Prolégomènes

éliminer. Il en serait de même et dans la géométrie du Plan pour la combinaison Plan et Plan ; dans la géométrie de la Droite pour la combinaison Droite et Droite; et enfin dans la géométrie du Point (si tant est qu^me telle géométrie soit concevable) pour la combinaison Point et Point.

Mais la combinaison Point et Point est valable pour la géométrie de la droite qu'elle constitue essentiellement; la combinaison Droite et Droite est valable pour la géométrie du Plan d'une part et pour la géométrie de TEspace d'autre part ; enfin la combinaison Plan et Plan est valable pour la géométrie de l'Espace et lui est essentielle.

— Les neuf combinaisons binaires des quatre éléments : Espace, Plan, Droite, Point,donneraient lieu, par les groupements divers qu'on en peut faire, à bien des remarques. Nous ne nous arrêterons ici qu'aux principales. Tout d'abord si nous considérons les six combinaisons binaires absolues, ou composées seulement de deux éléments différents, à savoir : l'Espace et le Point, l'Espace et la Droite, l'Espace et le Plan, d'une part; puis le Plan et le Point, le Plan et la Droite d'autre part ; et enfin la Droite et le Point ; nous remarquerons que :

10 — Le Point est le centre de TEspace, le centre du Plan et le centre de là Droite ;

2^ — La Droite est l'axe de l'Espace et l'axe du Plan.

30 — Le Plan partage l'Espace en deux demi-espaces égaux et symétriquement placés par rapport au Plan de base ; la Droite partage le Plan en deux demi-plans égaux et symétriquement placés par rapport à la Droite de base ; enfin le Point partage la Droite en deux demi-droites égales et symétriquement placées par rapport au Point de base ou d'origine commune.

En outre, si nous rapportons les neui combinaisons binaires respectivement à la géométrie de l'Espace, à la géométrie du Plan, et enfin à la géométrie de la Droite, nous observerons que :

1*^ — La géométrie de l'Espace, outre les trois combinaisons primaires

L'Espace, le T'ian, la Droite, le Totnt 8-9

et fondamentales, à savoir l'Espace et le Point, l'Espace et la Droite J'Espace et le Plan, comprend encore les six autres combinaisons, à savoîJP':

Plan et Plan, Plan et Droite, Plan et Point, Droite et Droite, Droite et Point, Point et Point,

lesquelles, avec l'Espace qu'elles impliquent, forment au demeurant des combinaisons ternaires :

2o — La géométrie du Plan, outre les deux combinaisons primaires et fondamentales, à savoir le Plan et le Point, le Plan et la Droite, comprend encore les trois combinaisons suivantes :

Droite et Droite, Droite et Point, Point et Point,

lesquelles avec le Plan qu'elles impliquent forment, au demeurant^ des combinaisons ternaires.

3* — La géométrie de la Droite, outre la combinaison primaire et fondamentale de la Droite et du Point, comprend encore la combinaison :

Point et Point,

laquelle avec la Droite qu'elle implique forme, au demeurant, une combinaison ternaire.

La géométrie de la Droite est une géométrie bien réduite et qui se confond d'ordinaire dans la géométrie du Plan, dont les figures sont infiniment plus multipliées. Dans la géométrie de l'Espace le nombre des combinaisons, et par suite des figures, défie toute énumération et on ne répuisera jamais. La géométrie générale comme la graphique générale impliquent les trois géométries de l'Espace, du Plan et de la Droite ;

40 Prolégomènes

la géométrie élémeataire comme la graphique élémentaire ne considèren que les deux géométries du Plan et de la Droite.

Si donc nous réservons pour la Géométrie et la Graphique de l'Espace les trois premières combinaisons, savoir, l'Espace et le Plan, l'Espace et la Droite, l'Espace et le Point, il nous reste, pour la Géométrie comme pour la Graphique du Plan, les combinaisons Plan et Droite, Plan et Point ; et pour la Géométrie comme pour la Graphique de la Droite, la seule combinaison Droite et Point,

Maintenant, puisqu'il s'agit de prolégomènes et non pas d'une exposition didactique et régulière, il nous paratt plus simple de procéder pas à pas, et de rangersous autant d'articles distincts l'examen successif des combinaisons binaires en commençant par les combinaisons primaires et déterminantes. C'est pour cela aussi que nous confondons sous le même titre de Géométrie du Plan, et la Géométrie de la Droite et la Géométrie du Plan proprement dite.