PLAN ET POINT

La combinaison Plan et Point, ou la synthèse du Plan et du Point, nous conduit à une interprétation particulière de la notion du Plan, celle de l'étendue circulaire ou du Plan polaire.

Le point fixe, situé en un lieu quelconque de la surface du Plan tout nu, se subordonne cette surface en tous les points, à toutes les distances et dans toutes les directions. Ce point fixe est alors le pôle du Plan tout entier qu'il faut considérer comme un cercle infini et qui n'a point de périphérie, à l'égal de la droite qui est aussi infinie et qui n'a point d'extrémités.

Et de même que dans Tordre de nos perceptions réceptives aussi bien

CA. /, Q4rt. //— "Plan et Toint 19

que dans Tordre de notre technique ouvrière, nous n'avons prise que sur la Droite limitée et bornée par ses deux extrémités, de même aussi, nous n'avons prise sur le Plan polaire qu'en lui imposant des bornes ou des limites, c'est-à-dire un contour ou un circuit qui en délimite une portion semblable au Plan polaire tout entier, et qui en fait un tout accessible à notre perception et à notre manutention, c'est-à-dire un cercle. Et comme toutes les droites finies son semblables et tous les cercles aussi, nous avons à notre disposition deux formes définies, à la fois géométriques et graphiques, et qui peuvent passer paf tous les états de grandeur depuis le point, où l'étendue s'annule, jusqu'à l'infini, où toutes limites et par conséquent toutes figures s'évanouissent.

Cela posé, nous savons par expérience que par un point quelconque de la surface du Plan nous pouvons faire passer une ligne droite et la tracer effectivement en prenant la règle pour appui ou pour guide. Nous savons en outre et de mémo que par ledit point nous pouvons décrire une circonférence en prenant pour instrument le compas et, pour l'écartement de ses branches ou la distance de ses pointes, une longueur quelconque. Nous savons encore qu'il faut deux points pour fixer le lieu d'une droite : la direction de la droite, comme la grandeur du cercle sont donc entièrement déterminées quand on se donne un deuxième point sur la surface du Plan polaire.

Deux points séparés par un intervalle quelconque pour appuyer la règle et tracer la ligne droite ; un point ou centre et une longueur, à de savoir l'ouverture du compas et par suite un deuxième point, extrémité la longueur, pour tracer une circonférence : telles sont les conditions nécessaires et suffisantes pour la détermination de la ligne droite et de la ligne circulaire ou du cercle.

§ 1. — La Droite et ses directions dans le Plan.

Toutes lesdroites en nombre illimité (fig. 1), qui passent par un même point dans le Plan, ou toutes les demi-lignes droites en nombre égale-

Prolégomènes

ment illimité qui soot articulées en ce môme point et qui rayonnent tout à l'entour de lui, renferment, prises en bloc, toutes les directions du Plan. Or, ces directions étant indéfiniment nombreuses, comment s'y

reconnaître et les nommer? Voici. Nous projetterons sur la surface du Plan, par le point fixe et dans l'ensemble des lignes droites ou des demilignes droites, les deux directions qui nous sont familières et comme naturelles ou instinctives, à savoir : la vprticale ou la perpendiculaire du fil à plomb et Yhorisontale ou la ligne de niveau.

Cela fait, notre ensemble ou faisceau de droites rayonnantes se trouvera réparti en deux groupes :

\^ Et d'abord, le groupe très simple et très bref des deux lignes verticale et horizontale passées en croix et perpendiculaires Tune à l'autre, ou le groupe du trait carré qui partage la surface du Plan en quatre quartiers égaux et symétriques (fig. 2).

2^ Puis un groupe de lignes obliques à ces doux-là (fig. 3), et qui, indéfiniment nombreuses, occupent symétriquement les quatre quartiers du trait carré. Ce groupe lui-même se partage en deux autres : l'un qui comprend les obliques distribuées dans le premier et le quatrième quartier, et l'autre symétrique du premier qui comprend les obliques distribuées dans le deuxième et le troisième quartier. De ces deux groupes d'obliques, les unes vont à gauche de la verticale et les autres à droite; nous nommerons les premières oA//ywe»?à^awcAe ou en Aanrfie, et les autres obliques à droite ou en barre^ conformément au glossaire du Blason. Les obliques en barre et les obliquesen bande, qui ont même

Ch, /, (Art. II — Flan et Point

iaclinaison, par rapport à la verticale et simultanément par rapport à l'horizontale, sont réciproques et symétriques Tune de l'autre; elles sont dites alors anti-parallèles.

Parmi ces obliques indéGniment nombreuses^ les unes, qui se rapprochent de la verticale, sont àiie^ penchées; les autres, qui se rapprochent de l'horizontale, sont dites couchées. Enfin les obliques qui ne sont ni penchées, ni couchées, mais exactement intermédiaires entre la verticale et l'horizontale, sont dites diagonales: elles sont au nombre de deux seulement, et forment ensemble le trait carré, mais posé de biais, ou diagonal, c'est-à-dire en sautoir.

§ 2. — Les angles y les secteurs et les girons. — Si par le Point, pôle ou centre, on mène un rayon ou une demi-

ligne droite indéfinie, on ouvre d'une manière impliciteTespacecirculaire ou du plan polaire, dont la surface entière reste indivise. Cet espace

22 Prolégomènes

circulaire, qui est l'analogue du demi-plan, est pair, c'est-à-dire symétrique de part et d'autre d'un axe qui coïncide avec le rayon d'ouverture, passe par le centre et traverse le cercle ou le plan polaire de part en part (fig. i).

Si par le centre on mène deux rayons distincts, l'espace circulaire ou le cercle se trouvera partagé en deux secteurs complémentaires l'un de l'autre dans l'unité du cercle ou de l'espace polaire et dont les variations sont réciproques : à mesure que l'un augmente, l'autre diminue d'autant, puisque leur somme, ou l'espace circulaire qu'ils embrassent, reste constante. Si les deux rayons sont très rapprochés l'un de l'autre, l'an- ^/^ qu'ils font entre eux est àxiaigu et le cercle se trouve partagé en un giron aigu et un secteur à angle rentrant (fig. 2). Si les deux rayons sont d'équerre, le cercle est partagé en un secteur ou giron rectangle, c'est-à-dire un quartier, et un secteur à angle rentrant; le secteur ou quartier est alors le quart du tout, et le secteur à angle rentrant les trois quarts du tout (fig. 3). Si l'angle des deux rayons augmente, le giron devient obtusangle, et le cercle estpartagéen deux secteurs, l'un obtusangle, l'autre rentrant (fig. 4). Enfin, si les deux rayons sont dans le prolongement l'un de l'autre, le cercle est partagé en deux demi-cercles égaux et symétriquement placés par rapport à l'axe de symétrie formé parles deux rayons alignés (fig. 5).

Les figures 1, 2, 3 et 4 et toutes les figures intermédiaires à celles-là sont paires; la figure 5 est écartelée, c'est-à-dire pairement paire.

En supposant l'un des rayons fixe, pendant qu'un autre, mobile, s'écarte du premier d'un côté ou de l'autre suivant le sens de la rotation et après un tour complet revient sur le rayon fixe, on peut noter la suite des angles ainsi engendrés comme il suit :

Zéro angle — angle aigu plus petit qu'un quartier ou qu'un angle droit — angle droit — angle obtus plus grand que un droit — le demicercle égal à deux angles droits — un angle rentrant plus grand que deux droits — un angle rentrant égal à trois droits — un angle ren-

Ch. l oArt. H — Plan et Point 23

trant plus grand que trois droits, — enfin le cercle entier égal à quatre angles droits.

Si l'on désigne par les lettres A, D, 0, P, R, respectivement chacun des angles, aiguy droit j obtus^ demi-cercle ^ ou plein-cintre, rentrant j on aura la notation suivante qui traduit les figures 2, 3, 4 et 5 :

c'est-à-dire que la suite des secteurs variables et complémentaires l'un de l'autre dans l'unité du cercle est la suivante : aigu et rentrant — droit et rentrant — obtus et rentrant — plein-cintre et plein-cintre — rentrant et obtus — rentrant et droit — rentrant et aigu. Cette suite est donc symétrique de chaque côté de la somme demi-cercle et demicercle. Cest pour cela que nous n'avons en réalité que les figures 2, 3 et 4, qui soient distinctes; ces trois figures sont variables, et comprises entre les figures invariables! et 5; les trois autres sont symétriques aux figures 2, 3 et 4, et par conséquent les mêmes.

— Au point de vue de la théorie des grandeurs qui constitue une partie importante, sinon, et pratiquement, la plus importante du système général des sciences mathématiques pures et appliquées, l'angle est considéré comme une grandeur homogène et continue, et dont, par conséquent, les parties, les multiples et les différences sont de même nature. A ce point de vue, la suite précédente serait indéfinie et, si l'on désigne par la lettre A l'angle des deux rayons, on aurait les notations suivantes :

A = 0, A < 1 dr., A = 1 dr., A > 1 dr., A = 2 dr., A > 2 dr., A = 3 dr., A > 3 dr., A = 4 dr., A > 4 dr., A = 5 dr., A > 5 dr., A =

6 dr A ^ n droits.

Mais, au point de vue de la graphique ou de la théorie élémentaire des figures, et dans la géométrie du plan, cette extension de l'idée

24 Prolégomènes

d'angle considéré comme une grandeur conlinue el indéfinie n'a pas de sens; car nous n'y rencontrons jamais que l'angle compris sous une figure, c'est-à-dire sous Tarticulation de deux traits, ou la rencontre de deux alignements.

Au point de vue métrique ou de la métrologie pratique, qui fait usage du rapporteur ou du graphomètre pour la mesure des angles, on rapporte la mesure des angles à la mesure des arcs de cercle pris sur une circonférence préalablement divisée : en 360 degrés, par exemple, puis chacun des degrés divisé en 60 minutes, chaque minute en 60 secondes, et ainsi de suite. Dans ce cas, la circonférence entière valant 360^, le demi-cercle en vaudra 180 et le quartier ou Tangle droit 90; Tangle aigu sera une fraction de l'angle droit, et l'angle obtus une fraction de deux angles droits, ou bien encore sera équivalent à un angle droit plus une fraction d'angle droit.

Au point de vue graphique, qui est indépendant et même exclusif de tout calcul, sinon comme aide indirecte et tout à fait accidentelle, nous n'aurons à considérer que la grandeur des angles en fonction de l'angle droit et exprimée en nombres rationnels, c'est-à-dire entiers ou fractionnaires. Par exemple l'angle du triangle régulier équilatéral et équiangle sera exprimé par j d'angle droit ; l'angle de l'hexagone par - ; celui du pentagone par -; celui de Theptagone par ~ d'angle droit; et ainsi de suite.

I 3. — Les partitions du plan polaire.

Si, par le Point, pôle ou centre du Plan polaire et du cercle, on fait passer successivement une, deux, trois. . . n lignes droites ou diamètres, lasurface du Plan polaire et celle du cercle se trouveront partagées simul-* tanément, savoir: par une droite et pour le Plan polaire en deux demiplans égaux, et pour le cercle en deux demi-cercles égaux (fig. 1) ; — ^

Ch. I:AtU II — Plan et Point

par deux droites obliques Tune à l'autre ou passées en sautoir ^ et pour le Plan polaire en quatre angle-plans appariés et égaux deux à deux, pour le cercle en quatre secteurs appariés et égaux deux à deux (fig. 2) ;

si les droites sont d'équerre ou passées en croix^ le Plan polaire se trouvera partagé en quatre angles-plans rectangles égaux ou en quatre quartiers, et le cercle en quatre secteurs ou quadrants égaux (fig. 3) ; — ^ par trois droites on aurait six angles-plans égaux pour le Plan polaire et pour le cercle six girons égaux (fig. 4) ou inégaux et appariés deux à deux (fig. 5) ; — par quatre droites on aurait huit angles-plans, secteurs ou girons égaux (fig. 6) ou inégaux et appariés deux à deux; — et ainsi de suite.

En général, n droites passant par le pôle ou centre partagent le Plan polaire ou le cercle en ^ x ^ angles-plans, secteurs ou girons égaux ou inégaux. Dans tous les cas et quel que soit le nombre n des droites, toutes ces partitions sont symétriques, par rapport au centre si les divisions sont égales ou inégales, et simultanément par rapport à des axes

si les divisions sont égales. Le nombre des axes de symétrie est en général de 2 n : la figure ) est écartelée ou à deux axes de symétrie passés en croix, l'un selon la droite de partition, l'autre transversal et d'équerre ou perpendiculaire au premier; la figure 2 est écartelée; la figure 3 cstgironnée ou à quatre axes de symétrie; la figure 4 est sénaire ou à six axes de symétrie; la figure 5 est diagonale ou à un centre de symétrie seulement ; la figure 6 est octoénaire ou à huit axes de symétrie, quatre passant par les droites et quatre bissectant les angles ou girons ; et ainsi de suite.

Trois demi-lignes droites ou trois rayons irradiés du centre à la circonférence partagent le Plan polaire ou le cercle en trois angles-plans^ secteurs ou girons. Suivant la distribution des rayons ou leur écartement réciproque, les angles qu'ils font entre eux, chacun suivant son espèce, se composent diversement. Suivant donc que les secteurs sont selon un angle aigu, un angle droit ou bien un angle obtus ou un angle rentrant et qu'ils sont égaux ou inégaux et variés, on a douze figures difiérentes.

Dans la figure 1 on a deux angles aigus inégaux et un angle rentrant, la figure est impaire ou asymétrique ; la figure 2 a les angles aigus égaux et un angle rentrant, elle est paire ou symétrique. La figure 3 a un angle aigu, un angle droit et un angle rentrant ; la figure 4 a un angle aigu, un angle obtus et un angle rentrant; la figure 5 a un angle aigu, un angle obtus et un demi-cercle ; ces trois figures sont impaires ou asymétriques. La figure 6 a un angle aigu et deux angles obtus égaux, elle est paire. La figure? a deux angles droits et un demi-cercle, elle est paire. La figure 8 a un angle droit et deux angles obtus inégaux, elle est impaire. La figure 9 a un angle droit et deux angles obtus égaux, elle est paire. La figure 10 a un angle aigu, mais voisin de l'angle droit, et deux

Ck, /, Art. II — Plan et Point

angles obtus inégaux, elle est impaire. La figure 11 a un angle obtus, mais voisin d'un angle droit, et deux angles obtus égaux, elle est paire.

sf

Il »>

La figure 12, enQn^a ses trois secteurs obtusangles et égaux ; la figure est triplement paire, c'est-à-dire ternaire, car elle a trois axes do symétrie qui s'entrecroisent régulièrement par le centre. Les figures 5 et 7 sont formées par une ligne droite entière et une demi-ligne droite. Les dix autres figures sont formées de trois demi-lignes droites articulées en un même point, c'est-à-dire au centre du plan polaire ou du cercle.

Quatre rayons irradiant du centre à la circonférence partagent le Plan polaire ou le cercle en quatre angles-plans, secteurs ou girons. De la distribution des demi-lignes droites ou des rayons résultent de nombreu-

Prolégomènes

ses figures; nous n'en doonerons quo quelques-unes choisies parmi les plus régulières et les plus caractéristiques.

Dans la figure i on a trois girons égaux et un angle rentrant, l'enscmble est pair. La figure 2 a deux girons aigus égaux et deux secteurs obtus égaux; la figure 3 a un giron aigu, deux secteurs ou girons également aigus et un demi-cercle ; la figure 4 a un secteur obtus, deux girons aigus et un denti-cercle; la figure 5 a ses trois girons aigus

égaux; les quatre figures 2 à 5 sont paires, et elles se composent par leurs rayons d'une ligne droite entière et de deux demi-lignes droites. La figure 6, qui est paire, a trois secteurs aigus et un secteur obtus. La iigure 7, qui est paireioent paire ou écartelée, a deux secteurs obtus égaux et deux girons aigus égaux; elle est composée, par ses rayons qui sont deux à deux dans un même alignement, de deux lignes droites passées en sautoir.

En résumé, avec un rayon le cercle est simplement ouvert; avec deux rayons, la partition absolue est le cercle mi-parti ou divisé en deux demi-cercles; avec trois rayons, la partition absolue, ou la forme la plus régulière, est quand les trois secteurs sont égaux; avec quatre ravons, la forme absolue est quand les quatre secteurs ou quartiers sont égaux; la symétrie est alors gjronnée. Le nombre des rayons

Ck. /, cArt. Il — Plan et Point 29

augmentant, on aurait pour 5, 6, 7.... n rayons, respectivement 5, 6, 7... w secteurs ou girons égaux.

Pour la figure totale, elle serait paire avec un seul rayon et paire aussi pour toute la suite des rayons pris en nombres impairs et premiers. Pour toute la suite des nombres multiples de trois par un nombre impair elle serait également paire, mais aussi ternaire, nonaire, etc. Pour le nombre quatre et ses multiples pairs, elle serait écartelée, gironnée, octoénaire, etc. Enfin pour le nombre quatre et ses multiples par un nombre impair, elle serait aussi écartelée, mais de plus ternaire, quinaire, septénaire, etc.. En général la figure totale a deux |

sortes d'axes de symétrie, ceux qui passent par les rayons, et ceux qui passent en les bissectant par les angles-plans, secteurs ou girons. Les figures seulement paires, ou dont le* nombre des rayons est impair, ont leur axe de symétrie passante la fois par le rayon et par le secteur opposé.

I 4. — Les partitions simultanées du Plan polaire et du Cercle.