XI

Nous nous en tiendrons ici à ces seuls exemples; plus de développements nous entraîneraient dans les voies spéciales de la géométrie générale. Pourtant, et pour rentrer dans notre sujet, à savoir la graphique, il ne sera pas inutile de revenir brièvement sur nos pas. Partant de la droite, on peut concevoir qu'elle se dédouble en une jumelle, ou bien en un sautoir; si donc, dans la suite des figures déterminées par les intersections successives, d'abord d'une droite avec une droite, puis d'une troisième droite avec les deux premières, d'une quatrième avec

les trois premières d'une n^ avec les n-l premières, génération qui

obéit à une loi quelconque, on remplace successivement par une jumelle ou un sautoir chacun des traits composants, on aura une nouvelle série distincte de la première, mais qui, en étant dérivée régulièrement, obéira elle-même aune loi définie, et ainsi de suite. D'autre part, la droite, la jumelle et le sautoir, le triangle complet et le quadrilatère complet, sont comme autant de types, auxquels on ramènerait facilement la suite des figures d'un nombre de traits supérieur à quatre, par exemple, le pentagone, l'hexagone, Pheptagone.... en général, les /2-gones, ou /i-latères.

1^6 Prolégomènes

I 3. — Les figures de n-cercles.

Les figures de points impliquent des figures de droites, et réciproquement les figures de droites impliquent des figures de points. Dans le premier cas, les droites sont virtuelles et marquent tous les alignements possibles des points; dans le second cas, les droites sont actuelles et impliquent des points parleurs croisements. Or,si par les points quelconques comme centres on vient à tracer des cercles quelconques, les points seront les centres de cercles, les segments de droites seront des diamètres ou des cordes, et les droites, en général, par rapport à ces cercles seront des sécantes ou des tangentes. De plus, les cercles en nombre quelconque et les uns par rapport aux autres sont disjoints ou distincts, se touchent ou sont tangents, s'interscctent ou se coupent, ou bien enfin sont concentriques. Tout cela résulte des relations descriptives que le point, la droite et le cercle peuvent avoir entre eux, relations indéfiniment multipliées et qui,, au point de vue graphique comme au point de vue géométrique, donnent lieu à une infinité de figures et de théorèmes qui les racontent et les formulent.

La ligne droite et le cercle sont véritablement le fond et le Iréfond de toute géométrie comme de toute graphique et leur énonciation formelle constitue le point de départ aussi bien des spéculations delà géométrie que des constructions graphiques ouvrières. « La ligne droite et le cercle ont pour caractère commun l'uniformité de leur cours en vertu do laquelle chaque portion peut se superposer à l'autre » Dans une ligne droite déterminée, toutes les parties qui peuvent être en nombre aussi grand que Ton voudra sont homogènes à la droite entière et obéissent à la même loi, l'unité d'alignement de ces parties. Dans le cercle, toutes les parties qui peuvent être en nombre aussi grand que l'on voudra sont homogènes au cercle entier et obéissent à la même loi, à savoir, l'unité du centre, qui commande à toutes les parties comme à la ligne entière.

Ch. II. (Art. W, § 3 — Les figures de N-Cercles 117

Deux droites limitées et dislinctcs sont semblables, et ne diffèrent entre elles que par leur majoration ou leur minoration, c'est à-dire par la proportion de leur dimension. Deux cercles distincts sont semblables et ne diffèrent entre eux que par leur majoration ou leur minoration, c'est-à-dire par la proportion de leur dimension. La dimension de la droite finie c'est la droite elle-même, la dimension du cercle est son diamètre ou, ce qui revient au méme^ la moitié de ce diamètre ou son rayon.

Si, sur deux droites inégales, nous construisons la même figure, ces deux figures seront inégales mais semblables et le rapport ou la proportion de Inurs parties homologues seront les mêmes que ceux des droites initiales. Si donc sur ces dcuxdroites inégales nous construisons deux cercles, ces deux cercles seront semblables et ils auront toutes leurs parties homologues dans le même rapport que les deux droites initiales. La corrélation de la droite et du cercle dans un même rapport de similitude est donc ce qui importe avant tout, et une fois établie tout le reste s'ensuit. Et d'abord nous avons vu que les seules figures sur la ligne droite considéréecomme support étaient le point etla droite et nous avons appelé ponctuelle l'ensemble des n points situes sur elle; par analogie, l'ensemble des n points distribués sur une circonférence constitue une ponctuelle circulaire. Les ponctuelles linéaires comme les ponctuelles circulaires sont dites d'égale division, quandles distances, ouïes segments de droite qui se suivent sont égaux, ou bien pour le cercle quand les segments de circonférences ou les arcs qui se suivent sont égaux.

Prenant deux segments sur une même droite, ces deux segments sont disjoints ou écartés l'un de l'autre, ou bien contigus, ou bien enfin superposés en partie (fig. 1 à 6).

Dans la figure 1, les deux traits égaux sont écartés l'un de l'autre d'une grandeur quelconque, leur centre de symétrie c est au milieu de l'intervalle, et toutes les parties égales se correspondent à droite et à gauche par rapport à ce point milieu. Si sur chacun des traits comme

Prolégomènes

diamètre on décrit une circonférence on à la figure 2, qui correspond point pour point à la figure 1 ; ces deux figures, l'une rectilinéairo (fig. 1), l'autre planaire (fig. 2), sont la projection Tune de l'autre. Ces deux figures sont écartelées, c'est-à-dire réparties également dans les quatre quartiers du trait carré qui passe par le centre de symétrie c. La symétrie des points homologues est directe par rapport à chacun des axes» et inverse par rapport au centre. La symétrie écartelée est en même temps diagonale.

Dans la figure 3, les traits sont contigus, et dans la figure 4, qui lui correspond, les cercles sont tangents. Dans la figure 5» les traits sont

Ch. II, Art. K/, S 3 — Les figures de N-Cercles

superposés on partie, et dans la figure 6 qui lui correspond les cercles s'entrecoupent.

Dans les figures 2, 4 et 6, le diamètre peut occuper toutes les directions ; deux de ces diamètres étant pris homologues, c'cst-à-dirc leurs extrémités étant symétriques par rapport au centre c, sont parallèles d'un cercle à l'autre, et antiparallèlcs ou contrariés s'ils sont pris dans un même cercle.

Si les droites initiales sont inégales, les cercles correspondants seront aussi inégaux et Pon a les figures 7 à 12, qui comportent deux centres

• Il

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.éC

de similitude : l'un direct d et l'autre inverse c. Dans ce cas, on dit que les deux droites et les deux cercles sont homothétiques, c'est-à-dire

Prolégomènes

semblables el semblablemcnt placés. Par rapport au centre de similitude inverse, les figures sont homothétiques inverses et par rapport au centre do similitude direct les figures sont homothétiques directes. Les deux centres de similitude, projetés sur une même droite, sont dits conjugués harmoniques et réciproques l'un de l'autre. Us divisent harmoniquement la droite qui relie les centres des doux cercles, comme les centres des deux droites, c'est-à-dire que les deux segments additifs sont proportionnels aux deux segments soustractifs. Quand les droites et les cercles sont égaux le centre de similitude inverse est au milieu de la ligne des centres et le centre de similitude direct est à l'infini.

Soient deux droites AC, CB rapprochées l'une de l'autre par leur extrémité C (fig. 13), qui devient ainsi leur centre de similitude. Si l'on

relève parallèlement en A et en B respectivement les deux traits AC et BC par rapport à leur directrice commune, les lignes droites qui joignent leurs extrémités se couperont en un même point D, qui est leur centre de similitude directe et l'on a la proportion AC: CB:: AD: DB. Si l'on relevait les deux traits AC et CB sur leur centre de figure, on aurait une figure semblable et moitié moindre dans toutes ses parties. La distance des centres ab se trouve partagée harmoniquement par les

Ch. II, zArt. VI, § j — [.es figures de N^Cercles

deux points c et d. Le sautoir II-II est commun aux deux systèmes; le sautoir T-F du système abcd correspond au sautoir I-I du système ÂBCD et lui est égal et parallèle.

Deux cercles égaux ou inégaux dans une situation quelconque sont homothétiques directs et homothétiques inverses, et les deux centres d'homothétie divisent harmoniquement la ligne des centres des deux cercles. Les tangentes communes extérieures passent parle centre d'homothétie directe et les tangentes communes intérieures passent par le centre d'homothétie inverse (Gg. 14 à 17). Quand les cercles sont tangents, leur point de contact est un centre d'homothétie : directe si les cercles alors inégaux sont intérieurs, et inverse si les cercles égaux ou inégaux sont extérieurs; dans ce dernier cas, les deux tangentes intérieures se réduisent à une seule^ perpendiculaire à la ligne des centres.

Toutes les phases successives de Taccouplement de deux cercles peuvent s'obtenir par leur rapprochement sur la ligne des centres qui peut être une ligne droite ou une ligne circulaire. Dans ce dernier cas, les centres des cercles initiaux étant situés simultanément sur la ligne circulaire et sur les rayons issus de son centre, il revient au même de

"Prolégomènes

les faire glisser sur la ligae circulaire, ou sur les rayons en les faisant se rapprocher de plus en plus du centre directeur. Mais il est encore un autre mode de génération continue de ces phases et qu'il nous faut faire connaître. Prenons, pour simplifier, deux cercles tangents extérieurs et traçons la ligne des centres, nous aurons ainsi la figure 18.

Supposons maintenant que, Tun des cercles restant fixe, l'autre se déplace par un mouvement de rotation autour du point de tangence» par exemple que, le cercle a restant fixe, le cercle b tourne autour du point c, son centre b se transportant successivement en tous les points d'une demi-circonférence décrite du point c avec un rayon égal à cb. Sî nous divisons ce demi-cercle en n parties égales, nous aurons n centres successifs, c'est-à-dire n phases intermédiaires entre les deux positions extrêmes (fig. 18 à 23).

En passant de la figure 18 à la figure 19 et suivantes, et à mesure du

Ch. Il, Art. F/, § 3 — Les figures de N-Cercles 123

mouvement du cercle mobile, la ligne des centres se dédouble pour chacun des cercles et les axes respectifs de a et de £ forment les sautoirs II-II et III-III qui ont en commun un axe de mèrae nom (c'est-àdire la nouvelle ligne des centres ab). La tangente d'abord commune I-I se dédouble pour chacun des cercles et l'on a deux sautoirs égaux I-I et

V'T dont les sommets sont aux deux points d'intersection des cercles. Ces sautoirs en se coupant mutuellement déterminent un quadrilatère qui a ses cotés perpendiculaires au quadrilatère acbc\ Les côtés de ces sautoirs sont les tangentes des arcs en lesquels sont partagés les cercles initiaux par suite de leur intersection mutuelle. Nous pourrions j étendre indéfiniment la description des conséquences qui résultent de la métamorphose de la figure 18 en la figure 19 et suivantes, mais, et puisqu'il faut se borner, nous nous contenterons d'en indiquer la marche. Libre au lecteur studieux de s'y appliquer davantage, pour, en exerçant sa pénétration d'esprit, étendre simultanément son éducation graphique.

Le rayon c6 étant incliné parallèlement à la tangente menée par le sommet du grand cercle au petit cercle de centre c^ il s'ensuit (fig. 20) un sautoir d'équerre l'-l' dont les côtés forment avec les droites c6 et c'A une maille carrée. A partir de cette position et le petit cercle ayant tourné d'un angle droit on a la figure 21 , qui est réciproque à la figure 20. D'une figure à l'autre les droites do même nom sont parallèles, et le cercle b est retourné symétriquement par rapport à Taxe cc\

Le rayon cb étant perpendiculaire à la ligne des centres initiale, on a la figure 22 qui a ses tangentes en croix, et par suite les deux cercles a et A sont orthogonaux, c'est-à-dire que les circonférences se coupent à angle droit. Les deux sautoirs réciproques II-II et l-I sont égaux et contrariés d'équerre. Le quadrilatère acbc a deux angles droits et par conséquent il est inscriptible, c'est-à-dire qu'une même circonférence réunit ses quatre sommets, etc.

Dans la figure 23, le centre b du petit cercle est sur la circonférence

T^rolégomènes

du grand cercle, il s'ensuit que le sommet du sautoir IMI est aussi sur la circonférence du grand cercle, et que son angle aigu est égal à la moitié de l'angle aigu du sautoir I-I, lequel est égal à l'angle au centre cac\ etc.

Dans la figure 24, ayant mené une tangente commune aux deux cercles

a et c, la ligne ce se trouve déterminée et par suite le rayon bc du cercle ô. Les tangentes des points d'intersections forment deux sautoirs I-II et I-II qui ont deux de leurs côtés parallèles, de telle manière que l'ensemble des tangentes forme une figure composée d'une jumelle II-II et d'un sautoir I-I.

Enfin, le cercle mobile ayant son centre sur la ligne des centres on a la figure 25, qui se compose de deux cercles tangents intérieurs ayant

Ch. Il, Art. VI, % y — Les figures de M-Cercles li5

une tangente commune. Les deux diamètres perpendiculaires à la ligne des centres sont redevenus parallèles.

Ces quelques exemples suffiront au lecteur studieux qui pourra à son gré en augmenter le nombre, et notamment graphier les figures réciproques, comme nous l'avons indique (fig. 20 et 21); puis examiner les phases équivalentes de doux cercles égaux, et enfin ce qu'il advient quand les deux cercles inégaux ont une proportion ou un rapport définis.

Dans les figures précédentes (Rg. 18 à 25), nous pouvons remarquer que les diamètres, d'abord parallèles et perpendiculaires à la ligne des centres, et par conséquent situés respectivement sur les côtés d'une jumelle (fig. 18), deviennent obliques l'un par rapport à l'autre et par conséquent situés sur les côtés d'un sautoir (fig. 19 à 21); puis perpendiculaires et situés alors sur les côtés d'un sautoir rectangle; puis de nouveau obliques l'un à l'autre (fig. 23 et 24), pour enfin redevenir parallèles et perpendiculaires à la ligne des centres (fig. 25).

Quand les diamètres sont parallèles, il est aisé de déterminer, comme nous l'avons vu, leurs centres de similitude, qui sont situés sur la ligne des centres; mais, s'ils sont contrariés^ leurs centres de similitude se trouvent en dehors de la ligne des centres, et il nous faut apprendre à les déterminer. Dire que deux traits sont contrariés c'est exprimer qu'ils ne se trouvent situés respectivement ni sur une même ligne droite, c'està-dire sur un même alignement, ni sur une jumelle, c'est-à-dire sur deux alignements parallèles. Or, ne se trouvant situés ni sur une même droite ni sur deux droites parallèles, ils sont nécessairement situés sur un sautoir, c'est-à-dire sur deux lignes droites qui se croisent ou deux alignements contrariés. Ne pouvant examiner ici, parle menu, les relations descriptives de deux traits qui ont pour support ou pour réceptable une ligne droite, une jumelle, un sautoir, ou un cercle dont ces traits sont alors des cordes, nous nous en tiendrons pour le sautoir, aux seuls cas où les traits disjoints, aboutos ou entrecroisés, sont inclinés l'un par

Prolégomènes

rapport à l'autre sous les trois espèces d'angles: Tangle obtus, l'angle droit et l'angle aigu .

Donnons-nous un sautoir déterminé sur les côtés duquel nous prendrons deux segments inégaux quelconques et situés d'une manière quelconque l'un par rapport à l'autre ou, ce qui revient au même, par rapport au sommet, nous aurons ainsi une figure tout à fait arbitraire et par la proportion des traits et par la proportion de leurs distances au sommet. Nous aurons pai; exemple la figure 26, cotte figure telle quelle sera notre point de départ. Plus généralement encore, nous pouvons considérer deux traits pris au hasard, mais qui ne sont ni sur une même ligne droite, ni sur les côtés d'une jumelle, et tracer le sautoir qu'ils impliquent.

^,-- ~.Vc

Si nous désignons par les lettres a et ^, a' et b\ les extrémités respectives des deux traits par rapport au sommet du sautoir, ces deux traits seront de même sens (fig. 26) ou de sens contraire (fig. 27). Cela posé, si, par le sommet c du sautoir et les points homologues a et a\ b et U des traits, nous faisons passer deux circonférences, ces circonférences se couperont en deux points c et o qui sont symétriques par rapport à la ligne des centres pq. Le point/? est équidistantdes points a, a',c, et q

Ch. II, Art. Vl,%3 — Les figures de N-Cercles 127

est équidîstant des points 6, b\ c. On démontre aisément que les trois angles des triangles oba^ of/a' sont égaux; il s'ensuit que ces triangles ont les côtés proportionnels et par conséquent sont semblables. C'est le théorème de Thaïes. Si donc on fait tourner oéV autour de o jusqu'à ce que ob' s'applique sur oô, o'a' sur oa, le troisième côté b' a' sera parallèle à ba, donc o est bien le centre de similitude. Les rayons homologues de similitude et en général deux traits homologues quelconques sont inclinés sous un même angle de rotation aoa\ Les deux angles do rotation des figures réciproques (fig. 26 et 27) sont supplémentaires l'un de l'autre ou pris ensemble font deux angles droits.

Dans les figures réciproques 28 et 29, l'un des traits est abouté au sommet du sautoir.

Dans les figures réciproques 30 et 31 les deux traits sont aboutés au sommet du sautoir et forment ensemble un chevron acutangle impair. Dans la figure 30 le cercle q est infiniment petit et les cinq points A, b\ y, c et se confondent en un seul.

Dans 32 et 33, l'un des traits branche sur l'autre en un point qui divise ce dernier en deux segments inégaux.

Dans 34 et 35 le traitai branche sur le milieu de a'b*; à cause de cela les figures quoique impaires sont dyssymétriques.

Dans 36 et 37 mêmes branchements que dans 32 et 33, mais avec inversion dans les segments et dans les angles.

Dans 38 et 39 enfin, on a un chevron obtusangle, impair et dyssymétrique, supplémentaire à deux droits du chevron acutangle (fig.30 et 31).

Si, à partir du chevron acutangle (fig. 30),on fait mouvoir et parallèlement à lui-même le trait a'6' sur ab on obtient la suite des figures 40 à 45 et finalement un chevron obtusangle.

Si les traits s'entrecroisent on a la suite des figures 46 à 57. Le couple (fig. 52 et 53) est simplement branché. Les couples 48 et 49, 54 et 55

sont impairs mais dyssymétriques à cause que l'un des traits est partagé par l'autre en deux parties égales.

ti-S-

Le couple (fig. oS et 57) est de symétrie diagonale, les deux traits en

Ch, IIj tArt. VIflj — Les figures de N-Cercles

s'entrecroisant s'entrecoupent mutuellement en deux parties égales. C'est la phase la plus régulière de toute la suite.

-, if

^lé'

Les alignements des deux traits étant rectangulaires ou, ce qui

Prolégomènes

revient au même, les deux traits ayant pour support un sautoir rectangle, on à la suite des figures 58 à 79.

Les figures 58 et 59 ont les traits disjoints.

Ch. Il Art. Vljly — Les figures de N-Cercles

Les figures 60 et 61 ont les traits disjoints, maïs Textrémité de Tiin des traits est au sommet du sautoir.

Dans les figures 62 et 63 les deux traits sont articulés bout à bout et forment un chevron rectangle et impair.

Prolégomènes