POINT ET POINT

Le point situé dans le plan tout nu est dit en aôime, scion Texpression énergique du Blason; il en occupe le centre ou le milieu : centre ou nnilieu purement fictifs, c'cst-à-rlire que Tétcndue du plan étant infiniment grande, le lieu qu'il occupe est complètement indéterminé.

Si le point est situé dans le plan réglé ou mi-parti, il est alors pris ou sur la droite même de division, ou dans Tun des deux demi-plans qu'elle détermine et en dehors de la droite.

Le point étant pris dans le plan carré est situé ou à Tcncroix du trait carré, ou bien sur Tune des branches, ou bien enfin sur la surface de l'un des quartiers ou angles-plans.

Le point étant pris dans le plan polaire est situé : soit au centre ou pôle, soit entre le p(Me et la circonférence d'un cercle quelconque, soit sur la circonférence, soit enfin au delà de la circonférence.

Tels sont les bases initiales et fondamentales du repérage d'un point dans le plan. Si maintenant nous prenons un second point dans le plan centré, ces deux points impliquent un alignement, c'est-à-dire une droite qui les contient riin et l'autre. Si le premier point est considéré .comme fixe et le second comme mobile, ce second point sera déterminé à tout instant par la cote métrique de sa distance au point fixe. Nous ne sortons pas ainsi de la droite, mais cette droite, qui contient les deux points, peut occuper toutes les directions du plan en tournant autour du point fixe et censé demeurer invariable. La situation du second point, si elle reste déterminée par rapport au point fixe, sera donc encore indéterminée dans le plan. De là la subordination du couple de deux points aux trois repérages signalés ci-dessus : la subordination par rapport au plan miparti, au plan carré et au plan polaire. Le couple de deux points comme la droite d'alignement seront entièrement déterminés par les systèmes

44 Prolégomènes

de coordonnées, rectangulaires, polaires, focales, etc., dérivés des trois repérages fondamentaux et qui sont usités en mathématiques.

§ 1®'. — Les complexes de points dans le plan carré et les partitions

du plan triangulaire.

Si au couple de deux points on adjoint un troisième point situé hors de leur alignement, ces trois points pris deux à deux déterminent trois ah'gnements, c'est-à-dire trois droites qui s'entrecoupent deux à deux par chacun des trois points, et qui forment ce qu'on appelle en géométrie générale un triangle complet y c'est-à-dire un complexe simultané de trois points et de trois droites s'entrecoupant deux à deux en ces rnèmes points.

Le triangle complet (fig. 1) partage la surface du plan en sept régions : 1*» une centrale et finie (a) formée parles trois segments finis, ou le triangle proprement dit tel qu'on le considère dans la géométrie élémentaire; — 2^ trois angles-plans (A) opposés aux sommets du triangle

et dont les côtés sont formés par des demi-lignes droites; \ ^ — 3° enfin trois espaces tron-

qués ou biangles (c) adjacents * ••.. • ^ ^' ^ aux côtés du triangle (a) et

^**- . ^ *^ ^ contigus, c'est-à-dire unis aux

\ côtés des angles-plans (A); ces

^ * 'V biangles sont donc formés

\ ' • ., par les segments finis et les

\ ^ •••., demi-lignes droites qui sont

leurs côtés.

Si par un couple de deux points et par leur centre de symétrie ou le

point milieu de l'intervalle qui les sépare, on fait passer le trait carré,

on partagera la surface du plan en quatre quartiers égaux et symétriques.

Si donc à cet ensemble on adjoint un troisième point, ce troisième point

Ch. /, cAri. IV— "Point et Point 45

pourra être situé : 1° sur Taxe longitudinal du couple, les trois points seront alors dans le mémo alignement et il n'y aura pas de triangle; 2"* sur Tune des branches du Irait carré, dans le demi-plan supérieur par exemple, il aura alors son symétrique sur la branche correspondante du demi-plan inférieur; il nous suffira donc de considérer un seul de ces demi-plans; 3"" dans l'angle plan d*un quartier du irait carré, il aura alors son symétrique dans chacun des trois autres quartiers; il nous suffira donc de considérer un seul quartier, et nous prendrons le quartier supérieur de droite par exemple. En résumé, nous avons deux cas seulement à examiner.

Le troisième point étant situé sur la branche supérieure du trait carré et dans le demi-plan supérieur (fîg. 2 à 7), si Ton vient à tracer les alignements des points pris deux à deux, on a le irangle complet, et nommément la maille intérieure finie ou le triangle proprement dit qui règle tout le système. Les deux lignes droites obliques, l'uue en barre et l'autre en bande, sont égales et symétriques par rapport à la verticale du trait carré, et cela dans toutes leurs parties ; les deux traits du triangle sont donc aussi égaux et symétriques «el le triangle est dit isocèle. De plus les deux angles à la base sont aussi égaux et symétriques, et par conséquent le triangle en même temps qu'il estisocèle est aussi isoangle, La branche verticale du trait carré est l'axe de symétrie de toute la figure et si l'on rabat l'un des demi-plans sur l'autre les deux moitiés de la figure coïncideront dans toutes leurs parties.

Suivant que le troisième point est plus ou moins rapproché du trait horizontal ou de la directrice des deux premiers points, on a des triangles plus ou moins méplats ou surbaissés. A mesure que le troisième point est pris plus haut et indéfiniment haut, on a des triangles de plus en plus élevés et aigus. Entre les limites extrêmes du déplacement du troisième point, à savoir le point placé entre les deux autres et sur leur

Prolégomènes

alignement, alors que les trois traits sont confondus en un seul et que par conséquent tout triangle s'efface, et le point reculé à Tinfini et où tout triangle s'évanouit puisque les doux traits, d'abord obliques et croisés en sautoir, deviennent alors parallèles et d'équerre avec la ligne des

deux premiers points, on distingue: les triangles isocèles obtusangles, méplats et surbaissés quand le trait oblique est couché (fîg. 2) ; le triangle isocèle rectangle quand le trait oblique est diagonal (fig. 3); enfin la suite indéfinie des triangles isocèles acutangles aigus ou surélevés quand le trait oblique est penché (fig. 4 à 7). Entre tous ces triangles acutangles, il faut noter la forme 0(|uilatéraIe et é(|uiangle (lîg. 3).

Le troisième point est situé en un lieu quelconque de la surface de Tangleplan rectangle ou du quartier et par conséquent entre les branches du trait carré. Dans ce cas, et quel que soit le lieu du point, on a des triangles scalènes, dont la maille a les trois côtés et les trois angles inégaux et qui peut être ohtusangle, rectangle ou acutangle, suivant son angle caractéristique.

Si, revenant au point de départ, à savoir: les deux points initiaux et le trait carré qui passe par le milieu de leur distance, on marque un

■• % to • „«

Ch. fy cAri. IV ^ Point et Point 47

point quelconque sur la brandie verticale, à ce point correspond un triangle isocèle, dont la 6ase est Tintervalle des deux premiers points,

le sommet ce troisième point, et la hauteur la distance du sommet à la base. Or si Ton mène par le sommet une ligne parallèle à la ligne de base, on observera que tous les points de cette parallèle, étant situés à même distance de la ligne de base, sont les sommets d'une infinité de triangles ayant même base et même hauteur, ces triangles tous scalènes, à l'exception du premier qui est isocèle, sont ou acutangles, ou rectangles, ou obtusangles.

Quanta la proportion entre la hauteur et la base pour les triangles isocèles et qui reste la môme pour les triangles scalènes qui en dérivent, c'est-à-dire qui ont même base et même hauteur que le triangle isocèle initial, on peut remarquer : que pour les triangles obtusangles la hauteur est plus petite que la moitié de la base ; que pour les triangles rectangles la hauteur est égale à la moitié de la base; et enfin que pour les triangles acutangles, la Jiauteur est plus grande que la moitié de la base ou égale à la base entière, ou enfin plus grande et môme indéfiniment plus grande que la base.

Si l'on joint l'encroix du trait carré ou le milieu de la base au troisième point ou au sommet du triangle, on a une droite oblique en barre ou oblique en bande suivant le quartier choisi, et penchée, diagonale ou couchée : cette droite oblique est la ?nédîane du triangle (fig. 9 à 13). La médiane du triangle isocèle qui est d'équerre avec la base est la hauteur du troisième point ou sommet par rapport à la base, elle est aussi Taxe de symétrie de toutes les parties homologues de la figure (fîp. 9 et 12). La médiane du triangle scalène qui est oblique à la base

^Prolégomènes

est Taxe de symétrie des seuls points homologues, c'esl-à-dire des points correspondants ou homologues déterminés par des parallèles à la base,

à l'exclusion des segments obliques compris entre ces points et qui sont toujours inégaux d'une oblique à l'autre. Le triangle scalène n'est donc plus symétrique et pair, mais dyssymétrique et impair (fig. 10, 11, 13). Le triangle scalène peut être considéré comme un triangle isocèle que Ton aurait biaisé ou déversé d'un côté ou de l'autre de la verticale du trait carré et qui de pair serait devenu impair, ce qui entraîne l'inégalité métrique de toutes les parties homologues. La hauteur, c'est-àdire la perpendiculaire du sommet à la base, se trouve transportée hors du point milieu de la base et à l'intérieur ou à l'extérieur du triangle.

|2. — Les complexes de points dans le plan polaire .

Soit un cercle effectivement tracé sur la surface du plan avec le compas. Si Ton suppose que des points, disséminés sur la surface du plan tout entier et plus ou moins denses ou serrés, c'est-à-dire plus ou moins nombreux et même indéfînimcnt nombreux, sont répartis uniformément et régulièrement sur toute la surface du plan, le cercle effectivement tracé les partagera en trois groupes, savoir : 1» — la masse des points intérieurs compris entre le centre ou le pôle, qui est un point unique, et la circonférence ou périphérie du cercle ; 2° — les points extérieurs à la circonférence et qui s'épandent autour d'elle dans toute l'étendue

Ch. l,<Art. IV — Point et Point 49

du plaa indéfini ; 3® — et enfin les points rangés sur la circonférence et qui sont tous situés à même distance du point unique qui est tout à la fois et le centre du cercle et le pôle du Plan polaire tout entier.

L'espace enclos ou délimite par la circonférence est l'espace circulaire positif ou le cercle proprement dit, image du plan polaire tout entier, et dont la notion complexe implique les idéee de point, do centre ou do pôle; d'espace ou d'étendue superficielle ou planaire limitée par sa périphérie ou son contour ; de ligne circulaire ou de circonférence à courbure uniforme; et enfin de rayons, de diamètres et de cordes qui joignent le centre à la circonférence, ou bien les points de la circonférence entre eux à l'exclusion du centre.

Un point et le pôle. — Étant donné le plan polaire avec son point fixe ou son pôle, si Ton prend un second point, on quelque lieu du plan que ce soit, ce second point, qui porte alors le nom de point polaire^ sera toujours sous la dépendance du pôle. Le pôle et le point impliquent une ligne droite qui est V axe polaire et sur laquelle le point est fixé par sa distance au pôle. Le point se déplaçant tout à Tentour du pôle et par un mouvement circulaire ou de rotation de Taxe polaire, il s'ensuit que, si la distance entre le pôle et le rayon polaire reste constante, le point polaire décrit une ligne circulaire ou la circonférence de cercle, qui prend alors le nom de cerclepolaire (fig. 1).

Deux points et le pôle, — Le couple de deux points rapportés au pôle détermine un axe polaire ou une droite polaire selon que le pôle est sur la droite des deux points, ou qu'il est en dehors. Le pôle étant pris en dehors de l'alignement des deux points ou de la droite polaire, si l'on mène une perpendiculaire du pôle à la droite, on aura l'axe polaire ; si du pôle on trace un cercle en prenant pour rayon la distance du

Prolégomènes

pôle au pied de la perpendiculaire, on aura le cercle polaire qiiî est langent à la droite polaire ou brièvement la polaire. Le complexe du

p(Me, de Taxe polaire, du cercle polaire et de la polaire constitue ce qu'on peut appeler le st/stème polaire nonnal,

io — Le pôle est situé sur l'alignement des deux points; dans ce cas, le pôle peut être situé entre les deux points, ou bien en dehors des deux points.

Le pôle étant situé au milieu des deux points, leur couple peut se déplacer circulairemcnt avec Taxe polaire et le lieu de ses positions successives est une circonférence (fig. 2). Si le pôle est situé à des distances inégales, le couple des deux points en se déplaçant circulairemcnt a pour lieu de ses positions successives deux circonférences concentriques ((ig. 3). Le pôle élant situé hors du couple des deux points, le lieu de leur déplacement circulaire se compose également de deux circonférences concenlri(jues (fig. 4).

Ch, /, cArl, IV — Point et Point SI

2"" — Le pôle est situé hors do ralignemerit des deux points et sur une perpendiculaire qui passe par le milieu do l'intervalle de deux points (fig. 5). Dans ce cas, comnne d'ailleurs dans le suivant, on a le système polaire complet. La droite d'alignement du couple des deux pointu est la polaire, la circonférence qui lui est tangente est le cercle polaire, la droite perpendiculaire est Taxe polaire. L'intervalle des deux points et les deux rayons polaires qui les joignent au pôle forment un triangle polaire invariable.

Le couple des deux points se déplaçant tout a l'entour du pôle, la droite polaire et le triangle polaire se déplacent simultanément; la droite polaire reste toujours tangente au cercle polaire et le lieu du couple des deux points est une nouvelle circonférence concentrique et extérieure au cercle polaire. Les positions successives de la polaire forment un complexe de tangentes qui enveloppent complètement le cercle polaire.

A mesure que le pôle s'éloigne do la polaire, l'angle des rayons polaires devient de plus en plus aigu, et solidairement les circonférences deviennent de plus en plus grandes. A la limite, c'est-à-dire le pôle s'éloignant à l'infini, le triangle polaire s'eflace, les rayons polaires deviennent parallèles et les deux circonférences se confondent avec la

Prolégomènes

droite polaire. A mesure, au contraire, que le pôle se rapproche de la droite polaire, le triangle devient de plus en plus obtusangle ou méplat, et solidairement les circonférences diminuent à proportion. A la limite, c'est-à-dire le pôle étant sur la droite polaire et au milieu de Tintervalle des deux points, le cercle polaire s'évanouit en se réduisant à un point, et le cercle concentrique ou le lieu des deux points devient. le cercle polaire de ces mêmes points.

3« — Si Pon suppose que le couple des deux points demeurant invariable se déplace par un mouvement de translation le long de la droite d'alignement ou de la polaire, le pôle, Taxe polaire, le cercle polaire, et la droite polaire demeurant fixes, il en résultera : que l'un des points du couple se rapprochant de l'axe polaire et l'autre s'en éloignant à proportion, on aura deux rayons polaires inégaux et par suite deux cercles concentriques et extérieurs au cercle polaire; que Tun des points se trouvant sur Taxe polaire et l'antre en dehors, on aura un seule circonférence concentrique et extérieure au cercle polaire; enfin que sile couple des deux points s'éloigne de plus en plus de l'axe on aura de nouveau deux circonférences de plus en plus grandes et concentriques et extérieures au cercle polaire. Si le couple s'éloigne jusqu'à l'infini, les circonférences s'évanouissent et les deux rayons polaires se confondent en une droite menée par le pôle et parallèle à la polaire.

Trois points et le pôle. — Trois points déterminent trois alignements ou trois droites qui, en s'entrecoupant deux à deux, subdivisent le plan en sept régions : trois angulaires, trois biangulaires, et une triangulaire. Il revient au même de placer le triangle complet dans le plan polaire, ou d'emplacer le pôle arbitrairement choisi dans l'une des sept régions qu'il implique; si donc nous prenons ce dernier parti, nous aurons six relations possibles du pôle avec le triangle complet : 1® le pôle dans un biangle; 2** le pôle dans un angle; 3* le pôle sur l'une des demi-droites;

CA. /, zArt. IV - Point et Point 53

4" le pôle sur un des côtés du triangle; 5® le pôle sur un sommet ; 6<> enfin, le pôle dans l'intérieur du triangle. Suivant que les rayons polaires, c'est-à-dire les distances du pôle à chacun des points, seront toutes les

trois inégales, ou deux égales et la troisième plus grande ou plus petite, ou enfin égales, on aura trois, deux ou une circonférence passant par les trois points et dont le pôle commun sera le centre.

Le pôle étant situé dans Tun des biangles (fig. 1) ou dans l'un des angles (fig. 2), les trois rayons polaires sont libres et distincts.

Si le pôle est sur l'une des demi-droites^ deux des rayons polaires sont unis ou se confondent avec la droite choisie, le troisième reste libre et distinct (fig. 3).

Le pôle étant pris sur l'un des côtés du triangle et entre les deux points que ce côté implique, soit au milieu (fig. 4), soit à inégales distances (fig. 5), on a deux rayons unis et confondus avec le côté choisi

64 Prolégomènes

et un rayon distinct. Enfin si Je pôle est l'un des trois points (fig. 6), on n'a plus que deux rayons, et Ton rentre dans le cas de deux points et un pôle.

Les figures 1 à 6 impliquent trois, deux ou une circonférences circonscrites aux trois points suivant Tcspoce et suivant que les rayons polaires sont inégaux ou égaux.

Si Ton isole le triangle fermé do rensomble du triangle complet pour le considérer dans sa relation descriptive avec le pôle, on remarquera : que, dans la figure 1, les trois points sont situés cliacnn sur un rayon polaire, et que la pointe du triangle est opposée au pôle ; que, dans la figure 2, les trois points sont également situés un à un sur les trois rayons polaires, mais que la pointe du triangle est tournée vers le pôle; enfin que, dans la figure 3, un des côtés du triangle et par conséquent deux des points sont situés sur un même rayon polaire et que le troisième point est sur le rayon libre : la position du Iriangle par rapport au pôle est donc intermédiaire entre les figures 1 et 2.

Supposons maintenant le pôle à Tintérieur de la maille ou du triangle fermé et situé en un point quelconque de sa surface.

Si le pôle est pris à vue dans le triangle de telle manière que les trois rayons polaires qui le joignent aux points soient inégaux, on aura trois cercles concentriques et sur lesquels le triangle demeurant invariable s'appuie constamment dans son mouvement de rotation autour du pôle (fig. 7). Si deux des rayons polaires étaient égaux, ce que Ton obtient

Ch. /, (Art. IV — Point et Point 55

aisément en prenant le pôle sur une perpendiculaire élevée par le milieu do Tun des côtés, on n'aurait plus que doux cercles concentriques sur lesquels s appuie constamment le triangle invariable en tournant autour du pôle, doux des points s'appuient sur un mt*me cercle, et le troisième sur le cercle concentrique (fig. 8). Enfin, si Ton élève une perpendiculaire par le milieu d'un second côté, son point de rencontre avec la première et par suite avec la perpendiculaire élevée sur le milieu du troisième côté, détermine un pôle unique, le pôle propre de la figure de trois points; les trois rayons polaires sont égaux et les trois points sont situés sur un cercle unique (fig. 9). Nous en conclurons ces propositions de géométrie élémentaire entre tant d'autres bien connues : trois points non situés en ligne droite déterminent une circonférence et une seule; tout triangle est inscriptible dans une circonférence, etc..

Celte manière impérative et symbolique d'exprimer de simples faits de graphique qui relèvent de l'intuition des sens et do l'imagination de l'esprit, permet, en les incorporant au langage, de les transporter dans la région de la science, c'est-à-dire de l'organisation rationnelle de la connaissance. La faculté discursive et logique de la raison venant à s'exercer sur ces données premières, il en résulte l'appareil tout scolastique de l'explication scientifique et delà démonstration en forme, et finalement l'exposition doctrinale ou didactique de la géométrie. C'est ainsi qu'en disant que le pôle propre du groupe triangulaire de trois points se trouve à rintersection des trois perpendiculaires élevées sur le milieu des côtés on formule implicitement ce théorème : Les perpendiculaires éle^ vées sur le milieu des côtés d*un triangle se coupent en un seul et même point. Puis le théorème formulé on en fournit la démonstration et cela Constitue un exercice de logique qui a ses lois et sa rigueur propres, nous n'avons donc pas à y insister ici. D'ailleurs, et quelle que soit cette démonstration, si l'on s'avise de demander où tombe le point en question, force sera bien de recourir à l'expérience directe, si Ton ne veut pas recourir à l'expérience acquise, c'cst-à dire indirecte, et qui, s'étant

Prolégomènes

amassée par provision dans Jos livres ou dans la mémoire, s'y trouve logiquement organisée par la coordination scolasLique.

Pour le triangle obtusangle (fig. 10), la figure se trouve toute d'un côte du pôle qui est alors situé en dehors du groupe de trois points. Et

en effet, répond la géométrie, le triangle a son angle caractéristique inscrit dans un arc moindre que la demi-circonférence. Si le triangle est reclangle (fig. HJ, le pôle se trouve situé sur le grand côté ou Thypoténuse. Enfin si le triangle est acutangle (fig. 12 et 13), le pôle est à rintérieur des trois points. La disposition absolument régulière des trois points est quand le triangle qu'ils impliquent est à la fois équiangle et équilatéral ; dans ce cas, les trois axes de symétrie du triangle se coupent par le pôle (fig. 13). Si dans les ligur;:s 10 à 13 les deux côtés de l'angle caractéristique étaient égaux, on aurait des triangles isocèles.

Les trois points rassemblés près à près sous un arc très petit et à peine discernable ont pour limite en dessous la figure 14 où les trois points sont confondus en un seul et les trois côtés du triangle confondus en une seule tangente, le triangle est alors infiniment petit. Si le triangle, quoique encore très petit, devient perceptible, les trois côtés sont alors distincts ainsi que les trois rayons polaires. Le point du milieu restant fixe, si l'on suppose que les deux autres s'en écartent également et de plus en plus, on aura la suite dos figures 15 à 24 et finalement la figure 25 où deux des côtés se confondent avec Taxe de la figure et le troisième qui lui est perpendiculaire devient tangent au cercle. Dans la figure 18, où les trois points embrassent un demi-cercle, deuxdes rayons polaires sont dans un même alignement qui est le diamètre du cercle.

Ch. /, (Art. IV — Point et Point

Les trois points étant séparés par des arcs égaux on a la figure 20 ou le triangle équilatéral do symétrie ternaire. Dans la suite des figures 21 à

Zf ,'"

24, l'angle devient de plus en plus aigu, les deux côtés symétriques se rapprochent de plus en plus Tun de l'autre et finalement se confondent en un seul (fig. 25). Tous ces triangles sont isocèles et la figure est paire, seule la figure 20 est triplement paire ou de symétrie ternaire.

Si maintenant, et pour chacune des phases précédentes de la génération des triangles isocèles, on vient à considérer la base ab comme fixe pondant que le sommet c se déplace sur la circonférence en passant de en 6 ou symétriquement de c en a, on engendrera une infinité de triangles scalènes pour chacun des trianges isocèles et qui auront comme lui-même base et même angle au sommet.

Tout étant symétrique de part et d'autre de Taxe de symétrie c de de la figure, il nous suffira de considérer la suite des triangles

scalènes d'un seul côté, de c en A par exemple. Prenant donc un point quelconque c' sur l'arc cb, il nous faut montrer (démontrer, comme disent les géomètres) que l'angle ac'6 est égal à l'angle ac6. Or, si

Ton joint le point c' au centre p du cercle, on a constamment les triangles acp, et c'bp qui sont isocèles, par conséquent les angles à la base sont égaux et par suite la somme deces angles toujours complémentaire à quatre angles droits d'un même angle fixe apb ; donc angle ac'b et égal à angle acb. De ce simple fait de commutation des angles il résulte encore que angle cac' est constamment égal à angle c'b Cy et que, puisque leur somme est égale à angle au centre cp&, chacun d'eux a pour mesure la moitié de l'arc cc\ qui est la mesure de l'angle au centre, par conséquent encore tous les angles c a c' inscrits dans l'arc cadbc ont même mesure, la moitié de l'arc complémentaire ce'. De là ce théorème de la géométrie: tous les angles iriscrits dans un même segmeiit sont égaux et ont pour mesure la moitié de Farc sous-tendu, et ses conséquences, que montrent les figures 26 à 28, c'est-à-dire: si le segment est plus petit que la moitié de la circonférence, ou égal ou plus grand, respectivement l'angle inscrit sera obtus, droit ou aigu. Nous noterons particulièrement, à cause de son utilité dans la graphique, que tous les angles inscrits dans un demi-** cercle sont droits (fig. 27).

Pourtoute la suite des triangles scalènes ainsi engendrés, les hauteurs ou. les distances perpendiculaires du sommet à la base vont en déclinant depuis le triangle isocèle initial jusqu'au terme zéro, quand le sommet

CA. I, Art. IV— Point et Point 59

c est en Â ou en a et que les côtés de l'angle au sommet se confondent alors avec la base aô.

Quatre points et le pôle. — Un quatrième point pris hors du groupe de trois points, et en dehors de l'alignement de ces points pris deux à deux, et puisque trois points impliquent un cercle, se trouvera nécessairementsiluéouà rintérieur du cercle(fig. 29),ou àrextérieur(flg.31), ou enfin sur la circonférence (fig. 30). Dans ce dernier cas, le groupe des quatre points est dit inscriptible; dans tousles autres cas, il est dit

^ . if

non-inscriptible; en d'autres termes, les quatre points n'ont pas de pôle commun ou ils en ont un ; ou bien encore le groupe de quatre points est inscrit dans une seule circonférence, ou bien il est inscrit dans deux circonférences concentriques. Si Touprenait les quatre points au hasard, et un point de- centre quelconque, il arrivera nécessairement ou bien que ces quatre points seront sur quatre circonférences concentriques ou bien sur trois, ou sur deux ou sur une seule. Dans tous ces cas, les

Prolégomènes

rayons p(»laires seront inégaux ou bien inégalement égaux^ ou enGn égaux.

Le groupe des quatre points tous situés sur le cercle polaire peut avoir son pôle propre, en dehors (Qg. 32), sur un des côtés (fig. 33), ou en dedans (fîg. 30).