CHAPITRE PREMIER Les Notions de nombre et de grandeur

Il nous est assez facile de nous représenter dans quel ordre ces notions de nombre et de grandeur se sont formées peu à ^eu dans l'esprit de Vhomme.

D'abord l'homme compara des groupes d'objets différents, par exemple, un groupe de cailloux et un groupe d'arbres; suppo* sons ces groupes tels qu'il y ait un caillou correspondant à chaque arbre, ces groupes différents donnent alors l'idée d'une pluralité commune; ce sont ces diverses pluralités classées et nommées qui devinrent la suite des nombres entiers.

Puis l'homme voulut évaluer, en marchant, le chemin parcouru, il compta alors le nombre de pas faits par lui : c'est ainsi qu'il commença à mesurer les longueurs ; son observation devenant plus précise, il s'aperçut ensuite qu'en général un nombre exact de pas n'épuisait pas complètement une longueur et qu'il restait un résidu inférieur à un pas. Pour mesurer ce résidu on le compara alors à une fraction du pas ; le nombre fractionnaire est né de là.

L'étude de la géométrie fit faire un pas de plus dans cette voie: on remarqua que, lorsqu'on voulait mesurer, par exemple, la longueur de la diagonale d'un carré, le côté étant pris pour unité, aucun nombre fractionnaire, quelque petite que fût la subdivision de l'unité, n'arrivait à donner exactement cette mesure; pour répondre à ce cas, o^i créa le nombre irrationnel qui s'intercala dans la série des nombres fractionnaires. De même la comparaison de la longueur de la circonférence à son rayon conduisit au nombre transcendant. Ces diverses séries numériques complétées successivement, depuis la série des nombres fractionnaires, nous ont donné ce qu'on a appelé les divers ordres du continu mathématique ; du reste tous les lecteurs que cette question intéresse ont lu sur ce sujet le très intéressant article de M. H. Poincaré : « Le continu mathématique ^ » .

Ainsi, en s'en tenant à l'ordre simplement historique, c'est d'abord ridée du nombre entier qui fut dégagée et fixée ; puis c'est la mesure des grandeurs qui conduisit aux nombres fractionnaires, irrationnels et transcendants et par eux au continu mathématique. Mais il n'en résulte nullement que cet ordre soit le meilleur lorsqu'on se place au point de vue rigoureux de la méthode déductive que s'imposent les mathématiciens. M. Poincaré, se plaçant à ce point de vue, dit que la notion du continu mathématique n'est pas tout simplement tirée de l'expérience et il oppose le continu mathématique, pure création de l'esprit, au continu physique qui relève de l'observation.

Cela est très juste, étant bien entendu, comme du reste M. Poincaré le remarque lui-même, que, celte notion du continu mathématique, c'est l'expérience qui nous a fourni l'occasion de la créer. Et, en effet, philosophiquement, le continu mathématique est absolument différent du continu physique; mais, matériellement, les diff'érences entre les deux continus sont tellement petites qu'elles échappent à nos méthodes d'observation; c'est donc le continu physique, observé d'une façon forcément imprécise, qui nous a conduits au continu mathématique; plus tard, les deux continus se sont séparés dans noire esprit ; mais, ce qui est fon*