SLR LA MÉTHODE MATHÉMATIQUE

— « Quand on se livre à l'étude des mathématiques et qu'on a déjà poussé cette étude assez loin pour entrevoir l'étendue de la science, la complète satisfaction de l'esprit exige que l'on revienne sur ses pas, que l'on redescende jusqu'aux éléments pour en discuter la valeur et que l'on reprenne à un point de vue critique les raisonnements dont on a fait usage. Certes nous n'avons pas l'outrecuidance de croire ce résumé complet.... Nous espérons cependant n'avoir rien omis d'essentiel dans notre examen du mécanisme logique, mis en œuvre par les géomètres.

« Nous nous proposons d'étudier la méthode mathématique et notre but est triple : définir la nature du calcul, déterminer la fonction du calcul, analyser le mécanisme du calcul. On peut assimiler le calcul à un instrument; cela étant, nous allons successivement examiner la structure, l'usage et le fonctionnement de cet instrument.... La méthode que nous adopterons pour résoudre ce problème est une méthode d'observation ; nous supposerons connue la science mathématique et nous chercherons à saisir sur des exemples convenablement choisis la nature des procédés dialectiques qui ont servi à la construire.

Les mathématiques Gl

— <( La science mathématique a pour objet l'étude des grandeurs mesurables. Il existe des grandeurs d'une autre catégorie : l'intensité d'une sensation d'odeur, par exemple. Ces grandeurs là, qui ne sont point susceptibles, au moins actuellement, d'être exprimées en nombre, n'appartiennent pas encore au domaine . mathématique, parce qu'en pareil cas l'application du calcul se réduirait à un pur jeu de formules dont on ne pourrait donner aucune interprétation précise

« Mesurer une grandeur, c'est la comparer à une grandeur de même espèce et la construire mentalement à l'aide de cette dernière. Le terme lixe de cette comparaison se nomme un nombre. On peut dire qu'un nombre est une sorte de formule, un résumé d'opérations : c'est l'expression de la construction d'une grandeur au moyen de son unité. Cela étant, nous appellerons quantité toute grandeur mesurable. Nous pouvons dire alors que l'objet mathématique, c'est la quantité et cela nous conduit à essayer de préciser et d'éclaircir celte idée de quantité afin d'arriver par approximations successives à une exacte définition de la science mathématique. Toute la portion vague et insaisissable du concept de grandeur se trouve éliminée par l'adjonction du concept do mesure qui détermine nettement un caractère auquel on reconnaîtra ce qui est quantité

« Nous percevons quatre espèces de quantités : la pluralité, l'étendue,

la durée» l'intensité; ces notions sont dégagées par abstraction des

données primitives et par un second degré d'abstraction réductible à une même forme : le nombre entier. En effet, considérons d'abord des quantités intensives : poids, température. La balance substitue à l'action d'un poids le parcours d'une longueur ; le thermomètre fait correspondre aux variations de température des variations de niveau. D'une façon générale les instruments de mesure sont destinés à transformer les quantités les unes dans les autres pour arriver finalement, par l'intermédiaire du mouvement, à les traduire en étendue... Donc les quantités intensives, en tant que formes de la raison pure, ne diffèrent pas

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réellement de la quantité exlensive. Considérons alors celle-ci : c'est une étendue ou une durée. L'étendue et la durée, en tant que formes de la perception prise, au poîntdovue purement logique, sont homogènes et continues ; d*oii il suit que, en tant que formes de la raison, elles sont résolubles en pluralités. Parce qu'elles sont homogènes, on peut les partager en morceaux identiques entre eux ; parce qu'elles sont continues, on peut nettement juxtaposerles morceaux quel que soitle mode départage adopté. Alors soit une étendue ou une durée; parce que cette quantité est homogène et continue, on peut la décomposer en une somme de parties identiques et rigoureusement juxtaposées, c'est-à-dire la résoudre en pluralité... Par conséquent, toute quantité, en tant que forme de la raison pure, est résoluble en pluralité. En d'autres termes, l'action do l'intelligence sur la perception primitive l'a transformée en perception

de pluralité. Or, dans une telle perception considérée seulement au point de vue quantitatif, le contenu ou matière ne joue plus aucun rôle logique ; on peut donc le supprimer par abstraction, et la perception de pluralité, en passant ainsi dans le domaine de la raison pure,

devient le concept de nombre entier

« Il n'a été question jusqu'ici que des quantités intensives ou extensives simples. II reste donc à parler brièvement des quantités intensives ou extensives complexes. Celles-là sont résolubles en pluralités simples; celles-ci sont résolubles en complexes de pluralités. Eu d'autres termes, celles-ci s'expriment par un complexe de plusieurs nombres considérés simultanément, c'est-à-dire par un groupe de nombres différenciés les uns des autres et rangés dans un ordre déterminé. Voici des exemples. La notion de vitesse implique la notion d'un chemin parcouru et la notion du temps employé à le parcourir ; la vitesse est donc une quantité qui, en tant que forme de la perception, se présente à nous comme un rapport et qui, en tant que forme de la raison pure, est résoluble en un complexe de deux pluralités; au point de vue qui nous occupe, elle s'exprime, non par un seul nombre, mais par un complexe de deux nombres. Le même

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fait se présente en ce qui concerne la hauteur d'un son ; cette hauteur est d'abord perçue par nous comme une quantité intensive d'une sorte parlicuh'ère; elle apparaît ensuite à notre raison comme le rapport d'un nombre de vibrations exécutées au temps employé à les produire et s'exprime donc par un complexe de deux nombres dont chacun représente un des éléments de la quantité étudiée.

« A notre affirmation, on opposera sans doute l'exemple de certaines grandeurs, comme les grandeurs pholométriques — éclat d'une source lumineuse, éclairoment d'une surface opaque, — qui sont aujourd'hui mesurées et nombrées sans être dénombrées et résolues en pluralités. Nous ferons remarquer que cette prétendue mesure n'est qu'un repérage grossier, un classement approximatif qui permet d'apprécier jusqu'à un certain degré — 1/64 environ — l'égalité ou l'inégalité de deux de ces grandeurs, mais qui ne donne aucun moyen de suivre le développement continu des grandeurs en question, en sorte que l'on ne peut voir là rien autre chose qu'un pis-aller provisoire en attendant les progrès futurs de la science. L'intensité d'une couleur, sa tonalité, son degré de saturation ou, en d'autres termes, sa pureté sont actuellement pour nous des grandeurs sensibles, c'est-à-dire, des formes de la perception; ce ne sont pas encore des grandeurs intellectuelles, c'est-à-dire des formes de la raison. Mais ces éléments cesseront d'être logiquement insaisissables quand on saura en construire une représentation extériorisable et impersonnelle, c'est-à-dire quand on saura substituer à ces complexes confus de matière et de forme des formes pures équivalentes fabriquées à l'aide des seules données primitives de la conscience. — On dit qu'unechoseen représente une autre, quandil existe entre ces deux choses une correspondance telle que tout changement dans l'une entratne un changement dans l'autre et qu'il suffise par conséquent d'agir sur Tune pour agir par contre-coup sur l'autre. Deux choses ainsi liées sont logiquement substituables l'une à l'autre et la connaissance de l'une permet d'obtenir par simple traduction la connaissance de l'autre.

6i Introduction générale

« En résumé, au point de vue de la raison pure, il n'y a qu'une forme quantitative : le nombre entier. Pour découvrir ce qui constitue, rationnellement parlant, la quantité, il suffit donc de considérer le nombre entier. »

— «La valeur de l'analyse est la valeur mèmederosprit humain, puisqu'elle en vient tout entière au pointde n'en être en quelque sorte qu'une extériorisation et qu'elle est construite uniquement à Taide de la loi fondamentale de la raison. L'analyse mérite donc une confiance absolue, au seul sens raisonnable que l'on puisse a priori attribuer à ce mot. Mais aussi sa portée n'est que celle de l'esprit humain, a Le calcul, disait Poinsot, est un instrument d'analyse qui ue produit rien par luimême. » Gela est vrai de tout calcul, j qu'il soit fait ou non avec le secours de la notation algébrique, c'est-à-dire de toute évolution d'idées qui n'est conduite que par le principe d'identité. Un tel mode de raisonnement ne vaut que par les données qui lui servent de point de départ et de matière. Si donc on le fait fonctionner à vide comme en analyse pure, il est clair qu'il n'engendrera que des conclusions vides aussi. Dans ce cas, toute série de comparaisons ou de transformations tend à mettre en évidence un certain rapport entre deux systèmes de grandeurs; mais ce rapport est établi dans l'abstrait pur, indépendamment des choses réelles dont il peut exprimer les relations, en sorte que c'est une forme vide qui reste sans signification et sans intérêt tant que l'expérience n'est pas intervenue pour le remplir d'une matière déterminée. Par conséquent les mathématiques, à ne considérer que leurs parties théoriques dégagées des applications dont elles sont susceptibles, constituent moins une science qu'une méthode, et c'est ajuste titre que Leibnitz les appelait : <( une extension ou promotion particulière de la logique générale. » Quelques remarques suffisent pour démontrer cette proposition :

(( 1® L'objet mathématique, c'est la quantité. Or une quantité peut être représentée, soit par la notation arithmétique, c'est-à-dire par la nota-

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tion-chiffre, soit par la notation algébrique, c'est-à-dire par la notationlettre. Dans le premier cas, la quantité est considérée abstraction faite do son espèce, mais non de sa valeur; dans le second cas, elle est considérée abstraction faite et de son espèce et de sa valeur, à l'état de pure essence que rien ne détermine ni ne limite. En tout cas, sa nature n'est jamais spécifiée, quand bien môme sa valeur l'est. D*oii il suit que les théorèmes auxquels son étude conduit ne peuvent par eux-mêmes avoir aucun sens concret.

« 2° Le caractère de parfaite abstraction des vérités mathématiques devient en quelque sorte palpable lorsque l'on pense au calcul des symboles opératoires où l'on représente par des lettres, non plus dos quantités, mais de simples opérations.

«.... Finalement l'esprit humain ne possède, au point de vue mathématique, qu'une seule donnée primitive, qu'une seule matière primordiale : l'unité. Sur cette matière il opère de diverses façons; il crée ainsi la série des concepts analytiques et, par identification de ces divers modes de construction, la série des vérités analytiques. Ainsi se trouve constituée l'analyse. L'unité fonctionne comme matière par rapport aux formes qu'on en dérive en travaillant sur elle et qui sont les différentes notions de l'analyse. Mais, en elle-même et par rapport aux choses, elle n'est aussi qu'une forme, un pointdevuede l'esprit, quelque chosecomme l'idée du moi extériorisée et vidée de son contenu.

— « Cela posé, n'est-il pas possible de prolonger le développement de l'analyse en y faisant entrer progressivement toutes les grandeurs physiques? La science poursuit l'explication de l'univers et travaille à en construire une idée que nous puissions ensuite, par notre industrie, imposer comme une forme au monde. Le seul moyen d'atteindre complètement ce but semble être de donner une représentation analytique de l'ensemble des phénomènes. Comment procéder dans cette entreprise V

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C'est ce que nous allons examiner. Nous abordons ainsi l'étude des mathématiques appliquées : géométrie, mécanique et physique.

a Occupons-nous d'abord delà géométrie et, pour commencer,posons nettement la question. Nous nous proposons d'étudier la géométrie comme nous avons étudié l'analyse : nous examinerons donc successivement l'objet de la géométrie et les diverses manières de l'envisager, la nature de la géométrie et sa portée logique, le caractère et la valeur des fondements de la géométrie. Gardons pour cette nouvelle recherche la méthode d'investigation qui nous a servi jusqu'ici : supposons la géométrie constituée et connue, et prenons-la comme une donnée que nous entreprenons d'analyser.

« Pointn'estbesoinsansdoute de redire iciquelle estla véritable nature des idées fondamentales de temps, d'espace et de mouvement auxquelles on se heurte dès le début de l'application des mathématiques à l'analyse des phénomènes physiques. Ilest bien facile de démontrer — et c'est un théorème désormais incontesté — que ces notions ne correspondentpas à des existences extérieures directement perçues. Ce ne sont pas des représentations, mais des conditions nécessaires de certaines représentations. D'une façon précise, ce sont des formes de notre perception.

« Cela posé, qu'est-ce que la géométrie ? On la définit souvent : la science de l'étendue. Celan'estpas exact, la géométrie est seulement la science de l'étendue figurée en tant que figurée. Elle étudie, non pas l'étendue elle-même, mais ses lois de limitation : c'est proprement la science des phénomènes de l'étendue, la science des apparences sensibles sous lesquelles se manifeste à nous une des propriétés inconnues de la matière, en un mol la science des formes étendues.

(( L'espace fonctionne seulement en géométrie comme milieu où l'on peut choisir des points et comme réceptacle de figures. Son intervention se réduit à constituer la possibilité des divers êtres géométriques : c'est une puissance indéterminée dont les figures étudiées sont des actes. Cette remarque nous conduit immédiatement à répondre àuneobjection

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possible. Si la géométrie repose sur la notion d'espace, comment l'analyse d'une notion fort obscure et sur le contenu do laquelle personne n'est d'accord engendre-t-elle des propositions très claires qui appartiennent justement à la catégorie decelles qui senties seules sur lesquelles tout le monde soit du même avis? Voici l'explication de ce fait étrange : les théorèmes géométriques ne supposent que l'existence de l'espace, et encore l'existence de l'espace dans la pensée, c'est-à-dire la connaissance de sa fonction logique, et restent vrais quelle que soit l'idée que l'on se fasse de son essence sur laquelle ils ne supposent rien que des lois peu nombreuses immédiatement aperçues par l'intuition. La même chose pourrait être répétée au sujet de la notion de mouvement. Nous parvenons donc à une première conclusion. Quelles formes peuton découper dans cette matière amorphe qu'on nomme l'espace et quelles sont les lois constitutives de ces formes ? Tel est l'énoncé général du problème géométrique.

« L'objet géométrique, cette espèce de corps dépouillé de ses propriétés et réduit à sa figure dont parle Descartes, peut être envisagea plusieurs points de vue différents.

« En géométrie pure, on procède par construction et comparaison de figures et la seule notation que l'on emploie est la notation graphique. On y raisonne, non pas sans doute sur les figures elles-mêmes^ mais à l'aide de ces figures, qui ne jouent qu'un rôle de signes : « On fait de la géométrie avec de l'étendue comme on en fait avec de la craie, » dit M. Poincaré. C'est ce qui permet de comprendre pourquoi la géométrie est une science exacte, quoi qu'on ne réussisse jamais à dessiner la figure théorique que l'on considère: cela résulte immédiatement de ce que les images tracées sur le tableau ne servent qu'à soutenir l'attention et ne sont en réalité que des symboles suggestifs de fonctions logiques. Si ce fait est déjà clairement visible dans la géométrie des anciens où l'on n'étudie que les propriétés les plus simples des plus simples figures sans constituer aucune doctrine générale, il apparaît en pleine évidence dans la géomé-^

08 Introduction générale

U i'ric moderne. Là en effet les théorèmes établis sont applicables, non à

j^ une figure déterminée, mais à une classe de figures, à une essence géo-

^f métrique conçue indépendamment des formes sensibles qu'elle peut

^" affecter et, par exemple, la représentation d'une conique n'a plus rien de

commun avec l'apparence que présente une courbe de ce genre quand [. elle est réalisée sur le papier. Ce choix d'une notation graphique a l'a-

t yantage de forcer à faire à chaque instant appel à l'intuition, en sorte

U que, non content de démontrer les théorèmes on parvient encore à les

faire voir. Mais ce beau résultat ne va pas sans inconvénient : si l'intuition est un guide entraînant, c'est quelquefois un guide dangereux. Une expérience directe permet en effet de se convaincre que le raisonnement géométrique mérite moins de confiance qu'on ne lui en accorde généralement et nécessite quelques précautions pour être employé légitimement.. . Contentons-nous actuellement d'avoir précisé le degré d'importance qu'il faut attribuer au dessin dans les spéculations géométriques et continuons notre revue des divers modes de la géométrie.

« La géométrie descriptive n'est pas une science distincte : ce n'est qu'une méthode, un art enseignant à figurer sur le plan les faits géométriques de l'espace. Concevons deux plans coordonnés; associons deux à deux les phénomènes géométriques de ces plans, en sorte que chaque phénomène s'accomplissant dans le premier plan soit lié à un phénomène s'accomplissant dans le second plan ; établissons une correspondance entre les complexes de faits géométriques plans ainsi accouplés et les faits géométriques de l'espace; de telle façon que les uns soient les signes des autres; nous construirons par cette convention un dictionnaire permettant de traduire la géométrie de l'espace en géométrie du plan, puisque l'une sera la représentation de l'autre, et nous aurons alors constitué la géométrie descriptive. Cette géométrie n'est donc pas autre chose qu'un langage, un système de notation comme l'algèbre. Le dessin est une langue très expressive. De là l'utilité de la géométrie descriptive et des diverâ procédés graphiques inventés pour la

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roprésentation sensible des pliénomcncs et pour la résolulîon rapide dos problèmes. De là aussi une juslidcation de l'usage si fréquent des courbes figuratives dans toutes les branches des sciences appliquées : rien ne s'oppose à leur emploi dès qu'on ne les regarde plus que comme des résumés suggestifs deloiscompliquées, c'est-à-dire comme des formules. Malheureusement le dessin est une langue peu précise,et c'est pourquoi le champ d'application de la méthode graphique est si restreint.

« Puisqu'une figure géométrique est seulement le symbole d'une fonction logique qui seule intervient d'une manière efficace dans le raisonnement, le rôle du graphique doit être tout accessoire eu géométrie. Ne peut-on pas diminuer Timportance accordée à l'intuition par cet emploi du dessin comme système de notation? Sans doute il restera toujours des éléments irréductibles pour la définition desquels il faudra bien recourir à l'intuition ; les fonctions logiques primitives seront toujours simplement données par leur signe sensible^ par leur notation graphique ; mais, à partir de ces matériaux premiers, il doit être possible de construire les êtres géométriques successifs sans nouvel emprunt à l'intuition.

(( C'est en effet ce qu'a réalisé Descartes par la création de la géométrie analytique, que l'on peut appeler une narration algébrique des phénomènes géométriques. Il y a trois éléments géométriques fondamentaux : le point, la droite, le plan. Considérons comme exemple l'un d'eux : le point. Qu'est-ce que l'idée de point? C'est l'idée d'une forme étendue dénuée de dimensions. II semble qu il y ait là contradiction dans les termes mêmes. Pour détruire cette conlradiction qu'on ne peut évidemment laisser subsister à l'origine d'une science, il faut considérer le point comme un minimum visible, dont nous puisons la notion dans Tobservation des astres qui n'ont pas de diamètre apparent, si toutefois nous n'en avons pas l'intuition directe. Précisons. Soit une aire plane limitée par un conlour variable. Supposons que ce contour se rétrécisse et vienne à s'évanouir en passant par une série quelconque de formes.

70 Introduction générale

La limite de Taire, c'est-à-dire l'état où elle sera quand ses différentes parties seront devenues indiscernables, constitue ce qu'on nomme un point : ce n'est donc qu'un minimun visible. La conception purement géométrique du point étant ainsi précisée, cherchons à extraire du groupe confus donné par l'intuition la fonction logique représentée par la notation graphique que nous venons d'établir. On sait comment on y parvient et que c'est par là que s'effectue la réduction de l'idée de situation àl'idée de nombre. La position d'un minimum visible estlaseule propriété par laquelle ce minimum intervienne dans le raisonnement ; or cette position peut être fixée par deux nombres que l'on nomme ses coordonnées; donc un minimum visible peut être représenté, au sens précis donné antérieurement à ce mot, par un système de deuxnombres. Effectuons alors un changement de notation et appelons point tout complexe de deux nombres différenciés. Nous avons ainsi construit le concept analytique qui forme la base de la géométrie cartésienne. Considérons maintenant un minimum visible mobile dans un plan suivant une certaine loi : il décrira ce qu'on nomme une courbe. Quelle sera la définition analytique de cet être nouveau ? Ce sera la relation permanente qui lie entre elles les coordonnées changeantes du point courant : l'idée de forme étendue se trouve ainsi ramenée à l'idée de fonction. Par un procédé tout semblable, on fait correspondre à toute opération graphique une opération analytique, de telle façon que la première ne soit qu'une image de la seconde ou, si Ton veut, quelque chose comme une métaphore dont l'interprétation analytique constitue le sens. Cela posé, dans la géométrie ainsi construite, on peut regarder les définitions initiales comme posées a priori et le dessin correspondant apparaît bien alors comme une notation graphique de la fonction logique sur laquelle seule porte la définition analytique; en définitive, à part quelques données qui ne sont définies que par leur apparence visible, tout ce qui suit n'est plus que déduction pure. La géométrie de Descartes doit donc être considérée comme un dictionnaire à double entrée permettant de

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traduire la géométrie en analyse et réciproquement. Faciliter la résolution des problèmes trop complexes pour que l'intuition parvienne à les débrouiller, donner naissance à des énoncés généraux qui résument et coordonnent une multitude de faits épars, mettre en évidence par l'analogie des calculs la parenté de questions en apparence très dissemblables, fournir un principe de classiFication naturelle pour les courbes et les surfaces, procurer un moyen de suivre la déformation graduelle des formes étendues et la marche continue des phénomènes géométriques, donner une méthode générale pour obtenir la figuration concrète des faits analytiques : telle est la portée des inventions de Descartes.

« Le problème géométrique, vu du côté de l'intuition, consiste en ceci : construire une représentation rationnelle d'une certaine classe de phénomènes naturels, de ceux qui sont relatifs à la situation et à la configuration des corps. La géométrie est donc une branche de la physique. Les traditions antiques nous rapportent en effet que cette science a commencé par des études expérimentales sur l'arpentage et la mesure des terrains. D'ailleurs une critique déjà faite des idées géométriques fondamentales achève de justifier notre affirmation. Un point n'est qu'un minimum visible; une ligne n'est qu'un tube assez délié pour que les dimensions transversales en soient devenues imperceptibles; une surface n'est qu'une plaque dont l'épaisseur est tombée au-dessous des limites où elle serait discernable. Il est impossible de définir autrement ces êtres géométriques au point de vue intuitif sous peine de contradiction : les vérités géométriques ne sont donc que des vérités approchées comme les vérités physiques. L'apparence de rigueur qu'offre la géométrie vient simplement de ce que cette science, comme ont fait depuis la mécanique et la physique, a conquis ses principes et les a réduits au moindre nombre possible. En conséquence, si Ton prend la géométrie par son coté intuitif, elle n'est pas une science exacte : il est impossible de la réduire à l'analyse et par suite de déduire celle-là de celle-ci.

« Comment donc concilier ces deux propositions : la géométrie est un

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