DROITE ET POINT

Nous pouvons considérer le Point par rapport à la Droite, ou la Droite par rapport au Point. Dans le premier cas, la Droite est fixe et le Point mobile; dans le second cas, c'est le Point qui reste fixe et la Droite que est mobile. De toute manière le complexe do la Droite et du Point est une figure paire et symétrique par rapport à un axe qui passe par le Point et est perpendiculaire à la Droite.

I 1^'. — La Droite fixe et le Point mobile.

Tout d*abord et comme d'instinct, parce que nous avons naturellement le sentiment de la plus courte distance, du chemin le plus direct, nous conduisons par le Point une perpendiculaire à la Droite. Puis» mesurant la distance du Point au pied de la perpendiculaire, nous en avons la grandeur métrique. Par conséquent, et pour ce qui est de la distance du Point à la Droite, nous la connaissons parfaitement. Mais, cette distance étant la même pour tous les points d'une droite parallèle à la Droite fixe, \di situation ou le lieu du Point restent indéterminés.

Pour préciser cette relation, il est nécessaire d'introduire un moyen terme. Or, puisque une Droite est déterminée par deux points, si nous prenons effectivement deux points sur la Droite, la relation du Point avec ces deux derniers établira d'une manière fixe et invariable la relation métrique et graphique du Point avec la Droite.

Prenons d'abord un seul point auxiliaire sur la Droite, et faisons

Ch. /, Art. 7 — Droite et Point 61

passer par ce point auxiliaire et le Point donné'unc ligne droite : les deux points déterminent une distance et les deux droites un angle ; si donc nous connaissions cet angle et la distance des deux points, la ' situation du Point par rapport à la Droite^serait entièrement déterminée. Si nous prenons maintenant un second point sur la droite, et que nous fassions passer une seconde ligne droite par le Point et ce nouveau point, nous aurons alors un complexe de trois points, de trois droites, de trois angles, et de trois distances, c'est-à-dire, un triangle complet. A ne considérer que les trois distances, la situation du Point sera donc entièrement déterminée. Enfin le Point serait encore déterminé si, par le Point et Droite, on faisait passer le trait carré. De là les trois procédés suivants: