Revue de métaphysique et de morale (janvier

(lamentai, l'idée du continu mathématique n'a nullement éié atteinte dans cette séparation : je veux dire par là que cette idée, éprouvée à cette pierre de touche du raisonnement mathématique, n'a donné lieu à aucune contradiction.

Prenons un exemple : voici un mètre métallique ; c'est là un contihu physique et nous avons cette impression que ce mètre peut être subdivisé autant qu'on le voudra, chaque subdivision pouvant à son tour être subdivisée elle-même, et, cela indéfiniment; or, c'est précisément cette observation inexacte, mais approchée du continu physique, qui nous donne le continu mathématique.

Mais la science plus avancée a dû reviser l'ordre de son développement historique et c'est ainsi que dans ces dernières années les mathématiciens ont essayé de dégager l'idée de nombre (entier, fractionnaire, etc.) de l'idée de grandeur; cette recherche a abouti et l'on est arrivé ainsi à constituer la science complète du nombre ou analyse en prenant le nombre entier comme point de départ et en le généralisant par des définitions successives, sans faire aucun emprunt à la notion des grandeurs géométriques ou autres. Parmi les auteurs qui ont traité cette question je citerai en particulier, avec M. Poincaré, M. Kronecker, de Berlin; dans cette méthode, les nombres fractionnaires, irrationnels et transcendants^ et aussi les nombres algébriques et imaginaires se déduisent par de pures définitions des nombres entiers. On trouvera un exposé complet de ces diverses théories dans un ouvrage que je suis heureux de citer ici : UInfini mathématique, dé M. L. Gouturat, parce que les lecteurs y verront condensés tous les renseignements relatifs à cette question, avec l'indication consciencieuse des sources et des auteurs.

Enfin M. J. Tannery dans son ouvrage : Introductioti à la théorie des foiicliom d'une variable, nous a montré tout ce qu'on pouvait mettre de rigueur dans cette étude de l'analyse pure et y a rattaché les diverses fonctions, trigonom étriqués, exponentielles, etc., qu'on a l'habitude de définir à l'aide de considérations géo-. métriques.

On a donc ainsi une analyse rigoureusement déduite, formant, par elle-même et à elle seule, un tout logique, sans aucun emprunt fait à des notions autres que celle du nombre.

Malgré cela, plusieurs raalhémaliciens éprouvent pour celle conception une certaine répugnance, estimant que l'ordre historique, qui fait intervenir l'idée de grandeur dans la généralisation de l'idée de nombre, est seul rationnel.

Je vais indiquer rapidement les raisons pour lesquelles, après toute réflexion faite, je trouve préférable la constitution préalable, en mathématiques, d'une analyse pure.

D'abord on objecte aux partisans de cette idée qu'il est absolument artificiel de généraliser l'idée du nombre sans appuyer cette généralisation sur l'idée même de grandeur, laquelle, historiquement, a été l'origine et la raison d'être du nombre fractionnaire par exemple, puisque ce nombre fractionnaire a précisément été créé pour exprimer des états de la grandeur, états que ne pouvaient exprimer les nombres entiers. Or, j'avoue que pour mon compte le reproche d'être artificiel dans une théorie me touche très peu : 'en mathématiques les artifices sont d'un emploi courant et se justifient suffisamment par les résultats auxquels ils conduisent.

Et puis, enfin, cette science du nombre pur est-elle donc si artificielle qu'on veut bien le dire ? Examinons la question à propos de la définition du nombre fractionnaire ; on veut définir la fonc-

tion de deux variables - où :v et v sont des nombres entiers. Que

fait-on? On part du cas où - exprime le quotient exact (/de deux

nombres, x étant divisible par y, el on se dit : comment peut-on

définir cette fonction - de façon à lui donner un sens généralisé

quand x n'est pas divisible à y? Qu'y a-t-il d'artificiel dans cette façon de poser la question? Est-ce que, à chaque instant, en analyse, on n'est pas amené, une fonction étant définie pour certaines valeurs de la variable, à étendre la définition pour toutes les valeurs de cette variable ? Dès lors n'est-il pas tout simple de

traiter de la même façon la fonction — = q définie d'abord comme

quotient exact du nombre entiers? supposé divisible parle nombre entier y. Maintenant, comment se f *it cette générahsation ? Gomme

toutes les généralisations du même genre lorsqu'on veut étendre le sens d'une fonction.

Prenons d'abord - = a et — = «' dans le cas où x et x sont

respectivement divisibles par y ély \ la fonction est alors connue et définie; elle exprime une division et elle jouit des propriétés suivantes qui toutes se démontrent :

L'égalité ç= q équivaut à l'égalité xy ^=^x y.

L'addition q-^q équivaut à l'expression

La multiplication qxq équivaut à l'expression

yy

xxx'

yxy

Ce sont là, je le répète, des formules démontrables. Il s'agit de passer de là au cas où x n'est plus divisible par y ; je dirai alors, par définition, que les expressions ci-dessus x y''=xy,

y y' 'yxy

r signifient l'égalité, l'addition et la multipli-

cation pour - et — quotients non entiers.

Or l'analyse est pleine de généralisations de ce genre, jamais elles ne se font autrement.

De même pour le nombre algébrique ; là encore il s'agit de définir la fonction â:; — y, connue et étudiée quand x est plus grand que y, dans le cas où x devient plus petit que y. On suit absolu-

ment la même marche que précédemment pour la fonction —

Voilà les raisons, selon moi très solides, pour lesquelles celte objection d'une théorie accusée d'être artificielle ne m'arrête pas du tout.

J'ajouterai que cette théorie a, à mon avis, le très grand avantage de conduire à une définition absolument rigoureuse du continu numérique, ce qui est très important.

Voyons enfin ce qu'opposent à cette théorie les géomètres qui prennent l'idée de grandeur pour en faire la base de la généralisation du nombre.

Cette théorie, M. Couturat nous l'a exposée dans l'ouvrage que j'ai déjà cité, T/Infini mathématique.

On y présente la notion de la grandeur indépendamment de la notion du nombre ; cela exige des développements très étendus et très complexes; mais, ce que j'objecte surtout à cette méthode, c'est qu'elle ne nous conduit à l'idée complète de la grandeur que par une foule d'axiomes, depuis l'axiome de l'addition jusqu'aux axiomes de la divisibilité et de la continuité ; et, finalement, malgré tous ces axiomes, on reconnaît qu'il reste encore dans cette notion de la grandeur quelque chose d'indéfinissable.

Ainsi, en résumé, on peut, par une marche très simple et à l'aide de définitions successives, sans aucun axiome, tirer directement de la notion des nombres entiers toute la théorie des nombres fractionnaires, irrationnels et transcendants et aboutir à une définition rigoureuse du continu numérique.

Au contraire quand, pour arriver au même résultat, on veut passer par l'intermédiaire de la notion de grandeur, le problème se complique beaucoup et ne se résout qu'à l'aide de plusieurs axiomes importants, inutiles dans la théorie du nombre pur.

La première méthode, outre qu'elle est plus simple, est donc encore, en même temps, seule d'une rigueur parfaite; mais elle appelle un complément. La seconde méthode nous donne en effet, à la fois, la théorie des grandeurs et des nombres : il s'agit donc maintenant de voir comment la première méthode permet de déduire de la théorie du nombre pur une théorie satisfaisante des grandeurs, cela, bien entendu, sans l'introduction d'aucun axiome. C'est celte théorie des grandeurs que je vais exposer ici en examinant successivement les diverses grandeurs de la géométrie et de la mécanique.

Je précise donc que, dans la suite de cette étude, je considère comme acquise toute la science du nombre pur avec la notion du continu numérique telle que l'ont définie M. Poincaré et M. J. Tannery ainsi que plusieurs géomètres de Técole de Berlin, comme M. Kronecker.