CHAPITRE IV

ou, en remplaçant la corde par l'arc, ^r-— , ont donc pour

limite l'unité (n'^tO). D'ailleurs, les limites des rapports entre les longueurs A B', arc OB', OA peuvent être exprimées au moyen des formules paramétrales déjà établies ; en faisant ce calcul qui n'offre aucune difficulté, on reconnaît que ces limites ont une valeur déterminée ; il en sera donc de même des limites des rapports entre AB, OB et A.

Cela posé, j'appelle sinus, tangente, sécante de l'angle POM

les limites des rapports ' , -jr-^ ; cosinus , cotan-

gente, cosécante du même angle, le sinus, la tangente, la sécante de son complément.

J'ai supposé que les rapports entre les lignes A B, OB, OA pouvaient varier avec la longueur A. Lorsqu'on admet l'existence de figures semblables, laquelle est une conséquence de la théorie des parallèles, on reconnaît que ces rapports sont constants ; donc, dans ce cas, il est indifierent d'en supposer les termes finis ou infiniment petits, et les définitions précédentes conservent aux ligues trigonométriqucs leur sens ordinaire, tel qu'on a coutume de le définir indépendamment des dimensions de la figure.

72. Je ferai remarquer que les propositions de géométrie desquelles se déduisent toutes les formules trigonométriques se résument dans les propriétés de similitude, et dans le théorème du carré de l'hypoténuse, qui, lui-même, comme on le sait, en est une conséquence. Or, ces propriétés subsistent encore pour les figures infinitésimales lorsqu'on renonce à s'appuyer sur la théorie des parallèles (voir le chap. P') ; par conséquent, les relations qui lient entre elles les lignes trigonométriques d'un même angle, ainsi que les séries qui expriment ces lignes en fonction de l'angle, et, par suite, les tables trigonométriques subsistent les mêmes, qu'on admette ou non l'existence de figures semblables. Par la môme raison, les relations qui lient entre eux les divers éléments d'une figure quelconque dans la

première de ces deux hypothèses, subsistent dans la seconde entre les éléments d'une figure infinitésimale, et Ton peut à une telle figure appliquer sans modification les formules connues qui servent à la résolution des triangles rectilignes.

73. Il en résulte que les formules de trigonométrie sphérique sont indépendantes de la théorie des parallèles. En eflfet, ces formules, exprimant uniquement des relations entre les six éléments d'un angle trièdre, sont indépendantes du rayon de la sphère (chap. compl.n**V). Or, sur une sphère de rayon infiniment petit, on pourra répéter toutes les constructions au moyen desquelles ces formules sont habituellement établies ; les triangles rectilignes que l'on introduit étant alors infiniment petits, les relations, qui lient entre eux leurs divers éléments, seront les mêmes qu'on s'appuie ou non sur la théorie des parallèles ; les formules de la trigonométrie sphérique, qui toutes s'en déduisent, sont donc aussi les mêmes dans une hypothèse que dans l'autre.

Mesures de la circonférence, du cercle, du secteur de cercle, du triangle, de la surface et du volvmie de la spJière, dans la géométrie imaginaire{\).

74. Je place ici un lemme de géométrie imaginaire, que j'appliquerai, dès le numéro suivant, à la détermination de la mesure de la circonférence. La démonstration n'en présentant aucune difiiculté, je me borne à en donner l'énoncé :

Par un point quelconque, on peut mener deux arcs de rayon infini normaux à une même droite , ces arcs, symétriques par rapport à la perpendiculaire abaissée du point sur la droite, ont même longueur. En outre, si le point est infiniment voisin de la droite, l'angle que forme en ce point la normale à Tun des arcs, avec le prolongement de la normale à l'autre arc, est infiniment petit.

(J; Lobatschewsky a donné le nom de Géométrie imaginaire à lar géométrie qui résulterait d'une hypothèse contraire au postulatum d'Euclide ; je conserverai celte dénomination.