TZ

etc.,

et infinies pour les valeurs :

0, n, 2 H, 3 7:, etc.

La droite u — % est telle que ONtN2N3. Elle coupe à

nécessairement toutes les branches de la courbe transcendante. A chaque point d’intersection correspond une abscisse qui est une racine de l’équation (3bis).

Il y a donc un nombre infini de racines réelles qui, à mesure qu’elles croissent, se rapprochent indéfiniment d’un multiple de tc.

Fourier s’est étendu longuement ( Théorie analytique de la chaleur , p. 308) sur les procédés à employer pour calculer ces racines.

VIL Détermination de a.

On connaît maintenant l’une des constantes, n, de chacune des solutions particulières de l’équation différentielle (1).

La valeur de v donnée par l’équation :

v = ae~kn2t cos nx,

où n est une racine quelconque de l’équation (3), satisfait aux équations (1) et (2), c’est-à-dire à deux conditions de la question. La solution générale sera formée par la somme de toutes les solutions particulières, qui sont en nombre infini comme les racines de l’équation (3). Désignons donc par n15 n„ ns) etc., ces racines rangées par ordre de grandeur croissante. La solution générale sera :

v = a1e—&wDcos nxx + cos ntx + . ..

Si on fait t = 0, on aura, pour exprimer l’état initial, l’équation :

v0 = ai cos n^x + a2 cos n2x + a3 cos n3x ...

Il s’agit de déterminer les quantités ax — «2 — &3..., en partant de l’équation donnée de l’état initial :

D’après les conditions du problème posé, cet état initial est une fonction paire de x. Tout revient donc à développer F(æ) en une série de cosinus tels que cos n^xy cos ?i2x, etc. Les coefficients du développement ne seront autres que av a2, a3, etc.

Posons donc :

F (x) = ai cos x 4- «2 cos n2 x + ... ;

cette équation doit être une identité pour toutes les valeurs de x comprises entre 0 et X.

Multiplions les deux membres par cos mxdx , m étant une des quantités ni: rc2, etc., et intégrons entre les limites 0 et X.

Un terme quelconque du second membre devient :

a f cosmxcosnxdx = ^ T — - — sin(m — ri)x-\ - - — sin(ra + n)xl

Le second membre de cette équation est nul pour x= 0. Il est également nul pour x = X , en vertu de F équation (3), pourvu que m soit différent de n.

Quand m = n, le second membre n’est plus nul et on a alors :

a f cos2 nxdx = ^ (x + —Y

Par conséquent, on a :

\ j rx s j a (v , sin2nX\

/ Fix) cos nxdx = a / cos2 nxdx = - X - )>

Jo Jq 2 \ zn )

d’où on déduit la valeur de a:

bnf* F (x) cos nxdx 2 nX + sin 2 ?i\

Les valeurs successives ax, at, «8, etc., s’obtiennent en remplaçant dans l’expression précédente n par nx , rc2, nz, etc.

L’intégrale générale cherchée peut donc s’écrire :

4 n f* F (x) cos nx dx 2 n X -f si n 2 n X

-kiiït

cos rcx.

Cette équation satisfait aux trois équations du système (A) et constitue la solution complète du problème posé, dans le cas où la température de la source de chaleur est constante.

"VIII. Résolution du système (A) dans le cas où ô est une fonction du temps. Lemme déduit du cas où la température de la source est constante.

On a pu remarquer que ce qui fait le succès de la méthode d’intégration ci-dessus, c’est qu’on peut déterminer indépendamment les deux séries de constantes arbitraires a et n , et cela provient de ce que a disparaît

quand on remplace T et ^ par leurs valeurs dans l’équation de condition :

dT

dx

Si l’équation ci-dessus contenait un troisième terme indépendant de T, la méthode n’aboutirait plus parce que a ne disparaîtrait pas. Cela arrive quand la température de la source de chaleur est non plus constante, comme nous l’avions jusqu’ici supposé, mais variable avec le temps. Dans ce cas, l’équation de condition a la forme :

— -f - T = dx ^ K

ou 0 est une fonction quelconque du temps.

On ne peut plus déterminer séparément a et n , et la méthode de résolution directe, qui conduit à un double système d’équations en nombre infini contenant un nombre infini d’inconnues, est inabordable.

Nous allons donc employer une autre méthode, qui consiste à diviser la durée de réchauffement en petites périodes, pendant lesquelles on peut toujours supposer que la température de la source est constante.

Nous démontrerons d’abord un lemne déduit du cas où la température de la source est toujours constante.

On sait que la loi des températures du solide, quand il est échauffé par une source constante à température Ô0, agissant pendant un temps t quelconque, est donnée par l’expression :

v = Qo V =

4 nf* F (x) COS nxdx 2 nX + sin 2nX

cos nxe

-Jetât

En effet, la valeur v de l’équation (4), comptée à partir de ô0 comme origine des températures , devient 0O — Y quand l’origine des températures est quelconque.

Divisons maintenant la durée d’échauffement en petites périodes égales tl , t%, t„ etc.

La loi des températures dans le solide à la fin de t.

o"ft

Fig. 4.

s’obtient en

faisant t = tt

ou au commencement de dans la valeur de ô0 — Y.

Si t est un moment quelconque de la période £2, compté

à partir de l’origine de t2, la loi des températures pendant la période t2 s’obtiendra en faisant t= tx + t dans la valeur de 0O — Y.

On aura donc pendant la période t2 :

4 nf* F(x) cos nxdx 2?iX + sin2nX

cos nxe

-knm + .)

D’autre part, traitons la période t2 indépendamment de la période £,. Le problème à résoudre est alors le suivant :

Etablir la loi des températures dans un solide chauffé par une source de chaleur 0O , et dont l’état initial est exprimé par l’équation :

4r./ox F (a:) cos nxdx 2?iX + sin 2 /iX

cos nxe

■knstx

ou ti est une valeur fixe.

Cette loi des températures est de la forme :

0O — Y =2, ci cos nxé~Kn 2",

et il faut calculer les valeurs de a d’après l’état initial ci-dessus.

On a par suite :

4 nf* (0O — VJ cos nxdx a 2 ?iX + sin 2 nX ’

ou en remplaçant ô0 — V4 par sa valeur :

2nX+sin2nXJo

co s nxdx

4 n F(x) co s nxdx

l 2 n\ + sin 2 nX

cosnxe

— krfiti

La loi des températures est donc exprimée par l’équation suivante :

V cos nxe •X

— kn* t

cos nxdx

2 nX + sin 2nX 4??^x F (x) cos nxdx

2nX + sin 2nX

cos nxe

kn?t<

Mais nous avons vu plus haut que cette loi des tempô-

ratures pouvait être aussi exprimée par l’équation :

. v v 4nXX F(*)cosnacÆr ’ +,j

L — V=> — — ^ - : — r — 77 — cos nxe llT

0 a* 2 ?zX + sm 2wX

Donc les deux expressions ci-dessus de G0 — Y sont complètement équivalentes.

Toutes deux indiquent la loi d’échauffement du solide, la seconde à partir du commencement de la période tx et pour toutes les périodes suivantes, la première à partir du commencement de la période t2 et pour toutes suivantes. Toute la différence entre les deux expressions réside en ce que l’origine du temps n’est pas la même.

IX. Division de la durée d' échauffement en petites périodes.

Supposons maintenant que la température de la source

ne soit plus constante, mais obéisse à une certaine loi représentée par la courbe 60ô.

Divisons la durée d’échauffement en intervalles égaux très petits, tx) t2) /3, etc.

Supposons que pendant l’intervalle tx la température de la source reste constante et égale à 6# ; que pendant l’intervalle /2 la température de la source reste constante et égale à 02, valeur donnée par l’intersection de la courbe et de l’ordonnée élevée en tr

De même pour les autres intervalles. Nous remplaçons ainsi la courbe 0O Q par une série d’échelons qui se rapprochent indéfiniment de la courbe quand les intervalles de temps deviennent infiniment petits.

Pendant la période tx , la température de la source de chaleur restant constante, nous connaissons la loi des températures dans le solide. En particulier, l’état final de cette période est donné par l’équation :

bnf* F(z) cos nxdx ^l~ JL 2?zX + sin2nX

cos nxe

knïti

Considérons maintenant la période 1 2 indépendamment de la période tx , c’est-à-dire en prenant l’origine de tt pour origine du temps. On aura l’état initial du solide en formant la valeur de 02 — V4. On a :