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'rHÉORÈMF. WIV. — Le nombre total des Rangées de meme, espère et direetement semblables dans un Réseau ne peut etre supérieur à trois.

Soit (j le nombre total des Rangées directement semblables; soit O {Jig.13) leur Sommet commun, et soit ÜM le pannnètre miniimnn dn

igyO

Réseau. Faites tourner OM autour de O d’un angle égal à — - : on sait

(théorème précédent) que, dans ce mouvement, le Réseau mobile revient coïncider avec le Réseau fixe.

Soit donc .MOM'= ; ,M' sera l’un des Sommets dn Réseau. Décrive/

un cercle de centre O et de rayon OM , et faites arc M*M'= arc M'M , arc M"' M"= arc M" M', etc. : les points .M, M', .M* appartiendront tous au Réseau, cl les cordes MM', M'M" seront les cotés d'un polygone régulier inscrit, à nombre de côtés égal à 2 iy.

Ce polygone ne [leut être qu’un carré ou un hexagone. Kii effet, ache- \ ons le losange MM'.M"///: on aura évidemment angle M' M/w = angle .M'OM; ainsi les triangles 'M'O.M, .M'.Mm seront isocèles et semblables, et l’on aura

Donc, si .M'M < O.M, on aura, « fortiori, M'//i < OM ; m étant un Sommet du Réseau, OM ne serait plus le paramètre uiiniinuin. Or, pour tout polygone régulier inscrit d’un nombre de côtés supérieur à six, le côté est infé-

SL'H l,ES SYSTÈMES DE POINTS DISTRIBTÉS nÉOEI.lÈHEMENT.

rieur au rayon. Donc le polygone MM'.M*'... sera un carré ou un hexagone, et le nombre c/ sera égal à a ou à 3. Si y = a, le Réseau sera à maille carrée; si </= 3, le Réseau sera à maille triéqiiiangle.

(’oroUaire. — L’angle fomié par deux Rangées directcmeiil semblables ne peut être égal qu’à Go ou à <|0 degrés.

’l’HÉonEME XXV’. — // ne fient )• avoir de /langées de inehie esfièce, et directement semblables , tjue dans les Itésean.v à nndl/e carrée ou triétfuiangle.

Ce théorème est une consé<|uence du corollaire jirécédent. Les deux suivants, qui n’exigent aucune démonstration, en sont les réciprorpies.

Théorème XXVT. — Dans tout liéseau à maille carrée, tournant dans son plan autour d'un de ses Sommets, le lieu des Sommets redevient le meme a c/iaejue fjuart de tour, et à tout système de /langées correspond un autre système de /langées de meme espèce et directement semblables, (pii lui est ocrpendiculairc .

Théorème XXV'II. — Dans tout Réseau à maille triéifuiangle, tournant autour d’un de ses Sommets, le lieu des Sommets redevient le meme à cluufue sixième de tour, et à tout système de Rangées correspondent deux autres systèmes de Rangées de meme espèce et directement sembltddes, inclinés de Go degrés sur le système donné.

Déjinitinns . — Lorsqu’un Réseau, touriiaul autour d’uiu' droite normale a son plan, recouvre les positions <lc ses Sommets à chaque rpiart de tour, eette droite sera dite un axe de symétrie (fuatcrimire du Réseau. Lorsque le lieu des Sommets redevient le même à charpie sixième de tour, l'axe de rotation est un axe de symétrie scnairc. Ces axes, lorsqu’ils existent, constituent un système de droites parallèles passant par chaque Sommet.

fai symétrie rpiaternaire caractérise le Réseau à maille carrée; la symétrie sénaire, le Réseau à maille triéquiangle.

Les ^g. i4, i5 et iG représentent le mode de disposition ries Rangées de même espèce (soit directement, soit inversement semblables), autour d’un même Sommet O, pour ces diverses classes de Réseaux. I.es lignes pleines sont les axes de symétrie; les traits de longueur inégale indiipieut les axes de difTérentes espèces; les lignes pointillées sont les Rangées dont l’espèce

JG

MEMO ut K

fst la iiièiiif <|iie celle (i'tme Uangée de paramètre donné. I.a jlg. i '( se rapporte atix Héseanx <le la première classe, à maille triéquiangle ; la Ji^. l'i, iinx Hcseanx de la deuxième classe, ou à maille carrée; la aux

Késeanx de la troisième classe, à maiile rliomhe on rectangulaire.

Tiiéoiikme XXVHf. — Il /IC peut y iivini- i/e Hani'ées de nwnic espèce et de directions differentes dans un Hcseau asmictri/pic.

(iela est évident pour les Rangées inversement semblables (vqre- le corollaire du tlicorème XXI). Cela n’est pas moins évident pour des Rangées directement semblables, en vertu du tliéorèmc XXV'.

ruÉoiiÈMK .XXIX. — Deux u.res de sy/nctrie de meme espece sont des ,< Rangées de meme espèce pour le Resenu.

Ces axes sont des Rangées du Réseau (théorèmes X et .XI), et puisrpie la coïncidence de deux tels axes entraine celle du Réseau fixe avec le Réseau mobile, ces Rangées sont de même espèce (d)>iinition de la page 3u).

Définition. — On peut définir angles de meme espèce dans un Réseau deux angles égaux compris entre des Rangées de même espèce deux à deux.