le nombre des pôles que l'élément M envoie dans la zone BB’ est donc :

ir X ds F(a) (228) 2x

Evaluons la longueur EE’ en fonction de «, 8, dB. Posons SN=—=m, NN'=dm, et par E menons EK parallèle: à SN, les

triangles semblables EEK , SEN nous donnent

Je mets le signe — devant dm parce que dm est négatif pour d£8 positif. On arrive aussi à la formule 229 en remarquant que arc PE — arc cos mn et prenant la différentielle. La figure nous donne ensuite :

SH — SB coss — SN cos (5 = :)

comme SB—=1, SN=— 77 il en résulte

cosf

NN = — SIN x

et en difiérentiant par rapport à B seul

Si dm—— 2%? 2 dB SiNa

la valeur 229 de EE’ devient alors

sinf

EE’ = D ve Ÿ V'sintx — COS 8

En portant cette valeur dans la formule 228, on trouve que le

ice

nombre des pôles d'orbites envoyés par l'élément M dans la zone BB’ est

? sinf

Il faut maintenant étendre cette formule à tous les éléments M qui envoient des pôles dans la zone BB, étendons la d’abord à la zone comprise entre deux petits cercies distants du point [I de « et a + dx, tous les éléments de cette zone se trouvant dans les mêmes conditions, il suffit de remplacer ds par son aire, qui, en prenant pour unité de surface la surface totale de la sphère, est

SiNx da

et la formule précédente devient

sinf sine nV/sin?a — COS? Xi mes ot

Il faut ensuite étendre cette formule 232 à toutes les zones comprises entre deux petits cercles infiniment voisins qui envoient des pôles dans la zone BB’. Menons dans le plan de la figure le diamètre BB,, la perpendiculaire SA à ce diamètre, et le diamètre JJ, perpendiculaire à SI. Si le point P se trouve entre J et B, le grand cercle qui a M pour pôle ne rencontre pas la zone BB’; si nous dépiaçons P le long du demi-cercle JIJ, de J'en J,, le point M se déplace en même temps sur le demi-cercle 19,1, depuis le point I jusqu'au point I,, c'est-à-dire depuis l’apex jusqu'à l’antiapex du Soleil ; le grand cercle qui a M pour pôle rencontre la zone BB’ tant que le point P se trouve entre B et B” symétrique de B par rapport à SI. Lorsque le point P va de Ben B”, le point M va du

point À pour lequel « — ; — $ au point À, pour lequel « — ; +8 ;

il en résulte que la formule 232 doit être intégrée entre ces limites, ce qui nous donne :

T Ai TS

F(x) Sina FE (233)

Les DR du V' sin?a — cos 8

Cette formule représente le nombre des pôles situés dans la zone BB’ comprise entre les petits cercles dont la distance à I est Bet

6 + dB; comme l'aire de cette zone est 5 Siné dB et que tous les

éléments dont elle se compose sont dans les mêmes conditions, pour avoir le nombre des pôles dans un élément ds de la sphère céleste situé à la distance 8 de l'apex du Soleil, il faut multiplier

la formule précédente par = ce qui nous donne finalement :

5 sinf dB T rene 2do se Sin 4 (234) T V'sin? « — COS? f T

Cette formule donne le nombre des pôles des orbites qui se trouvent dans un élément ds de la sphère céleste situé à la distance

angulaire 6 de l’apex du Soleil; elle convient au cas B<7; mais si 3 dépasse . c'est-à-dire si l'élément ds se trouve dans l’hé-

misphére de l’antiapex, il suffit de le remplacer par l'élément symétrique par rapport au centre de la sphère céleste, ces deux éléments renferment le même nombre de pôles.

La fonction F(+) n’est autre que la formule 218 abstraction faite du facteur ds, c'est la fonction qui représente la loi de distribution des directions asymptotiques descendantes. Dans la formule 234 la variable : disparait après l'intégration. Enfin remarquons que le facteur 2 doit être supprimé si au lieu des deux pôles de chaque orbite on n'en considère qu'un seul, par exemple le pôle positif.

Il résulte de la formule 234 que la loi de distribution des pôles des orbites est liée d'une façon assez compliquée à la fonction +(A) qui donne la loi des vitesses des corps répandus dans l’espace; nous pourrions examiner ici les cas +(.) — constante et o(k) — MA? considérés précédemment, mais ce serait peu utile et nous nous en dispenserons.

64. — Nous allons seulement donner deux vérifications de la formule 224. La première consiste à montrer que dans le cas où le Soleil est immobile dans l’espace, nous trouvons bien la loi indiquée n° 62 d’après laquelle les pôles sont uniformément répandus sur la sphère céleste. Dans ce cas F(:) est une constante que nous désignerons par C,, la formule 234 devient donc

sth

9C, d sin ne se CD 0e (935) a V’sin? x — cos?8

T Sp

c'est-à-dire que les pôles sont uniformément répartis sur la sphère et en chaque point leur nombre est double de celui des directions asymptotiques descendantes ; il fallait s'attendre à trouver ce facteur 2, parce que nous marquons sur la sphère céleste les deux pôles de chaque orbite.

Comme seconde vérification, remarquons que les pôles situés à l’apex et à l'antiapex du Soleil proviennent tous des comèêtes dont les asymptotes descendantes ont une direction perpendiculaire à la vitesse du Soleil ; comme le long du grand cercle qui a l'apex pour pôle il y a en tous les points le même nombre de directions asymptotiques descendantes, on comprend à priori que le nombre des pôles à l’apex, et aussi à l’antiapex, doit être double de celui des asymptotes descendantes dans les directions perpendiculaires au au mouvement solaire. La formule 234 va en effet nous conduire à ce résultat. Pour avoir le nombre des pôles à l'apex du Soleil, il faut faire B—o, mais dans ce cas les limites de l'intégration devien-

nent égales et la quantité sous le signe { infinie ; donnons donc à £ une valeur très petite +: que nous ferons ensuite tendre vers zéro, alors « ne varie plus qu'entre les limites infiniment rapprochées

3 —< et 3 +: F2) ne subissant pas de brusque variation on peut T

considérer cette quantité comme égale à F (5) et la retirer du

signe $, la formule 234 devient

, Far 22 r(:) sin x

V/sin? « — COS? B Fe (236)

L'intégrale renfermée dans cette formule est la même que celle de la formule 235, sa valeur est + quel que soil e, par conséquent lorsque + tend vers zéro la limite est + et le nombre des pôles à l’apex du Soleil est

ce quiest bien le double du nombre des directions asymptotiques descendantes dans les directions +, c'est-à-dire à 100° de l'apex du Soleil.