CHAPITRE m

Les Grandeurs en Mécanique.

§ 1". — Origine de la notion de durée.

Je vais reprendre ici, sous une forme un peu différente, des idées que j'ai développées plus longuement dans un de mes ouvrages antérieurs : Étude critique sur la mécanique, dontrédition est d'ailleurs actuellement épuisée.

Avant de définir la grandeur qu'on appelle la durée, je voudrais d'abord me débarrasser de toutes les erreurs qui obscurcissent celte nolion.

Pour quelques géomètres la durée mesurable est une simple intuition, laquelle nous révèle d'emblée ce que sont deux temps égaux. Mais comme tout le monde n'a pas cette intuition, il faut évidemment chercher autre chose. C'est en se plaçant à ce point de vue qu'on a été amené à définir deux durées égales ; voici cette définilion : lorsque deux phénomènes de mouvement se produisent à des époques différentes, mais dans des conditions rigoureusement identiques, on dit qu'ils sont de même durée.

Or c'est là une véritable pétition de principe ; dans ces deux mouvements, en effet, il y a forcément des vitesses lesquelles font partie des conditions dont on parle et qui doivent être identiques ; or, ces deux vitesses étant des fonctions de la durée, comment peut-on les juger identiques avant de savoir mesurer la durée ? Voilà le cercle vicieux.

Citons un exemple : soit un récipient qu'on remplit d'eau et qu'on laisse ensuite se vider de lui-même par un orifice pratiqué à sa base ; on reproduit plusieurs fois cette expérience ; a-t-elle toujours la même durée? Or, une des circonstances de ce mouve ment est la vitesse de la rotation de la terre ; si cette vitesse de rotation varie, elle constitue, dans la reproduction de ce phéno-

— Simone, une circonslance qui ne reste plus identique à elle-mêoie. Mais supposer cette vitesse de rotation constante, c'est supposer qu'on sait mesurer le temps.

Celte définition de la mesure du temps est donc sans valeur. J'indiquerai plus loin comment on peut arriver à cette définition d'une façon rigoureuse. Mais voyons d'abord comment l'homme est arrivé pratiquement, en dehors de toute intuition et de toute notion mécanique, à faire choix d'une horloge.

D'abord l'homme s'est préoccupé de couper le temps en tranches, je ne dis pas en tranches égales, mais simplement en tranches; or les faits les plus commodes pour sectionner ainsi la durée sont évidemment les mouvements périodiques, chaque période s'ofTrant naturellement à l'esprit comme une partie du temps. Mais, toujours au point de vue pratique de son existence, les deux périodes les plus importantes dans l'univers pour l'homme sont le jour et l'année ; dans tout cela il n'y a pas, remarquons-le bien, Tonibre d'un i^isonnement quelconque ; l'homme qui mange le jour et qui dort la nuit, inconsciemment, est amené à attacher à cette période du jour complet une importance considérable. Plus tard, il observera les saisons qui alternent et en raison de leur rôle dans les travaux de la culture, il notera cette période d'une année au bout de laquelle les saisons se reproduisent. Voilà donc le temps évalué en années et Tannée en jours, avec cette particu-

larilé, expliquée d'ailleurs par la science, que toules les années comprennent le môme nombre de jours. Enfin, le jour corres-

pondant à une révolution apparente de la sphère céleste ou, ce qui revient à peu près au même, à une révolution du soleil autour de la terre, l'idée la plus simple pour diviser le jour était de le diviser proportionnellement à cette révolution. Telle est rhorloge qui fut adoptée par l'homme; et, je le répète, dans ce choix, ce sont des considérations terre à terre, des préoccupalions d'existence matérielle qui ont guidé l'homme : dans tout cela, aucune idée scientifique ou métaphysique, mais un simple point de vue utilitaire qui imposait en quelque sorte le choix auquel on fut amené.

Ce point établi, il est bien évident que la question de la durée mesurable reste, au point de vue scientifique, entièrement à ré-

:^udre : je vais donc faborder en consM^ranl comme nulle et non avenue la solution d'ordre simplement pratique dont je viens d'indiquer l'origine, ' /

§ 2. ^ Définition de la durée.

Le temps nous apparaît d'abord comme i»n ordre d'après le^ quel se classent les faits ou les phénomènes : ainsi deux faits sont simultanés ou bien l'un est antérieur à Tautre. Lorsqu'il s'agit du mouvement des corps dans l'univers, «es corps ont, à un moment donné, des positions simultanées ; à un antre moment ils auront encore des positions simultanées entre elles mais postérieures ani premières. ' '

Considérons deux états successifs du temps e et e', c'est-à-dire deux moment's correspondant à deux simultanéités successives, j'admettrai d'abord qu'il y a une correspondance univôqne entré chacun de ces états et chacun des termes de la série du nombre èoritinu ; j'indique par les expressions a^ et e^, que x et à>* sont les deux nombres qui correspondent aux deux états e^ et 0^,, étant bien entendu que si l'état c^, est postérieur à l'état «^ on ia x^x.-

Par cette définition j'introduis le continu numérique dans la notion du temps et je crée ainsi le continu mécanique comme j'ai créé le continu géométrique.

" Prenons maintenant un corps quelconque eii mouvement, la terre par exemple : ce corps se déplace autour du soleil et tourné en même temps sûr lui-même; réduisons-le par la pensée à un point ; ce point en tournant autour du soleil a une position correspondant à chaque état e^ du temps, et par suite à chaque valeur de x; il y a donc une correspondance univoque entre cette position variabledu point et le nombre x; il en résulte que l'ensemble de ces positions jouit de fe propriété du continu; on en conclut que le lieu de ces positions est une courbe géométn^e ; c'est ce qu'on appelle la ti'ajéctoire. .1

De même et pour la même raison l'angle dont la- terre tourte autour de son arc est bien Tangle défini en géométrie et jouit de a propriété du continu. ,

En résumé, la durée étant envisagée comme un objet continu, tous les objets 'variables avec elle jouissent également de la propriété du continu* C'est grâce à cette introduction du continu numérique, que la mécanique devient une application des ma^ thématiques pures, c'est-à-dire de l'analyse.

Pour la mêifae raison, les formes qu'on rencontre en mécanique, trajectoires, angles de rotation, jouissant aussi de la propriété du continu, relèvient de la géométrie.

Revenons maintenant à l'expression d'un état du temps ej la correspondance univoque que j'ai supposée entre cet état et le nombre .x en entraîne une inflnité d'autres; il suffit, en effet, de remplacer, dans e^, x par y, en supposant entre x eiy une relation univoque 5? =/" (y), pour avoir une autre correspondance e , ^y désignant le même état du temps que e^. Cette correspondance univoque est donc au fond indéterminée. Toutefois je considérerai comme n'étant pas différentes deux correspondances univo-

ques exprimées par e^ et e^ oxjl le rapport - reste constant.

J'appellerai d'une façon générale, horloge, un instrument dont l'aiguille tournera sur un cadran d'un angle proportionnel au nombre x de la correspondance e^; la correspondance e me fournira donc une seconde horloge et, d'après ce qui précède, deux horloges donnant simultanément des angles proportionnels, ce

qui correspond au cas de - constant, ne seront pas considérées

comme distinctes.

Ainsi que je l'ai montré plus haut, nos aïeux, en dehors de toute idée scientifique, ont cherché simplement l'horloge la plus commode eu égard à leurs conditions d^exislence.

Ici, me plaçant au seul point de vue scientifique, je vais chercher l'horloge la plus commode pour écrire le plus simplement possible les formules qui exprimeront les lois du mouvement des corps dans l'univers.

Il est donc bien entendu que, dans cette méthode, toutes les horloges sont également légitimes ; mais il peut y en avoir une plus simple et plus commode que les autres; c'est celle-là que je choisirai pour mesurer la durée.

Cherchons donc si celte horloge plus commode existe et quelle elle est.

Il suffit, à cet effet, d'enregistrer les mouvements des corps dans l'univers et de les traduire en formules aussi simples que possible.

Je remarque d'abord que toutes les planètes et leurs satellites sont animées d'un mouvement de rotation sur eux-mêmes : or les angles simultanément décrits dans toutes ces rotations sont toujours proportionnels : voilà une loi très importante. Soit a l'angle variable d'une de ces rotations; soit d'autre part 6 l'angle décrit simultanément par l'aiguille d'une horloge: si cette horloge est

choisie de telle façon que l'on ait 7- = constant, on aura aussi, p,

y, 8, etc.. étant les angles de rotation de tous les autres corps,

planètes ou satellites, ^= constant ï= constant, etc.

Il en résulte que cette horloge particulière que je désignerai, dans la suite, par la lettre H me permet d'exprimer par une simple formule'du premier degré, a = A 6, la loi fondamentale dont je viens de parler : dans cette formule, k est, bien entendu, un coefficient ayant une valeur particulière pour chaque corps.

Voici maintenant une seconde loi aussi importante.

Traçons le rayon vecteur qui joint une planète au soleil, ou un satellite à sa planète : ce rayon vecteur décrit une aire ; or, l'observation nous montre que toutes ces aires simultanément décrites sont proportionnelles entre elles, et de plus proportionnelles aux angles de rotation dont il vient d'être question : donc, avec la même horloge H, cette loi des aires s'exprime par la formule du premier degré (j=\Q, a étant l'une de ces aires et X un coefficient ayant une valeur particulière pour chaque planète ou chaque satelUte.

Voilà donc deux lois fondamentales qui, avec cette horloge H, s'expriment par des formules très simples.

Poursuivons cet examen : dans cette méthode, la vitesse et l'accélération se définissent à la façon habituelle ; mais pour chaque position d'un point mobile la vitesse et l'accélération dépendent de l'horloge choisie. La vitesse, toujours dirigée suivant la tan-

gente à la trajectoire, garde sa direction mais change de grandeur quand on change d'horloge.

Au contraire, on voit aisément, en traçant la figure d'après laquelle on définit l'accélération par la considération de deux vitesses infiniment voisines, que le changement de l'horloge modifie à la fois la grandeur et la direction de l'accélération.

Je rappelle encore ici que deux horloges à marche proportionnelle ne doivent pas être considérées comme distinctes.

Ainsi le choix de l'horloge inQue sur la direction de l'accéléra' ion.

Ceci dit, je prends le mouvement d'une planète autour du soleil et je note l'accélération de ce mouvement prise avec l'horloge H, précédemment définie; or cette accélération de la planète est toujours dirigée vers le soleil ; je viens de montrer qu'une autre horloge modifierait cette direction. Donc c'est seulement cette horloge H qui donne pour les planètes des accélérations dirigées vers le soleil.

Voilà donc une loi fondamentale qui s'énonce très simplement avec cette horloge H \

Enfin je citerai encore la loi suivante dont celle qui précède n'est qu'un cas particulier.

Lorsque deux corps sont en présence, il y a mouvement et les accélérations de ces deux corps sont toujours dirigées suivant la droite qui les joint, les accélérations étant prises avec Fhorioge H.

Il est clair qu'avec une autre horloge cette loi sur la direction des accélérations cesse d'être vraie ou, pour mieux dire, s'exprime autrement.

Ce qui précède suffit pour montrer l'intérêt particulier que présente cette horloge H ; il n'en résulte pas que le choix de cette horloge s'impose, mais ce choix comporte de grands avantages pour exprimer d'une façon simple les bis dont je viens de parler.

Ainsi que je l'ai dit, cette horloge est telle que sa marche est propoitionnelle à l'angle de rotation de Tune quelconque des planètes; on peut donc, en particulier, prendre l'horloge H qui

1 . Cette loi est d'ailleurs une conséquence de la loi précédente sur les aires. On démontre, en effet, que si Taire par rapport à un point est proportionnelle an temps, Pâccélération évaluée sur la même horloge passe toujours par ce point fixe 0,

— remarque avec son aiguillé l'angle de la rotation terrestre.. C'est cette horloge qai nous servira, par définition, à mesurer la dorée, cela, je le répète, uniquement parce que l'horloge en question est commode.

Maintenant, comm»t se fait*il qu'on soit ainsi ramené préeisément à l'horloge adoptée par nos aieûx pour des raisons si différentes de celles que je viens d'exposer? Cette explication est fournie par un théorème qu'on démontre en mécanique. Supposons qu'il existe dans l'univers une horloge telle que, pour deux corps en présence, elle donne toujours deux accélérations, dirigées suivant la droite qui les joint, et de rapport constant; on démontre alors, comme conséquence de cette loi, qu'un corps, comme la terre on une planète, tourne sur lui-même d'un angle proportionnel à la mardie de cette horloge \

C'est grâce à ce théorème que l'angle de la rotation terrestre nous a précisément donné cette horloge.

En résumé, le temps se trouve ainsi défini comme grandeur, mais non de la même façon que les grandeurs géométriques; En réalité, la durée mesurable est une variable, choisie parmi toutes les variables qui se présentent dans l'étude des mouvements parce qu'elle se prête plus particulièrement à l'expression simple des lois du mouvement.

§ S. — Définition de la masse et de la force.

Ce qui précède me conduit directement à la définition de la masse ; je reprends une loi déjà énoncée :

Quand deux points de matière sont en présence ils se mettent en mouvement et leurs accélérations, évaluées à rhorioge H, sont dirigées en sens inverse suivant la droite qui les joint.