III

Or

(loue

aire tri. OPP'= Raisin J (/»///' — mn').

ftb sin<J = su;

aire tri. OPP' = ai («/«' — ntn).

ai

Si l'on inulti|)lie n/ et // par un facteur conitmin I), le premier membre et le second membre deviennent tons les deux D fois plus consi<lérables, de sorte que ré([uation (27) n’est pas troublée ; elle ne l’est pas non plus dans le cas où l’on multiplierait m' et »' par un liieteur 1)'. Donc cette é(juation a toujours lieu, lors même que /«, « eut m', n' ne seraient pas premiers entre eux.

Probi.ème \111. — Trouver le triangle principal (Tau llêseau.

Cboisi.s.sez arbitrairement un Sommet O {/ig. 4)i clieix'liez parmi tous les autres Sonimets le plus rapproché tie O.

Soit A ce Sommet, 0.\ étant le paramètre minimum du Késeau. Kn () et \ , élevez les droites O/.1, A/», perpendiculaires surO.A, et cliercliez dans l'espace indéfini pCi\w le Sommet le plus rajiproelié de la droite OA. \ ous le rencontrerez nécessairement en 11, sur la llangée limitroplie de OA. Joi- {•nez OH et HA ; OAH sera le triangle principal du Héseau.

I’hÉohèmk VI. — Le triangle pri/iripal est le seul triangle élémentaire liant les trois luigles soient aigus.

r.n ell’et, soit OAH { fig. 5) le triangle princijial. Menons la droite (X)J-’ parallèle à HA; les trois Rangées .\01), HOE, COE sont conjuguées deux à deux. Üonc tout triangle élémentaire ayant son sommet en O sera contenu dans l’un des six espaces angulaires AOH, H(Xi, COI), DOE, EOF, FOA (théorème II ). Soit ()«fi un tel triangle ; la Rangée Oy menée par O j)arallèlement à ali, étant conjuguée de Oa et de O'î, devra être contenue dans le même espace angulaire AOB (théorème II). Si le triangle 0«j^ avait .ses trois angles aigus, l’espace angulaire embrassé par les trois demi-droites Oa, 0,5, Oy ilevrait égaler ou surpasser qo tlegrés. Or cela n’est pas possible dans le c:is actuel, puisque nous venons de démontrer que l’angle aO^ est nécessairement moindre que l’angle aigu ou droit AOB.

MÉMOIIIE

Donc, pour obtenir un triangle ueutan^le, il faut faire coïncider O» avec < ) A, avec OU, et l'on retrouve ainsi le ti iangle principal.

Scolic. — F, es six triangles qui composent riiexagone ABfiDKI' sont tous égaux et superposables; ils ne forment donc qu'une seule solution. < >n .'cmanpK-ra que ces triangles sont de deux sortes : les uns, savoir, GAU. DOC., l'iFO, tournent leur paramètre minimum vers le bas, et [reiivenl être amenés ii eoincidence par une simple translation, sans rotation; les trois autres sont placés dans une situation inverse, et l’on ne peut les faire coïncider a\ee les précédents ipie par une rotation de i8o degrés autour d'une normale au plan.

l’ar exemple, D(Ki viemlra coïncider avec l)t)F. j>ar une demi-rotation, ellèctiiée dans son plan, autour du milieu O' de la base 01), commune aux deux triangles, l'ne demi-rotation autour de O amènerait IKK', en coïncidence avec \OC.

f 'oroflairr. — I,e triangle principal n'ayant aucun de ses angles supérieurs a qo degrés, on eu com'lura :

i“. Que son angle minimum est eoiiqiris entre zéro et tio degri's inclusivement ;

a". Que son angle moyen est compris entre i'i et yo degrés incliisi- \ ement ;

■F". Qu e son angle maximum est compris entre bo et yo degrés inclusi- \ ement .

ThlohÉ.mk ' 11. — /.<' Iriani'le prinri//nl opparlifitl à lu haiidc de Inr- ^ciir tiia.vimiwi .

Kn elfet. de l'équation (aô) on conclut

Ur est constant jiour tout le Uéseau ; donc A atteint son maximum, lorsrpie le paramètre atteint .sa valeur minimum. Donc, si l'on prenil le paramètre minimum pour base du triangle principal, et si on lui mène une parallèle |)ar le sommet géométrique de ce triangle, la bande enfermée entre ces )iarallèles, et contenant le triangle principal, sera la bande de largeur maximum rie tout le Résr'au,

Scolic. — t'.ette valeur maximum de A ne peut être inférieure à

SUB I.RS SYSTÈMES DE POIVT^ DISTRIBUÉS RÉUULIKREMENT. u5

si l'on désigne par a le paramètre minimum du Réseau. En eRet, dans la fig. 4, décrive* de O, comme centre, le quart de cercle ANP; de A, comme centre, le quart de cercle OAM. I^e sommet B du triangle principal sera compris dans l’espace indéfini /iPNMm. I.,a hauteur A de ce triangle sera la plus petite possible, lorsque B coïncidera avec IN. Donc, nommant A, la largeur maximum des bandes du Réseau, on aura

A. > ou = a y/^-

Théorème VIII. — Le triangle princif>al vontie/il les trois plus petits parcunètres de tout le Réseau .

Soient O.A {fig. 5) le paramètre minimum, et OB le plus petit des deux autres côtés du triangle principal; soient ().\B, OBfi U*s deux triangles principaux construits .sur OB. La ligne O/I, normale à OA, passera entre les Sommets B et G. Pour un .Sommet quelconque a appartenant à la Rangée RC prolongée, on aura évidemment

ia > i B, i<x > iC ;

donc

Oa > OB, Oa > OC, c’est-à-dire AB.

Si le point a appartenait à la Rangée limitrophe de BC, à celle c|ui confie la normale OU' à la distance Oi'= a O/, on aurait

Oa > O/';

or on a d'ailleurs

Oi' = a 0/ = U AB X sin OAB.

Mais, de plus, en vertu du corollaire du théorème VT, OAB étant l’angle moyen,

OAB > ou =45°, a sin OAB > ou =^;

donc

Oa> AB y/â.

Ainsi, dans tous les cas, le paramètre Oa surpassera le paramètre AB. lequel est, par hypothèse, le plus grand côté du tri.ingle jiriiicipal.

Scolie. — Il est bien entendu que l’on peut a\oir exceptionnellement

OB = O A , et même CXi = OB = OA .

XXXnp Cahier. 4