. -IL

Desléqualions (1) ei (2) je tire :

jt (a. - P) (.r -. 0) = tf« (« - P) («-Q) • (^)

Je désigne la double expression e par la lettre h ; l'équa-

tion (3) peut s'écrire":

Multipliant et divisant membre à membre les équations (4) et [5] , on obtient les équations suivantes :

t« (a; — P)« = «* /i* (« — P)*, et tMa?— 0)*= iL(«-.Q)«;

d'oli, en extrayant les racines :

t[x-''P)=:±9h («— P) , et ^(»— 0)1=+— (flc— Q) .

Or, « et a? sont compris entre P et Q , d'oii il suit que x — P et x — P sont de môme signe ; il en est de môme de a? — Q et « — Q. D'après cela, dans les deux dernières équations, les seconds membres doivent être affectés du signe + • On en tire :

tx — —

P = , et Q =

tfoîi:

« — P = , et ot — Q=i —

Je reporte ces valeurs dans Téquation (S) , en remplaçant h par

par e

, ou inversement; il vient, de toute

manière, pour résultat de l'élimination, l'équation suivante :

Tableau C.

{Renvoi du n* 87.) Elimioation des lettres X^ , T^ , P enlre les cinq équations :

(X.-«)(X,-P]=-fc'T;«, (2)

Des équations {\) et (2) je tire — 1 = — -=^ ^ , ou

f Al — F « — P

. Je reporte cette valeur dans les équations {%) et (5] ; il vient

il X^ — P

^1 "" • — ~ "T" • 7~rp\i » (^)

a/=f(«-P)|l3^-To(Xo-«). (7)

De l'équation (3) je tire

d'oh:

De l'équation (6) je tire — ^ = - .^ ^ ^" ' ®"

A^ — oc f*

égard à Téquation (9) :

Xj-p ^^A f^i+ii^zLfifr. «0)

x,-« "■ A« L tMa?-«) J

Je porte dans les équations (4) et (7) les valeurs de « — P, de a? — P

et de ^'~ données par les équations (8), (9) et [\0) ; Xi — «

il vient, d'une part :

ri ^' (^- «)'' il [k^ + t^x-aY V ^ il r k^ + tHx-aY Y

^ — k' ^ k^ [ t^{X-a) \ k^l kt J •

et , d'autre part :

ifc« l> (a? — ce)

rr^ To (Xo — ») .

Tableau D.

(Renvoi du n* 58.)

Vérifier, sur les équa lions

!"''■' jrr'"' w. ~To(Xo ■-..), (•!)

f[^^ + fM^-«)']

Ja relation Do Téqualion (i) on tire :

d'ob, eu égard à la valeur de t' donnée par Téquation (2) :

«[**+«* (» — «)*] De l'équation (2) on tire :

. , f g <Ma? — «) da? + [ f' (a; — «]* — jb»] d g

et, par suite,

dt' g tMa? — c») d a; + [f« (g — «)» —k^] dt t' f [*;* + «* (x—«J«]

On a ainsi :

dt'»

r» dx'* + A«

t* j [k^'t^[x-c,]^Y-hUU*[X'u]^^^dx^+kA^

t^[k^ + t^[x-çc)^y ou

t'^ <H/t* + tMx— «;îj»

ou, enfin,

r* da;'« + i* --1^ = t«d a;« + A» -^ :

Tableau E.

(Renvoi du n* 56):

EliminatioD des lettres m, n, P, Q entre les cinq équations

/ y =:mx + n , (<)

Si Toa divise par m* + < les deux membres des équations (2) et (4), on reconnaît que ces deux équations et Téquation (5) ne diffèrent des trois équations du n* 32 (v. tableau B) qu'en ce que k^ est remplacé par

f dans tous les termes rationnels en k, Fexponentielle e

ne subissant aucune modification. Le résultat de Télimination des lettres

P et Q entre ces équations se déduira du résultat obtenu au tableau B,

en remplaçant k* par ^ dans les termes rationnels en ^,

sans modifier les exponentielles, qui ne fournissent, dans le calcul, aucune réduction avec ces termes. Il vient ainsi' l'équation :

^2 (a;-«)2(m2+l)=:--Ç.A-Ô6 kW^g^'^k\ (6)

Des équations (4) et (3) je tire : m = , d'où

Je porte cette valeur dans l'équation (6) ot il vient : *

— — 4-Ji

Tableau F.

(Renvoi du n* 58) Elimination des lettres H et x entre les trois équations :

[ (x»-M)(n'-Hx4-Hm)H'=(mH-1)(n'.P'x4-Fm)(a'-Q'x+Q'm). (3)

L'équation (1) donne : x = -^ .

L'équation (2) donn? : x' — H = > , ,

Remplaçant, dans l'expression de H, x par sa valeur — r • on a :

Je reporte les râleurs de H et de x dans l'équalioD (3) ; il vient :

ni* + 1

d'où, en multipliant les membres extrêmes par x'* :

= (w«+ \) n' «'« + [mx -y'] x' (P'+ Q') + (m x - t/'j» — ^ J * d'où :

A;' (-« (m x' — y'j = — fa;'2-f-y'«)(wa;'-y'4-ïiO-h(w«-M) L'x'» -h (m x'-î/')«'(P'-*-Q') +(*»«'-!/')* ^~ L

d'où-

= a:'»-hy'«+ tyix'-V "^'^^'^-i) "ST?^ ■'"**■+" ^^^^^'"t^'^" ^'"''*"^^^'^^ " ^^"IT

Or, on a identiquement :

n' {Xf* H- î/'»)' , «' X'i ^ y'î - WiîJP'2

-; — V- — m«4-l) ; 7 = n' ^—-i — -;- = - n' ^' -h ma?' ;

mx^ —y' ' mx —y mx --y ^

il vient donc :

- fc« t-î =a;'*4-2/'«-n' (y'+ma;')— a;'(m*-hl)(P'-hQ')— (m8+l}(maj'-y') -— j^,- •

Tableau G.

(Aenvoi du n* (/.)

Résolution du système d'équations :

:^ + y* = kU-* (— - \ Y 0)

*' + »/ + Ax + B?/ = — &*(-«, (2)

■- xi + y- + V'' + <iy = -k*lr* , (3)

dans lequel x^y qH sont les trois inconnues.

Les équations [i) et [î] donnent par soustraction :

Ax + iy = —JLJ—; (4)

les équations (4) et (3) donnent de même :

px + qy= — . (5)

Des équations (4] et (5) on tire :

t ' Ag — Bp.

t Aq — Bp ^

Portant ces valeurs dans l'équation (1) , on a : kU'^ jB-^> + (p-A)«

fi (Aç

— bp]* \t / '

-L l-iL (B - g)* 4- (p - A)' t - t* (Aç- Bp)*

d*ou :

^ fe'[(B--ey)'+(p-A)>]+f«fAç-Bp^»

flAg— Bp)t

Reportant la valeur de t dans les équations (6] et (7), on a pour » et y les valeurs suivantes :

^ kt{B'-g)(Aq — Bp)

*M(B-g)«+(p-A)«J + fMAg-Bp)«

A«(p— A)(A(/ — Bp)

*«[(B-(/)« + (p-A)«] + f«(Ag-Bp)« •

Tableau H.

{Renvoi du n* 6^.) Forme que prend le second membre de Tégalité :

dp* \ dj)^ dp^) t^dp* '

, , , dûs dy dt

lorsqu on y remplace t , -; — , — ; — , — ; — par les valeurs ^ -^ ^ dp ' dp t dp ^

suivantes :

p*,o(Ax— B)« *

"^^ =^«(Ax-B) 1^(^-2^^^" D'(B-Xp)p

dp ' D*

dp D*

dÉ D'p—SD

idp p\y

dans lesquelles D représente l'expression :

** [ (A - p)* + (B - X p)* ] + fs (A A - B)*p* ,

et D' l'expression :

— 2A;a [A — p +>^ (B— Xp)] + 2f!p (A x — B)*.

Je fais d'abord la substitution en conservant les lettres D et D' ; il vient :

dj2 ifcî 1 [D (B-2>p)-D'(B-Xp)pJ«-+-[D(A-2p)-D' (A-p)p]aj -f-p*fî(AX-B)2(D'p-2D)«

Il reste à remplacer dans le second membre les lettres D et D' par

les expressions qu'elles représentent.

Avant d'effectuer cette substitution , je développe dans Tex-

dV^

pression de , le numérateur de la fraction suivant les puissances

dp^

de la lettre D. Soient, dans ce développement, S, le polynôme indépendant de la lettre D , S^ le coefficient do la première puissance, et Ss le coefficient de la seconde puissance de cette même lettre.

dû , So + Si D -h S, D*

On aura — - = *'

Le développement donne pour S« la valeur suivante :

S. = k^ D'« (B - X pY p« + *» D'> (A - p1» p' + P* P' (A X . B)« D'^ ,

S. = D'« p» [ A» (B-xp)> + k' (A -p)» + p» f« (A A - B)»] .

Dans le second membre de cette dernière égalité, la quantité entre crochets n'est autre que Texpression de D. On a donc :

S.= D'»p«D; d'oli :

d/« D^'p'+ S, +S, D dp» "" ' Dp*pHAx — B)»

On a, en continuant le développement :

Si=: — 2fcîD' [(B -Xp)(B-2Xp)p-f.(A-2p)(il-p)p]-4pîp«D'(AX-B)«,

S|= — 2D'p[Af«(B-Ap)(B-2Ap)-f.As(A-2p)(A-p)-4-2p8f8(Ax-B)s];

d*ou :

D'*p« -4- Si = -D'p [2 k^ (B-Xp) (B-2 Ap) -4-2 fc« (A -2p) (A-p)-4-4p8 fî (A A-B)2-D'pJ.

Dans cette dernière égalité, Texpression entre crochets devient quand on y remplace D' par sa valeur :

2fc«(B-Xp)(B-2Ap)-4-2**(A-2p)(A-p)-+-2p2f2(AX-B2-+.2A:îp[A-p-+.X(B- p)],

2 k^ (B -xp)» + %k^ (A - p)« + 2p2 fMA A - B)^ expression égale à â D.

On a donc :

D'îp« + Si = — SDD'p, ot par suite :

dl^ ^, — 2DD>+SsD ^^ - 2 D'p 4- S,

dp» Dp*p«(Ax-B)» pSMAa — B)* *

La suite du développement donne :

Sj = A«(B-2ap)« + A;«(A-2p)> + ^P^i* (A x - B)* . Je remplace D'etS, parleurs valeurs dans Vexpression —2 D'p +S, ; il vient :

— 2D'i> + S,=4A»[A-p + x(B-Ap)]p + *»[(B-2xp)« + (A-5p)«] , expression qui se réduit à k^ (A* + B").

On a donc enfin :

dl fe* (A» + B«)

dp« "" P*fMAx-B)a

Tableau I.

{Renvoi du n* 67.) Résolution du système d'équations :

Xj + Y, = fc« T, (-ii - 1 j [\]

Yj = m X4 (2)

(m»+OX,(X. -P) = -&«T;\ (3)

dans lequel X^ , Y^ , T^ sont les trois inconnues.

On tire des équations (\) et (S) :

tJ X* (m* + 1 ) + A;» == A?« -^ ; (4)

de réquation (3) :

T,x'(m« + + fe« = TVPX,(m« + 1); (5)

des équations (4) et (5) :

T, P X, (m» + = ou

'^«- ,PX,(m»+0 • '^'

DËYELOPPBMENT DES CALCULS. 149

Remplaçant dans l'équation (3) T^ par sa yalear, telle que Téquation (6) la fournit, on a :

(.■+ox.(x.-p)=- '""'''';^"'+'>' ,

d'oh:

Aj —

Portant cette valeur dans les éqaatioDs (3) et (6), on a :

mk*?

Tableau J.

{Renvoi du n* *>•)

Vérifier sur les formales :

t'd3f= (^*~»^ {t'dt — tdt'] + t( [fdx — dy) , |2j

la relation :

t!*[daf*+dy*)+k^^ = t*(^x* + dy*)+k* - .

Des équations (9] et (3) on tire :

dt*

150 ÉTUDES ÀNALTriQUES SUR LA THÉORIE DES PARALLÈLES. ~^ " t*{p -4-1) )

Dans le second membre de cette égalité, le numérateur est égal à la somme des termes suivants :

(i'dt — td lY Uf^-yY+ (a? + ry)*l

+ itt'{tfdt—tdt') \(fx^y)(fdx^dy) + [x + fy)[dx + fdy)] + tU''ï{fdx—dyY + {dx+rdyY^.

Or, on a identiquement :

(fx-y)* + [X + fyY = (/»+<) {«» 4- »*).

{jx-y) {fdx-dy) + {x+fy)(dx + fdy]=={(*+i) (xdx+ydp), [fdx-dyy + {dx + fdy)* = [f*+ <) [dx* + dy*);

Fégalité (i) peut donc s*écrire :

(dxf^ + dy'*]i'^ {fdt'tdif)^{cfi'¥'y^'h2tf{rdt'td1f){xdX'hydy)'hPif* jdsfl^dy^

d'où :

[daf' + dy'')t'' + k'^

/ dtf \* f dtf \ df»

= ldt-t-j-j (x«4-y«) + S< [dt'i'Y'Uxdx+ydy)'hP{dxt+dy^)'^h^—^'

Désignant le premier membre par d s'', et ordonnant le second

^dt'

membre suivant les puissances décroissantes de —7- on a :

dt'i r 1 df r 1

+ dt« (a3 + y«)4- 1» (dxf-hdyi) -h^tdt {xdx-^ydy). Si je pose :

DÉYELOPPEMENT DES CALCULS. 151

d*oh je tire :

dN=2<dt(a?' + y*) + it^ {xdx + ydy), il vient :

df* df ,^\

D'ailleurs, la formule [^) peut s'écrire :

d'oh l'on tire :

dt' fdti — Ndf

Portanl cette Taleur dans le second membre de l'égalité (S), l'ensemble des deux premiers termes devient :

(tdN — Nd«)* (tdN— Ndt)dN

ou:

tdN — Ndt ^^ ii «i*.

ou :

OU, en remplaçant N et d N par leurs valeurs :

— 2 d t» (a?* + y*) — 2 «d« (a:da? + ydy) + d (« (a?» + y*) + ik« ^i

ou enfin :

dt*

— d<* (a?* + y*) — 2 <d< (a?da? + y dy) + A;*

Remplaçant dans l'équation (5) les deux premiers termes du second membre par cette valeur, et le premier membre par l'expression

[dûc^^ + dy'*) f' + A;* -pj-, à laquelle d s'* a été substitué, on a finalement :

{dx'^ + dy'^)i'^ + k^'^=[dx^+dy^)t^ +A*-^ .