VA
Si Ton considère la Droite comme une simple directrice, graphiée alors par une liffne blanche^ — c'est-à-dire par une ligne tracée au crayon, par exemple, ou une ligne tracée à l'encre, mais pointillée, — un seul point y sera envisagé comme une figure mobile et pouvant se déplacer indéfiniment dans un sens ou dans l'autre (fig. 3). En décomposant le mouvement continu de translation du point, on en rendra les stations successives distinctes, et la suite de ces positions successives.
Ch, /, cArt. I — Droite et "Point 13
plus ou moins rapprochées ou éloignées Tune de l'autre et à des intervalles égaux ou inégaux, déterminera une suite de points tous alignés sur la même directrice. De même le couple de deux points rendus solidaires Tun de l'autre par la distance fixe qui les sépare, et le segment fini, tous deux considérés comme invariables, se déplaceront sur la directrice à l'égal du point (fig. 4 et 5).
Si le trait graphique de la Droite était interrompu dans la portion finie, ou que les deux demi -lignes droites de la figure 1 fussent écartées Pune de l'autre, de manière que l'intervalle fût comblé par une ligne blanche ou ponctuée, l'ensemble (fig. 6) paraîtrait alors composé de deux demi-lignes droites séparées l'une de l'autre par un intervalle vide. De même pour la figure 2, si Ton séparait les trois parties de la Droite divisée par deux points, on aurait un ensemble disjoint (fig. 7) déterminé alors par un complexe de quatre points sur la Droite.
Trois points. — Trois points partagent la Droite en deux segments «
finis et deux demi-lignes droites indéfinies; ou bien, ce qui revient au même, un troisième point pris sur le segment fini d'une Droite divisée par deux points le partage en deux autres segments égaux ou inégaux.
Dans le premier cas, le point intermédiaire est également distant des *^
deux autres et se confond avec le centre de symétrie de l'ensemble qui V
est alors symétrique et /?aer (fig. 8). Dans le second cas, le troisième
point étant à inégales distances des deux premiers (fig. 9), l'ensemble est
asymétrique et impair, et le troisième point devient le centre de simi-
litude des segments de la Droite. Les deux segments de la droite finie,
quelle que soit leur proportion relative, sont toujours semblables entre
14 Prolégomènes
eux et chacun d'eux séparément est semblable au segment tout entier. Ainsi se trouvent établis pour la géométrie tout entière et le fondement premier de la symétrie et le fondement premier de la similitude, d'une importance capitale pour la théorie des Ggures aussi bien géométriques que graphiques.
Quatre points. — Quatre points partagent la Droite en trois segments finis et deux demi-lignes droites indéfinies. Les trois segments pouvant être égaux et uniformes, ou inégaux et variés, leur proportion relative donne lieu à huit combinaisons, savoir :
fO
iS
1» Les trois segments égaux ; l'ensemble est pair et symétrique (Gg. 10);
2» Deux segments égaux, le troisième plus grand et à la suite; l'ensemble est asymétrique et impair (fig. H);
C/r. /, cArt. I — Droite et T'oint 15
3^ Deux segments égaux, le troisième plus petit et à la suite ; l'ensemble est impair et asymétrique (fig. 12)';
4^ Deux segments égaux, le troisième plus grand et au milieu ; l'ensemble est pair et symétrique (fîg. 13);
S"" Deux segments égaux, le troisième plus petit et au milieu; l'ensemble est pair et symétrique (fig. 14);
6'' Les trois segments inégaux, se suivant dans leur ordre de grandeur ou déclinés; l'ensemble (fig. 15) est impair ou asymétrique et régulier ou irrégulier. L'ensemble est régulier si la déclination est régulière, c*est-à-dire si le plus grand segment est au segment médian, comme celui-ci est au segment le plus petit ; en d'autres termes, si la proportion ou, ce qui revient au même, le rapport de similitude est le même pour chacun des groupes de segments. Dans ce cas, la proportion est continue et le segment médian est dit moyen proportionnel entre les deux autres;
7* Des trois segments inégaux, le plus petit est placé au milieu; l'ensemble (fig. 16), impair et asymétrique, est irrégulier ou régulier. L'ensemble est régulier si l'on compte quatre segments, à savoir : les trois segments finis, le segment total qui est leur somme, et que ces quatre segments forment une proportion telle que le plus grand segment soit au plus petit comme le segment moyen est au segment total. Dans ce cas purement géométrique, les quatre points sont dits harmoniques;
%" Des trois segments inégaux, le plus grand est au milieu des deux autres (fig. 17); l'ensemble, impair et asymétrique, est irrégulier ou régulier. L'ensemble est régulier si les quatre points sont harmoniques, comme dans le cas précédent, la disposition seule, c'est-à-dire l'ordre des segments, étant changée.
N — Points. — 1, 2,3,4, 5...n, points, n étant un nombre quelconque de la suite ordinaire des chiffres, partagent la ligne droite en 2, 3, 4, 5... n + * segments, dont 0, 1, 2, 3... n — 1 segments finis et deux demi-lignes droites indéfinies. Le complexe de la Droite et des n points distribués sur elle s'appelle une ponctuelle.
16 Prolégomènes
En général, n points étant alignés sur la Droite peuvent être distribués ou répartis de deux manières. La première est quand les intervalles entre les points sont tous égaux, Tenscmble est alors uniforme, régulier et symétrique (fig. 18). La seconde (fîg. 19) est quand les inter-
valles entre les points vont régulièrement en croissant dans un sens et, réciproquement, en décroissant dans l'autre; dans ce cas, si la progression de grandeur des intervalles suit une loi régulière, l'ensemble est encore régulier, mais asymétrique, et, pour un nombre fini de points, n'occupe plus qu'une demi-ligne droite. Cette déclination régulière fait que les points se serrent de plus en plus d'un côté et réciproquement s'écartent de plus en plus de l'autre, c'est-à-dire que, dans ce cas, l'ensemble prend un sens : d'un côté la suite des points devient de plus en plus dense et tend à une fin actuelle; de l'autre, au contraire, la suite se raréfie de plus en plus, et tend également à une fin actuelle ; à cause que l'attention se fatigue à parcourir simultanément soit des intervalles de plus en plus petits, soit des intervalles de plus en plus grands.
D'après cela, il faut distinguer deux formes de ponctuelles régulières, savoir : les ponctuelles uniformes ou d'égale division et les ponctuelles déclinées ou d'égale proportion. Les ponctuelles uniformes sont toutes semblables et varient seulement avec l'échelle de la figure, c'est-à-dire avec la grandeur métrique de l'intervalle initial. Les ponctuelles uniformes sont toutes différentes et varient avec le rapport de deux intervalles consécutifs ; ce rapport est indéfiniment variable, et les mathématiques pures et appliquées en fournissent une multitude d'exemples. Afin de bien préciser la notion de déclination continue et régulière nous prendrons comme illustration les exemples suivants:
Ck. /, cArt. I-- Droite et T'oint 17
Dans la figure 20, les segments successifs suivent la progression
-, -, g-j -jr ^' Cette progression indéfinie a pour somme Tunité,
c'est-à-dire que la moitié, plus le quart, plus le huitième..., etc., d'un segment fini pris pour unité, reproduit l'unité choisie.
lu
Dans la figure 21, les segments successifs suivent la progression ■^> :rj ^» ;:7 :r- et la somme de tous ses termes en nombre infini est
égale à l'unité.
Dans la figure 22, les segments successifs suivent la progression
r» TTJ 71 -> ^z:: »- et la somme est éerale à Tunité. En suivant la
même marche pour tous les nombres successifs, pris deux à deux, de la série ordinaire des chiffres, on obtiendrait une suite de ponctuelles à déclination accélérée d'une ponctuelle à l'autre. La formule générale de
cette suite de progressions serait oùmeln représentent un chiffre
quelconque de la suite ordinaire des chiffres. Quand on a assigné à n un chiffre quelconque on obtient le rapport qui détermine la progression, puis, en donnante m les valeurs successives i, 2; 3.... //i, on obtient autantde termes qu'on voudra de la même progression. Par exemple en
prenant pour n le chiffre 4, on aurait le rapport ~, et donnant à m successivement les valeurs : 1, 2, 3... m on aurait la suite -, ~, -—■,
— -- — , dont la somme est égale àl'unité.
18 Prolé^omènea
— Au point de vue graphique une ponctuelle oeut s'interpréter soit
comme une rangée de points (fig. 23); soit comme une rangée de segments contigus (fig. 24), soit en6n comme une rangée de segments distincts et séparés les uns des autres par des intervalles (6g. 25). On a alors des rangées de points ou de droites finies, et ce sont en effet les seules figures que comporte la Droite, qui devient alors une simple directrice de la suite des points ou de la suite des droites, ou bien encore de leur mélange. Le point de vue delà graphique, d'où les choses sont vues et senties, est donc bien différent de celui de la géométrie d'où les mêmes choses sont conçues abstraitement et interprétées par la raison spéculative.
