LES MATHEMATIQUES

— (( Sousio nom collectif de Matuëmatiques, on désigne un systàmede connaissances scientifiques étroitement liées les unes auxautres, fondées sur des notions qui se trouvent dans tous les esprits, portant sur des vérités rigoureuses que la raison est capable de découvrir sans le secours de l'expérience et qui néanmoins peuvent toujours se confirmer par l'expérience dans les limites d'approximation que l'expérience comporte. Par là les mathématiques réunissent au caractère do sciences rationnelles celui de sciences positives, dans le sens que le langage moderne donne à ce mot.

« On démontre en arithmétique que le produit de plusieurs nombres ne change pasj dans quelque ordre qu'on les multiplie : or, rien de plus facile que de vérifier en toute rigueur cette proposition générale sur tant d'exemples qu'on voudra, et d'en avoir ainsi une confirmation expérimentale. On démontre en géométrie que la somme des trois angles d'un triangle vaut deux angles droits : c'est ce qu'on peut vérifier en mesurcmt avec un rapporteur les trois angles d'un triangle tracé sur le papier, en mesurant avec un graphomètre les trois angles d'un triangle tracé sur le terrain, et en faisant la somme* La vérification ne sera pas absolument rigoureuse, parce que la mesure d'une grandeur continue comporte toujours de petites erreurs : mais on s'assurera, en multipliant les vérifications, que les diflférences sont tantôt dans un sens, tantôt dans l'autre, et qu'elles ont tous les caractères d^erreurs fortuites. On n'établit pas d'une autre manière les lois expérimentales de la physique^

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« Au contraire la jurisprudence qui est une science rationnelle comme les mathématiques, n'est pas pour cela une science positive. Après que les jurisconsultes ont établi que la combinaison des règles de l'interprétation juridique conduit à telle solution, on ne voit pas quelle pourrait être Texpérience qui donnerait à ce résultat du raisonnement une conGrmation positive. L'expérience qui consisterait à faire voir que, là où la solution contraire a prévalu, elle a produit tels ou tels inconvénients susceptibles d'être constatés, est une expérience d'un autre genre : elle peut soutenir ou combattre une solution juridique dans l'intérêt do l'utilité publique, non dans l'intérêt de la justesse du raisonnement.

« La logique aristotélicienne, à cause de sa nature purement formelle, comporte bien, comme les mathématiques, une sorte "de vérification expérimentale. Je prouve par des raisons théoriques que telle forme de syllogisme n'est pas concluante, et j'appuie ma preuve en prenant pour exemple un syllogisme de cette forme dont l'ineptie saute aux yeux do ceux-mêmes qui ne pourraient expliquer en quoi la forme pèche. Ce genre de vérifications est pourtant bien borné en 'comparaison des vérifications expérimentales que ïes mathématiques comportent, précisément parce que la syllogistique, comme science d'application, est très stérile en comparaison des mathématiques.

«Grâce àce double caractère que nulle autre science ne présente, les mathématiques ainsi appuyées sur l'une et l'autre base de la connaissance humaine s'imposent irrésistiblement aux esprits les plus pratiques, comme aux génies les plus spéculatifs. Elles justifient le nom qu'elles portent et qui indique les sciences par excellence, les sciences éminentes entre toutes les autres par la rigueur des théories, l'iriiportance de la sûreté des applications. »

— <r Le nom môme de mathématiques dénote assez que les Grecs, qui les ont inventées et qui par là ont jeté les fondements des sciences, les regardaient Qomm^Xdi science ou comme la doctrine par excellence; et de fait, leurs plus anciennes écoles de philosophie étaient des écoles de ma-

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thématiques, au propre sens du mot, où d'austères cénobites enseignaient l'arithmélique telle qu'ils la concevaient, la géométrie telle que nous la comprenons encore, avec la pensée qu'ils mettaient ainsi leurs disciples sur la voie de l'interprétation des énigmes de la nature. Quelquefois, dit-on, ces cénobites sortaient de leurs studieuses retraites pour donner à leurs compatriotes des constitutions et des lois; mais des expériences beaucoup plus récontes semblent avoir montré qu'il vaut encore mieux que les professeurs de mathématiques se bornent à enseigner les mathématiques.

— « Chose remarquable! les mathématiques, sciences exactes par excellence, sont du nombre de celles où il y a le plus do vague et d'indécision dans la classiGcation des parties, où la plupart des termes qui l'expriment se prennent tantôt dans un sens plus large, tantôt dans un sons plus rétréci, selon le contexte du discours et les idées propres à chaque auteur, sans qu'on soit parvenu à en fixer nettement et rigoureusement l'acception dans une langue commune Le vague de la

langue accuse souvent l'imperfection de notre connaissance de l'objet et alors la langue se corrige par le progrès de nos connaissances; mais il accuse le plussouvent encorel'impossibilitéabsolued'oxprimeravecles signes du langage, en leur conservant toujours la même valeur fixe, des rapports dont nous ne disposons pas, et qui admettent malgré nous des modifications continues. C'est ce qui arrive à l'égard des termes employés pour diviser en compartiments le domaine des mathématiques.

(( Quand même ou pourrait imaginer de tels compartiments bien délimités, il faudrait que la classification offrit l'exacte traduction des rapports que ces compartiments auraient entre eux; et c'est ce que la nature des choses rend encore impossible. Par la forme même du langage, nos idées s'enchaînent dans le discours suivant l'ordre que

les géomètres qualifient de linéaire ( parce qu'on peut en donner

une représentation sensible au moyen d'une suite de points disposés sur une ligne indéfiniment prolongée, de part et d'autre d'une origine

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arbitraire); et comme il n'arrive que très accidentellement qu'un tel ordre corresponde, même grossièrement, à Tordre réel des choses, tel que la pensée le conçoit, on a recours àl'artifice de tableaux synoptiques, sorte de construction géométrique à deux dimensions, moyen bien insuffisant encore, auquel il est évident qu'on substituerait souvent avec avantage une construction géométrique à trois dimensions si Ton avait des moyens commodes de la réaliser physiquement. Mais, plus fréquemment encore» l'espace, avec ses trois dimensions, ne suffirait pas pour nous donner une image sensible des rapports très multipliés, ou même infiniment multipliés, qu'ont entre elles les diverses parties d'un système, objet de l'intuition intellectuelle; et ceci s'observe notamment pour le système des mathématiques. La théorie des nombres relève de celle do l'ordre et des combinaisons; et, sous un autre aspect, le calcul des combinaisons est une application de l'arithmétique. Des faits d'arithmétique ont leur raison dans certaines lois de l'algèbre, et des faits d'algèbre ont leur raison dans certaines propriétés des nombres. Tous ces liens peuvent être partiellement et successivement indiqués; les systématiser synoptiquement ou les exprimer dans une classification, parait chose impossible.

*— a II n'est guère plus aisé de donner du système une définition proprement dite, uniquement tirée de la nature de l'objet, qu'il ne l'est de définir et de classer les diverses parties du système. Les mathématiques pures ont pour objet les idées de nombre, de grandeur, d'ordre et de combinaison, de chances, d'étendue, de situation, de figure, de ligne, de surface, d'inch'naison, et même les idées de temps et de forces, quoique, pour celles-ci, on ne puisse pousser bien loin la construction scientifique, sans recourir à des données de l'expérience. Toutes ces idées s'enchaînent et se combinent de diverses manières, et donnent lieu à des rapprochements, souvent très inattendus, commelorsqu'on voit figurer dans l'évaluation des chances de la reproduction d'un événement, le rapport de la circonférence du cercle à son diamètre. Mais ces idées

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ont-elles un caractère commun qui rende raison de leur association en un tout, et dont Tidée soit l'idée même des mathématiques prises dans leur ensemble? On n'a pas eu de peine à apercevoir que les lignes, les surfaces, les angles, les forces, etc., sont des grandeurs mesurables, et l'on en a tiré cette définition vulgaire, d'après laquelle les mathématiques sont les sciences qui traitent de la mesure ou des rapports des grandeurs; mais, avec un peu plus d'attention, on remarque qu'une foule de théorèmes sur les nombres (la plupart de ceux qui composent la théorie des nombres proprement dite) peuvent être conçus indépendamment de la propriété qu'ont les nombres de servir à la mesure des grandeurs; qu'une multitude de théorèmes de géométrie (ceux qui composent la géométrie descriptive proprement dite, par opposition à la géométrie dimensivé) seraient parfaitement intelligibles quand même on ne considérerait pas les lignes, les angles, etc., comme des grandeurs mesurables; que dans l'algèbre, enfin, les symboles algébriques peuvent souvent dépouiller toute valeur représentative de quantités réelles ou de grandeurs, sans que les formules cessent d'avoir une signification. De là une conception philosophique clairement exprimée par Descaries, queLeibuitzn'a point négligée etqu'en dernier lieu M. Poinsot a reproduite avec des développements très dignes de fixer l'attention des géomètres, conception d'après laquelle les spéculations mathématiques auraient pour caractère commun et essentiel de se rattacher à deux idées ou catégories fondamentales : l'idée d'oRDRE, sous laquelle on peut ranger, comme autant de variétés ou de modifications spécifiques, les idées de situation^ de configuration^ de forme et de combinaison; e( ridée de grandeur, qui implique celles de quantité^ de proportion et de fnesure.

« Mais nous ne nous proposons pas de faire de telles excursions dans la région des abstractions de la métaphysique, et si loin du terrain des sciences positives. En nous tenant à la distinction posée par Descartes, nous devons fixer l'attention sur un fait très digne de remarque, à

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savoir que, pour les applications aux phénomènes de la nature, les spéculations mathématiques dont l'importance est sans comparaison la plus grande sont certainemont celles qui portent sur la proportion ou la mesure des grandeurs; de sorte que la plupart des autres spéculations de mathématiques pures (et notamment celles qui ont pour objet ces propriétés des nombres dont nous avons tant parlé) sont avec raison à ce point de vue réputées de pure curiosité, et ne cessent de paraître telles que lorsque, pouvant faire avancer la théorie de la mesure des grandeurs, elles sont ou promettent d*ètre médiatement utiles à l'interprétation des phénomènes naturels.

c( Aussi, tandis que les philosophes, depuis Pythagore jusqu*à Kepler, avaient cherché vainement dans des idées d'ordre et d'harmonie, mystérieusement rattachées aux propriétés des nombres purs, l'explication des grands phénomènes cosmiques, la vraie physique a été fondée le jour où Galilée, rejetant des spéculations depuis si longtemps stériles, a conçu l'idée, non seulement d'interroger la nature par l'expérience, comme Bacon le proposait de son côté, mais de préciser la forme générale à donner aux expériences, en leur assignant pour objet immédiat la mesure de tout ce qui peut être mesurable dans les phénomènes naturels. Et pareille révolution a été faite en chimie un siècle et demi plus tard, lorsque Lavoisier s'est avisé de soumettre à la balance, c'est-à-dire à la mesure, des phénomènes dans lesquels on ne songeait généralement à étudier que ce par quoi ils se rattachent aux idées de combinaison et de forme. C'est cette même direction que l'on poursuit dans l'étude do phénomènes bien plus compliqués encore, quand on tâche de mesurer par la statistique tout ce qu'ils peuvent offrir de mesurable.

« Il faut reconnaître en même temps que dans les mathématiques, considérées comme un corps de doctrine abstraite, indépendamment de toute application aux lois des phénomènes physiques, les parties dont l'organisation logique a reçu le plus de perfection, celles qui ont été soumises aux méthodes les plus générales et les plus uniformes, et qui

Jjes malhématiques 53

fi nalement ont donné lieu à la construction d'une langue, répulée la plus parfaite de toutes, sont précisément celles qui concernent la grandeur ou la quantité: d'où il est résulté : 1® qu'on a imaginé, autant qu'on Ta pu, des méthodes pour ramener artificiellement à des problèmes qui portent directement sur Tordre, la situation ou la forme, et notamment les problèmes de géométrie descriptive à des problèmes de géométrie dimensive; 2^ qu'à défaut do telles méthodes les questions à résoudre ont exigé un surcroît de sagacité pour trouver la solution, ou pour démontrer simplement ce qui comportait en effet une démonstration simple, et ce qui n'avait été obtenu d'abord qu'à l'aide de considérations détournées. » — CouRNOT, De l'origine...

— « A quoi tient donc cette singulière prérogative des idées de nombre et de quantité? D'une part à ce que l'expression symbolique des nombres peut être systématisée de manière qu'avec un nombre limité de signes conventionnels (par exemple, dans notre numération écrite, avec dix caractères seulement) on ait la faculté d'exprimer tous les nombres possibles, et, par suite, toutes les grandeurs commensurables, avec celles qu'on aura prises pour unités; d'autre part, à ce que, bien qu'on ne puisse exprimer rigoureusement en nombres des grandeurs incommensurables, on a un procédé simple et régulier pour en donner une expression numérique aussi approchée que nos besoins le requièrent : d'où il suit que la continuité des grandeurs n'est pas un obstacle à ce qu'on les exprime toutes par des combinaisons de signes distincts en nombre limité, et à ce qu'on les soumette toutes par ce moyen aux opérations du calcul; l'erreur qui en résulte pouvant toujours être indéfiniment atténuée, ou n'ayant de limites que celles qu'apporte l'imperfection de nos sens à la rigoureuse détermination des données primordiales. La métrologie est la plus simple et la plus complète solution, mais seulement dans un cas singulier, d'un problème surlequel n'a cessé de travailler l'esprit humain : exprimer des qualités ou des rapports à

5i Inlroduclion générale

variations continues, à Taide de règles syntaxiques, applicables à un sysli ièrae de siernes individuels ou discontinus, et en nombre nécessairement

&i. limite, en vertu de la convention qui les institue. Les trois grandes inno-

■k vations qui ont successivement étendu, pour les modernes, le domaine du

f,; calcul, à savoir, le système de la numération décimale, la tliéorie des

courbes de Descartes, et l'algorithme infinitésimal deLeibnitz, ne sont, au fond, que trois grands pas faits dans l'art d'appliquer des signes conventionnels à l'expression des rapports mathématiques régis par la

|/ la loi de continuité.

1^ — « L'approximation méthodique et indéfinie du continu par le dis-

^\ continu n'est pas seulement possible quand il s'agit proprement de rap-

ry ports entre des grandeurs : elle s'adapte également bien aux rapports

de situation et do configuration dans l'espace qui d'ailleurs jouissent do la propriété de pouvoir être implicitement définis au moyen de relations entre des grandeurs. Ainsi, que Ton ait ou non égard à la longueur d'une courbe et à l'étendue de la surface qu'elle circonscrit, on en déterminera, avec une approximation illimitée, l'allure, les inflexions, les sinuosités (en un mot, tous les accidents qui tiennent directement à la forme et non à la grandeur), si l'on a des procédés rigoureux pour déterminer autant de points de la courbe qu'il plait d'eu choisir, et si ces points peuvent être indéfiniment rapprochés les uns des autres. A la vérité, lorsqu'on voudra relier par un trait continu ces points isolément déterminés, la main du dessinateur sera guidée par un sentiment de la continuité des formes, qui ne saurait se traduire en règles fixes, et qui ne comporte pas une analyse rigoureuse; ce sera une aflaire d'art et non de méthode : mais, plus les points de repère seront rapprochés, plus on resserrera les limites d'écart entre les dessins divers que diverses mains traceraient, selon qu'elles sont plus fermes et plus habiles, ou qu'elles obéissent à une intelligence douée d'une perception plus nette et plus sûre de la continuité des formes.

«Chacun connaîtle procédé pourcopier un dessin ou une image à deux

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dimensions, on en conservant ou on en changeant l'échelle. On décompose en carreaux correspondants la surface du modèle et celle qui doit recevoir la copie, et Ton copie carreau par carreau, do manière à resserrer les écarts possibles de la copie entre des limites d'autant plus rapprochées que les carreaux ont été plus multipliés, et à diminuer de plus en plus par cotte méthode la part laissée à Thabileté et au goût de l'artiste, à la netteté de ses perceptions et à la sûreté de sa main. Les praticiens statuaires ont un procédé analogue pour reproduire méthodiquement et mécaniquement en quelque sorte, sur le marbre^ le relief dont ils ont le modèle en terrre pétri de la main do l'artiste, en mettant, comme on dit, la figure au point : ce qui, bien entendu, ne dispense pas Tartiste de donner ensuite à son œuvre ces dernières touches savantes et à peine physiquement saisissables sur lesquelles la méthode n'a point de prise, et dont le génie seul a le secret.

(( Au fond, et quelque bizarre que ce rapprochement puisse sembler au premier coup d'œil, c'est sur un artifice analogue que roule constamment l'administration de la justice et des affaires. Des règles sont établies, des cadres sont tracés pour restreindre entre des limites plus ou moins étroites l'appréciation consciencieuse d*un expert, d'un arbitre, d'un juré, d'un jugo, d'un administrateur : appréciation rebelle à l'analyse et qui échappe par conséquent à un contrôle rigoureux. Mais, comme il ne s'agit plus ni de grandeur, ni d'étendue, ni, en un mot, de continuité quantitative, la nature des choses répugne à ce qu'on puisse organiser systématiquement un procédé de restriction progressive et indéfinie, et à ce qu'on puisse, à chaque pas fait dans un procédé de restriction systématique, se rendre un compte précis do l'approximation obtenue.

— (( Il est évident quo toute règle logique qui promet ou semble promettre en théorie une exactitude illimitée ne comporte qu'une exactitude bornée dans la pratique dès qu'elle exige pour être appliquée l'intervention de facultés ou l'emploi d'instruments auxquels ne compèto

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qu'une précision limitée. On peut se passerla fantaisiede pousser jusqu'à tel ordre de décimales que Ton veut le calcul du rapport de la diagonale d'un carré à son côté, ou celui du rapport de la circonférence d'un cercle à son diamètre. La règle pour ce calcul une fois trouvée, Tapplicalionenest, comme on dit, mécaniqiierce qui ne signifie pas précisément qu'un automate pourrait la faire, mais ce qui exprime plutôt que, la règle prescrivant une succession d'actes parfaitement distincts et déterminés, les agents qui l'exécutent peuvent se contrôler les uns les autres, de nianièreà donner la quasi-certitude de la justesse du résultat. Maintenant s'il s'agit, en vertu de cette règle, d'exprimer numériquement la longueur de la diagonale d*un carré dont on a mesuré le côté, comme la précision de la mesure est nécessairement bornée, puisqu'il y a nécessairement des bornes au perfectionnement des sens et des instruments mis en œuvre, il serait chimérique d'outrepasser, dans l'application du calcul ou de la règle logique, la limite de précision imposée à Topéralion de la mesure. Si l'on ne peut répondred'un décimètre sur la mesure de la longueur du côté, il serait déraisonnable de pousser le calcul de la diagonale jusqu'aux millimètres ou aux fractions de millimètre; et le défaut de précision des données, quand on arrive aux fractions de cet ordre, ôterait toute signification à la précision du calcul. Celte remarque doit paraître bien simple, et pourtant elle a été bien fréquemment perdue de vue dans les applications du calcul aux sciences physiques : sans égard à toutes les circonstances qui devaient influer sur la limite de précision des observations et des mesures souvent très compliquées, on a affecté dans les calculs ou dans certains détails d'expériences une précision illusoire, dont l'inconvénient n'est pas tant d'entraîner des soins et des travaux inutiles, que de^donner à l'esprit une fausse idée du résultat obtenu.

« Une illusion du même genre, beaucoup plus difficile à démêler et à détruire, peut nous tromper sur la portée et sur les résultats de ces règles administratives et judiciaires, par lesquelles on s'est proposé, non

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sans dû bons motifs, de limiter l'usage discrétionnaire de certains pouvoirs, la latitude arbitraire de certaines appréciations. Pour que la raison fût pleinement satisfaite d'un système de pareilles règles, il faudrait que l'arbitraire, repoussé par une porte (si l'on veut nous passer cette image triviale), ne rentrât point par l'autre; qu'en imposant d'une part des règles de procédure ou de comptabilité minutieuse, on ne laissât pas, d'autre part, au juge, dans l'appréciation do certains faits, au comptable dans la gestion de certaines affaires, une latitude qui détruit les garanties achetées par l'accomplissement de formalités gênantes et dispendieuses. En un mot, il faut se prémunir contre l'abus du formalisme en affaires^ aussi bien et parla même raison qu'il faut se prémunir contre l'abus du calcul en physique : parce qu'il y a des limites à la précision possible; parce que, dès qu*il s'agit de déterminations pratiques ou expérimentales, la règle ne serait qu'une forme vide, une lettre morte, sans l'intervention de forces émanées du principe de la vie, dont le développement continu se soustrait à la mesure, à la règle et au contrôle.

— « Si les géomètres ont pour artifice habituel de supposer d'abord une discontinuité fictive là où il y a réellement continuité, une fois que cet artifice les a mis en possession de règles pour mesurer le continu, ils ont assez fréquemment recours à l'artifice inverse, qui est de supposer, pour l'abréviation et la commodité des calculs, une continuité fictive là où il y a réellement discontinuité. Ils n'obtiennent ainsi qu'une approximation des vrais résultats, mais ils s'arrangent pour que l'approximation soit suffisante : tandis que le calcul rigoureux, quoique théoriquement possible, serait de fait impraticable, à cause de l'excessive longueur des opérations qu'il exigerait. Cet artifice des géomètres, utile surtout dansle calcul des chances et des probabilités mathématiques, ressemble au fond à ce qui se pratique tous les jours dans les circonstances les plus vulgaires. C'est ainsi qu'au lieu de compterdes graines on les mesure; le rapport des volumes,

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si les graines sont de même espèce, ne devant pas différer sensiblement du rapport entre les deux grands nombres qui exprimeraient (si Ton avait la patience de les compter) combien il y a de graines dans les volumes mesures. C'est encore ainsi que, dans les banques, on peso les sacs au lieu de compter les écus, quoique la valeur des écus,tant qu'ils ont cours de monnaie, se compte légalement à la pièce et ne se mesure pas au poids, ou soit indépendante des variations de poids d'une pièce à l'autre, pourvu que ces variations, continues de leur nature, ne dépassent pas les limites fixées par la loi.

« En général, si l'esprit humain est tenu, par son organisation et par la forme des instruments qu'il emploie, de substituer habituellement à la continuité inhérente aux choses une discontinuité artificielle, et en conséquence de marquer des degrés, de briser des lignes, de tracer des compartiments d'après desrègles artificielles et jusqu'à un certain point arbitraires, il y a Jieu aussi de pratiquer l'artifice inverse, d'opérer sur le discontinu comme il opérerait sur le continu, en s'afi'ranchissant des procédés systématiques et rigoureux dont l'application serait impossible, à cause du temps et du travail qu'elle exigerait. Ainsi, bien qu'on ait des procédés rigoureux pour mettre en perspective un objet susceptible d'être géométriquement défini dans toutes ses parties, comme une machine, une décoration architecturale, le dessinateur, le peintre, le décorateur de théâtre n'appliqueront ces procédés longs et pénibles qu'à quelques points principaux qui leur serviront de repères, et ils se fieront pour le reste à leur dextérité d'artiste. Ainsi, dans les jeux de société, on se détermine à chaque instant d'après des chances dont l'évaluation rigoureuse, sans être théoriquement impossible, serait de fait impraticable, à cause des immenses calculs qu'elle entraînerait, ou bien d'après des chances dont l'évaluation, sans exiger beaucoup de temps, en demanderait encore plus que les habitudes de la société et les usages du jeu ne permettent d'en accorder. Il faut alors que l'appréciation des chances se fasse instinctivement, spontanément, par une sorte de sens dont la

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finesse, provenant de Taplitude naturelle ou de l'exercice, constitue ce que Ton nomme Tcsprit du jeu, le lad, le coup-d'œil du joueur : et ceci ne s'applique pas seulement au jeu, mais au négoce, à la tactique guerrière, et à une foule d'aulres affaires où l'homme a besoin d'être éclairé par une inspiration soudaine, dans les choses mêmes qui ne seraient pas absolument rebelles de leur nature à une analyse exacte et à dos raisonnements rigoureux. » — Cournot, Essai..., t. 1(200) à (204).

— « Les idées de grandeur et de mesure sont si simples, elles donnent lieu à des constructions scienti(iquessiréguliferes,qu*elies semblent dominer les mathématiques tout entières, et que l'on définit vulgairement les mathématiques, la science ou les sciences qui ont pour objet la mesure des grandeurs. Il s'en faut cependant bien que cette définition soit exacte. L'Arithmétique supérieure, celle qui étudie les propriétés des nombres en eux-mêmes, n'a rien ou presque rien de commun avec ridée de grandeur ou de quantité. Les figures de géométrie offrent de même une foule de propriétés qui tiennent à la situation et à Tordre, et dont on pourrait faire un corps de doctrine, lors môme que l'on n*aurait aucune idée de l'application des nombres à la mesure des grandeurs géométriques.

« La théorie des nombres, la théorie des figures géométriques, la théorie des grandeurs forment trois corps de doctrine qui ont entre eux des rapports multipliés, qui s'appliquent mutuellement Tuii à l'autre, mais qui procèdent chacun d'idées fondamentales distinctes, quoique étroitement liées.

« La théorie des grandeurs est celle des trois qui comporte le développement le plus régulier, le plus uniforme, le plus méthodique (1) et,

(1) «En veut-on un exemple des plus simples? La division, au point de vue de l'arithmétique pure, de la théorie des nombres, est une opération qui réussit ou ne réussit pas, accidentellement en quelque sorte, ou plutôt d'après des lois cachées et singulières, que nous avons grand'peine à découvrir et plus de peine encore à systématiser. Au point de vue de la théorie des grandeurs, la division réussit toujours et tout problème ramené à une division est un problème censé résolu, t

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on conséquence, la plupart des géomètres ont employé leurs efforts à assujettir les deux autres théories à colle-ci, à démontrer, et à trouver, par l'emploi régulier et systématique de grandeurs auxiliaires, ce qui pourrait à la rigueur se concevoir, se démontrer et se trouver, indépendamment de la notion de grandeur et de mesure. Pour ce qui est enfin de l'utilité des mathématiques etde leur application, soit à la philosophie naturelle, soit à la pratique des arts, on vient de voir qu'elles sont entièrement dues à la puissance du calcul, en tant qu'il s'applique aux grandeurs mesurables, et en ce sens au moins, la définition qu'on donne communément des mathématiques se trouve pleinement justifiée. » — CouRNOT, T?'ailé...y t. I, p. 25.