CHAPITRE II. SI

système de comparaison, sera représentée par une équation générale dans laquelle ce paramètre sera contenu soit explicitement, soit implicitement. Une telle équation sera appelée, pour cette raison, éqiMiUonparamétrale. Elle ne différera de l'équation, telle qu'on l'établirait conformément à la théorie des parallèles dans le système des coordonnées reclilignes rectangulaires, que par Texistence du paramètre absolu. Dans la même hypothèse d'une valeur finie de k, les coordonnées d'un point définies ftomme ci-dessus (n® 22) seront dites pareillement coordonnées paramétrales.

24. Différentielle d'un arc de courbe quelconque, et longueur d'un arc infiniment petit, en coordonnées paramétrales.

Soit sur une courbe A B (fig. 21, pi. III) un point M dont les coordonnées sont a? = P, ^r = P M, et soit s la longueur de l'arc A M, comptée à partir d'une origine A quelconque. A partir du point M je prends sur la courbe un arc MN égal k^s, dont l'extrémité N a pour coordonnées x -^ Lx, 3' .-+- a 5. Du point N j'abaisse NQ normale à l'arc uv&e comparaison, parallèlement auquel je mène par le point M l'arc M K ; j'ai P Q = a a? et NR = A z. La formule (a), appliquée aux arcs MR et PQ ou

Ax, fournit entre ces arcs la relation arc M R = e* a x. Je suppose maintenant que ces arcs décroissent au delà de toute limite ; je

mène les cordes M N et M R. L'angle M R N ayant pour limite un angle droit, je peux appliquer le théorème du n** 13 au triangle MN R, dans lequel je peux substituer aux côtés infiniment petits MN et MR les arcs que ces cordes sous-tendent (n" 14). J'obtiens ainsi la relation :

,. «* Aa«-f-A2* , -. AS» r- . ,. A2«

1X02. ~i^ ou lim. -zr: e* + lim.