Vi=:eü-Y1-(eo
L’état initial est donc connu au moyen de l’équation (5) et on peut former les valeurs des coefficients a qui doivent entrer dans l’expression de 02 — Y.
On a ainsi :
2 nX + si 4 n
2 nX + sin 2/zXLJo
2nX + sia
^ X (02-Vi)cosnidi’
[f\ — V,) cos nx dx — o — 02) cos nx »
y^bnf*F{x)cosnxdx kni.
> - - - —cos nxe
2nxf0
cos nxdx
2 ?iX + sin 2nX
2 nX + sin 2 nX Jq
rx
7 / (0o — 02)cos nxdx.
L Jo
En vertu du lemne, démontré dans le paragraphe précédent, la première partie de la valeur de 92 — Y, qu’on formera à l’aide des premiers termes des valeurs de a ,
est équivalente à l’expression :
^ in fxF (x) cosnxdx 2d 2nX + sin2rcX
cos nxe
■*«*(■ «i + Tj
Par conséquent on a pour la valeur de 02 — V :
4 n fx F(æ) cosnxdx 2X + sin 2 nX 4(0O — 0j) sin?îX
cos nxe
Uïfi ( t\ -{- T )
2nX + sin 2wX
cos7ia:e
Dans cette expression l’origine du temps variable, t, est l’origine de la période tr
Pour connaître l’état du solide à la fin de l’intervalle 1 8, il suffit de faire t = dans l’expression ci-dessus. On obtient ainsi l’état initial de la période suivante tz.
Considérons maintenant la période tz pendant laquelle la source est à la température ô8.
L’état initial de cette période est la valeur de 0S — Yv On a :
La valeur des coefficients a est donnée par les équations :
2^X 4- sin 2nX
(02 — \.2) cosnxdx — J* (®2 — 03) co'snardaîj»
i?ifxF(x) cos nxdx
in fX J v»
rsissïïxjo C0SnxdxZ
2nX + sin
x cos nxe~kn2(',l~td 4 n
2 n X + sin2nX
X cos-nxe-^2*2 4 n
cosnxdxY
2raX + sin 2nX 4 nfx(Q0 — 02) cos nxdx
2?iX -f- sin 2 «X
2rcX -f- sin 2 nX J0
03) cos xdx.
En vertu du lemme, la première partie de la valeur de 03 — V, qu’il faut former avec le premier terme de la
valeur de a , est équivalente à l’expression :
v-i 4n fxF(x) cosnxdx ,
2nX + sin2nX
La deuxième partie de la valeur de ô
Y peut s’écrire :
v 4(e0-e2)sin«x Snî(,2+T)
Zi 2nX + sin 2nx cos?,:Ie
Enfin la troisième est :
4(Q2 — 03) sinnX
Asi 2nX + sin2nX
On peut donc écrire :
4 n fx F(x) cosnxdx 2nX 4- sin 2nX 4(0o — 02) sin?iX 2d 2nX + sin2nX — 03) sin nX
— krflz
cos nxe
■ cos nxe w(/l+^+T) cos nxe~lin'i^Jr^
cos nxe
2nX + sin 2nX
Dans cette expression la variable t doit être comptée à partir de l’origine de tz.
On voit facilement, sans qu’il soit utile d’insister, quelle est la loi de formation des valeurs de 04 — Y, 05 — Y...,
L’expression générale est la suivante :
&?if xF(x) cosnxdx
2nX + sin 2nX x cos n£ce“ + +^) ^ 4(0O — 02) sin nX js*d 2nX+sin2nX x c0SKÆe t“!('2+'3+-+<"-'+')
t(9,-e,)1innX eognM-*^(W-.+^1-H
2nX + sin 2nX
6n-i) sinnX —kn*(t 4-4
■ . 1 ’ — - — cos?ixe
2nX + sin2nX 4(0,1-! — 0M) sin nX
2 nX + sin2nX
cos nxe
Cette équation donne la loi de la propagation de la chaleur dans le solide à partir du commencement de la période tn) pendant laquelle la température de la source reste constante et égale à ôn.
Supposons maintenant que chacune des périodes soit infiniment petite. Alors, si la courbe des températures de la source est continue, toutes les différences 80 — ô2, 82 — 0S. etc., sont infiniment petites et égales à d§.
Nous allons voir ce que devient l’équation (6). Posons :
4 nf* F(x) cos nxdx 2 nX + sin 2 nX 4d0 sin 7i X 2?iX + sin 2nX
Nous considérerons l’expression de 9n+1 — V au lieu de 9n — V de l’équation (6) et nous donnerons aux quantités £2, tz . . . , tn une signification différente de celle donnée jusqu’ici. Ces quantités représenteront le temps écoulé depuis l’origine de la période tx jusqu’à la fin de la période indiquée par l’indice. Ainsi t2 désignera désormais le temps exprimé précédemment par tx + t2 et tn désignera le temps exprimé précédemment par tx -f t2 + ..., + tn. En mettant en facteur le terme commun cos nxe—Kn*z, la formule générale s’écrit alors :
0n+1 — V =X \ke~lin2tn — ad0e— — ad0e~ k ”2 dn— h)
— adOe- *n i) — adôJcoSTiæe-
Or les périodes en lesquelles nous avons divisé le temps tn étant en nombre infini et chacune d’elles étant égale à on a :
U = dx, t2 = 2 dx, t9 = 3 dx,
On voit alors que la somme des termes négatifs du facteur entre parenthèses de 9n + 1 — Y n’est autre que :
6 étant une fonction du temps, on a :
<Z0 = <|,(t )dx.
Alors la formule générale s’écrit :
e»+1 — v =2 (^e-knU*
cosrcæe *n2TL
Dans cette formule t représente un temps quelconque compris entre 0 et tn, t' représente un temps quelconque compté à partir de tn .
L’équation (7) donne la loi des températures dans le
solide soumis à partir du temps tn à une source de chaleur constante ôn; ce solide ayant été soumis pendant le temps compris entre 0 et tn à une source de chaleur à température variable représentée par la courbe 90 ôn.
Pour avoir l’état du solide, au temps tn, il suffit de faire t =0 dans l’équation (7). Par conséquent cette équation résout le problème de réchauffement d’un solide soumis à une source de chaleur à température variable.
L’équation (7) est très compliquée. Cependant, grâce à des méthodes dont le développement dépasserait le cadre de ce mémoire, on peut calculer assez facilement
les températures d’une paroi soumise à une source de chaleur quelconque, ainsi que les quantités de chaleur transmises.
Le problème de la propagation de la chaleur dans la paroi d’un cylindre qui peut, comme nous l’avons reconnu précédemment, être assimilée au mur indéfini que nous avons jusqu’ici considéré, est donc résolu complètement dans toute sa généralité.
