AS* AX* AX

Remplaçant les limites des rapports — , — par les rapports

-r— , —7^ entre les différentielles, on obtient la relation ; dx dx

dx' " ^ dx'' d'où

dx'' ^ ^

La longueur a 5 de l'arc infiniment petit ne diffère, comme on le sait, de la différentielle ds que d'une fraction inflnimeni petite d'elle-même, et la formule {b) peut être employée pour exprimer cette longueur.

Cette formule peut aussi s'écrire :

1/ V ^-2:*^ dx ^

dsz=: V e*^ •+• --r-r -7- dz. (b')

dx^ dz ^ '

J'emploierai souvent dans la suite la lettre t pour représenter

— tdz di

Texponentielle e^ . On a dans ce cas rf^ = — r— , ou d 5 = /c -y-

La formule [b) devient alors :

1/ di^

ds^V t^+k- -^Trf^ dx. {b")

25. Il résulte du numéro précédent que si l'équation ;? =z (^ (^) de la courbe AB est connue, la longueur de l'arc s, dont les extrémités ont pour coordonnés Xi, Zi et x^, z^, se déterminera par une quadrature, soit au moyen de la formule ;

= /" Ve^'+J^dœ, (c)

dx^

soit au moyen de la formule équivalente :

Sans faire varier les limites x^, x^ de l'intégrale (c), ni les valeurs correspondantes de jj, on peut modifier la forme de la fonc-