Je rappelle renoncé de ce théorème

Lorsqu'on corps est soumis à un système de forces admettant une résultante unique et que cette résultante passé constamment par le centre de gravité 6 de ce corps, C6]ui*ci tonme à chaque instant autour d'un axe de rotation passant par G et Taxe et la vitesse de cette rotation varient pour chaque position du corps. Toutefois, lorsque cet axe est, à Torigine, un des axes de rellipsoïde d'inertie du corps, la rotation continue à s'effectuer autour de cet axe qui reste ainsi de direction fixe ; de plus, la vitesse de la rotation est constante.

Celte loi se complète comme suit :

Chaque point de matière a un coefficient liumérique fixe, appelé masse, tel que les deux accélérations dont je viens de parler sont toujours dans le rapport inverse des masses.

Ainsi, soient M et M' les deux points, m et j, m'eif, leurs masses et leurs acbélérations : j et/ sont dirigées en sens inverse suivant la droite M M' et Fon a de plus mj==m' /.

Il convient de remarquer que, dans cette expression, / et / supposent qu'on a choisi l'horloge H ; mais l'existence des coeflScients numériques appelés masses ne dépend en rien de ce choix particulier; le changement de l'horloge n'est en effet pas autre chose qu'un chiangeraierit de variable dans l'expression mj == mf ; or, une nouvelle variable modifierait la forme de cette expression; mais les constantes m et m' figureraient encore dans l'équation nouvelle où elles seraient simplement engagées d'une autre ftiçon. ' ' ^

~ La masse est donc une constante indépendante de la mesuré du temps.

La masse jouit de cette propriété qiie, si l'on réunit deux portions de matière, la masse de l'ensemble est la somme des masses des deux portions: c'est la propriété du groupement, comme pour certaines grandeurs géométriques.

La masse étant ainsi définie, la définition delà force s'en dé* duit immédiatement.

La force a la direction et le sens de l'accélération et est égale au produit de cotte accélération par la masse.

Avec l'introduction de cette notion de la force, la loi fondamentale mj=^m'j' dont j'ai parié plus haut s'énonce plus simplement.

Deux points de matière en présence échangent entre eux deux forces égales et contraires dirigées suivant la droite qui les joint.

On voit que la force, comme l'accélération qui en est un des facteurs, est liée au choix de l'horloge H.

" En résumé, je suis arrivé, dans celte rapide élude, à définir successivement toutes les grandeurs qu'on rencontre en géométrie et eii mécanique, en les rattachant toutes à la série continue du nombre, ce qui était mon but.

§ 4. — Les repères en mécanique.

Mais pour ne pas laisser d'obscurité dans Tesprit du lecteur au sujet de cette question des grandeurs dans la mécanique, je dois dire deux mots de la question des repères. Les repères sont, comme on le sait, un ensemble de points de forme quelconque mais fixe, auxquels on rapporte les diverses positions des points en mouvement. On peut toujours réduire les repères à un système de trois axes de coordonnées; le mouvement se déCnit alors comme suit :

Un point est en mouvement par l'apport à ces axes quand ses coordonnées varient. C'est ce qu'on appelle le mouvement relatif, le seul qu'on connaisse et qu'on étudie en mécanique.

Je précise maintenant tout ce que j'ai dit dans les paragraphes 2 et 3 du présent chapitre, en spécifiant que toutes les lois formulées supposent les mouvements rapportés à des axes de coordonnées solidaires du système des étoiles fixes ; en un mot, ce sont ces étoiles fixes qui forment repères.

C'est là un point important, carie changement de repère donne lieu à des vitesses et accélérations partielles qui se composent avec les vitesses et accélérations primitives et en changent ainsi la direction et la valeur. Ainsi, dans la loi suivante :

L'accélération de la terre dans son mouvement autour du soleil passe constamment par le soleil.

On suppose à la fois le temps mesuré sur l'horloge H et les repères pris dans le système des étoiles fixes, une autre horloge ou d'autres repères changeant la direction de cette accélération.

Cette question du mouvement relatif me paraît, à moi, aussi claire que possible; néanmoins, bien des mathématiciens sont encore hantés de cette idée du mouvement absolu ou du moins ont beaucoup de peine à s'en détacher complètement^

L'idée de mouvement est inséparable de l'idée de repère. On dit : un point se meut par rapport à des axes de coordonnées, il a une vitesse, une accélération, etc. ; on fait abstraction de ces axes, il n'y a pas de raisons pour que le mouvement ne continue pas avec sa même vitesse, etc.

Au fond cela n*a aucun sens : voici un corps symétrique ayant une droite et une gauche; on supprime la gauche, que reste-t-il? La droite, répondra presque tout le monde. En somme, il ne reste qu'un corps dissymétrique dans lequel l'idée de droite et de gauche cesse d'avoir un sens.

Mais, pour bien éclaircir ce point et répondre à une objection qui m'a été faite, je vais examiner un exemple particulier.

Rapportée au système des étoiles fixes comme repères, la terre est animée d'un mouvement de rotation sur elle-même autour d'un axe de direction fixe par rapport aux étoiles, axe qui passe par les pôles de la terre ; enfin celle-ci a la forme d'un ellipsoïde de révolution aplati au pôle et renflé à Téquateur ; or, la théorie établit que c'est précisément la forme que prend une sphère liquide tournant autour d'un axe, sous la double influence de la pesanteur et de la force centrifuge développée par la rotation. Ainsi, toute molécule de la suiface est soumise à ces deux forces partielles, l'une constante, la pesanteur, et l'autre variable du pôle à l'équateur ; il en résulte une forme définitive telle qu'en chaque point de la surface la résultante de ces deux forces partielles est toujours normale à cette surface.

Or, disent les partisans du mouvement absolu, supprimez par la pensée les étoiles fixes qui servent de repères, rien n'est changé dans les conditions du mouvement; il n'y à aucune raison pour que la terre s'arrête, ni pour qu'elle change de forme en la supposant liquide ; et comme cette forme résulte de la pesanteur et de la force centrifuge, cela implique que celte force centrifuge persiste et par suite aussi la rotation qui en est la cause.

Voilà l'objection; je vais montrer qu'elle repose sur un sophisme : prenons donc la terre liquide et faisons abstraction des étoiles fixes qui ont servi de repères ; il est parfaitement exact que la terre conserve sa forme d'ellipsoïde aplati aux pôles et renflé à l'équateur ; cela implique évidemment que chaque molécule à la surface continue à être soumise à une force totale normale à cette surface.

Sous ce rapport il n'y a rien de changé ; mais ce qui est capital c'est que la décomposition de cette force normale en deux forces partielles (pesanteur et force centrifuge) n'est nullement néces-

saire ; en réalité, si, faute de ces repères, nous n'avions pas observé ce mouvemenl de la rotation de la terre, nous aurions pris telle quelle cette force normale sans éprouver le besoin de la dé«composer en deux autres ; j'ajoute d'ailleurs que cette décpmposition de la force totale est un problème indéterminé et qu'on peut faire cette décomposition d'une infinité de manières ; néanmoins, la force normale étant connue, on peut toujours faire celle décomposition en se donnant des conditions supplémentaires:.. Or voici en particulier comment cette décomposition peut être &fte. Les expériences de Plateau sur la rotation des liquides ont montré qu'une sphère liquide en tournant sur elle-même avec une vitesse convenable prend cette forme ellipsoïdale qu'a la terre.

Ou peut alors se poser le problème suivant : en faisant passer mi axe par les deux pôles de la terre, quelle vitesse de rotation devrait avoir la terre supposée liquide, pour prendre la forme résultant des expériences de Plateau? Cette vitesse trouvée, un second problème se pose: décomposer la force normale en deux composantes dont Tune soit la force cenirifuge résultant de la ror talion dont le premier problème a déterrûiné l'axe ei la vitesse^

La décomposition dans ces conditions est bien déterminée ei nous ramène aux deux composantes pariielle^, pesanteur et fCM*ce centrifuge.

Mais, en somme, en nous posant le problème de déterminer une rotation en rapport avec la forme de la terre et la vitesisede cette rotation, nous ne faisons que rechercher les repères osième^ de cette rotation. Et, en effet, la vitesse de la irotation ooniLue>, nous en déduisons l'angle de cette rotation, c'est-^ànlire l'wgle^ variable avec le temps, que fait un méridien de la terre avec une position initiale de ce même méridien; mais celte position initiale n'est pas autre chose que le système de repères par rapport auquel cette rotation s'effectue; nous sommes donc ainsi ramené purement et simplement à ces repères que nous avions cru sup? primer, car j'ai à peine besoin d'ajouter que les repères ainsi re^ trouvés ne diffèrent pas du système des étoiles fiies.

Je crois cet exemple suffisatnmént concluant et considère comme bien acquis qu'au point de vue de la mécaiiiquè un mouvement n'a de sens que par rapporl à desxepèreç. .