IV. — Rks .Vsse.mbi.aoes kx c.éxébai

Xons considiM'crons l'.Vsseniblage de la fig. i , dont le Sommet O est pris pour origine des coordonnées, et tpii est construit au moyen des trois Rangées OA.V'.V"..., ÜRR'R"..., ODD'D" Nous désignerons par <j, h, d les

paramètres de ces Rangées, savoir.

O.V = rt, OB = b, OI) = d'.

Ç. ti, ^seront les coordonnées linéaires des points de l'espace rapportés aux axes obliques 0.\, Oli, ()D; m, n, p représenteront des coordonnées numériques de Sommets définis; .r, y, z seront des coordonnées numériques mobiles, appartenant à des Sommets indéterminés, de sorte (|ue l’on aura, suivant les cas,

SL'H LES SYSTÈMES DE HOIXTS DISTIIIBUÉS HÉO.LLIÈKEMENT.

On remarquera que l’Assemblage entier peut être considéré comme une siirfaceà nappes distinctes et fermées, venant s’évanouir chacune en un <le> Sommets de l'Assemblage.

I /équation de cette surface peut s’écrire sous la forme sin’ - -TT -+- sin’ 'Itt sin’ -, rr = o.

a II d

PnoBi.ÈME XIV. — Trouver réijuul ion tl'utie Hun(^('e pasxnnt par Tortpiue et par un Sommet donné T ( lig. ao).

Soient wi, n, p les coordonnées numériques de T; ré(|uation de OT eu coordonnées linéaires et courantes sera

ma "nh ptV

en coordonnées numériques, on aura

Si m, «, P avaient un plus grand commun diviseur l), le Sommet (fî’ R’ r) appartiendrait à la Rangée fVl’, et serait, parmi tous les Sommets de la Rangée, le plus rapproché du Sommet O. Si /«, «, p n ont d'autre diviseur commun que l’unité, OT est le paramétre de la Rangée.

.le supposerai, dorénavant, que les Sommets «pie nous aurons l'occasion de joindre par une droite avec l’origine satisfont à cette condition, que leurs trois coordonnées numériques n’aient d’autre <liviseur commun que l’unité.

Notation. — \ia Rangée allant de l’origine au Sommet [m, n,p), m, n et p n’ayant aucun diviseur commun, sera désignée, dorénavant, par le symbole mnp.

Théorème XXX. — Soient T, T' dcu.r Sommet.^ d’un Nssemfdaffe (lig. 20 ); si, par un troisième Sommet O, on mène la droite 0< égale et parallèle à TT', l’extrémité de cette droite sera un fpwtrième Sommet de T Assemblage.

Ce théorème se démontrerait comme le théorème 1.

MÉMOIRE

Problème X\'. — Trouver l’éfjuation ((ciu'ra/e des /{fui^^es pnra/lèfri ti In Rangée O T ((ig. 20), dont le symbole est niiij).

Soient ni', n , p' les coordonnées d’iin second Soinniet 'F' (iris arliilraireincnt ; la Rangée menée par ce Sommet, parallèlement à O'I', aura pour ei|uation, en coordonnées niimérii|ues.

Problème X \ I. — Trouver le paramètre de la Rangée C)'l' et de ses parallèles (lig. 20).

Soient a, fi, i les angles que forment entre eux les trois denii-axt*s des coordonnées positives sur le plan des )•;, sur le plan des ,rs et sur le plan lies .t j.

Convenons de désigner par Pmnp le (lararnètre de la Rangée 01 ' allant de l’origine au Sommet(//i, n, p) : on aura, jiar une formule connue, pour la valeur du carré de ce paramètre,

(Ti)

I P'ninp = nda' •- tdld -i- p‘d‘

I + 2 ninab cos S -+- •intpad c«)s fi -i- 2 nphd cos a.

On pourrait, dans cette formule, remplacer a par Pioo, b jwr Poio, d par P 00 1 .

Problème X\ II. — Trouver l’eipialion du plan rétieulaire passant par r origine O et par les deu.r Sommets T et T' (lig. 20).

I,es formules de la Géométrie analyti(|ue donnent

^(nbpd' — pdn'b)-+- n{pdm'a — ma p'd) -h !^{nian' h — nbrn'a) = o;

et, divisant par abd,

( > 4 ) — pit) y{pf‘> — '^‘P) + :{mn' — nm’) = o.

Soit maintenant D le plus grand commun diviseur des binômes np ' — pn', pni ' — mp', rnn ' — nin' : posons

Hf> — pn

pm’ — pm b' U

nm — mit

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sim LES SYSTF.MF.S OE POINTS DISTRIBUES RÉr.UUF.REIMF.NT. 'îi|

il viendra

dotation, (Ujinùion. — Nous adopterons la notation syinl)olii|ue (^AA) pour représenter l’enseinlile des plans réticulaires [Kirallèles au planOTT' : les nombres entiers A, A, positifs ou négatifs, seront les carartcrislujttn de ce système de plans réticulaires par rapport aux axes <Ies x-, des i et des 3 . Dans le cas où ce symbole {gfik) ofiVirait de rambigiiité, on le remplacerait par (g^. A, A). Si rnne des trois ixinictéristiqiies, A [lar exemple, prenait le signe — , on le placerait au-dessus de cette caractéristique, ce ipii changerait (gAA) en (gAA).

De CCS conventions il ri^ulte que le symiiole ilii plan des .i;> sera (ooi). celui du plan des .r: (oio), celui du [ilaii des yz (loo).

Théorème XXXI. — La trace d'un plan réticulaire (pielcontpic passant par l’origine, tel (pie OTT' ( fig. ao), sur l'un des trois plans coordmmés, est une /langée commune au.c fléscaujc de. ces deu.r plans.

f.es équations de cette trace sur le plan des .r)' sont Z — a, gx hy = o.

La seconde de ces équations est satisfaite par .r = g, )■ = — A : donc cette trace est une Rangée. Si g et A ne sont pas premiers entre eux, il existe d’autres Sommets entre l’origine et le point x = A, v = — g. Soit, en général, D le plus grand commun diviseur de g, A; la trace du plan

("AA) sur le plan des xy sera une Rangée de symbole

CorollaiKc /. — L’intersection de deux plans réticulaires <(uelconqnes sera une Rangée comiiuine aux Réseaux des deux plans, pourvu qu’elle contienne un Sommet ; car l’on peut toujours prendre run des deux plans pour plan des .r>' (problème I), et le Sommet commun pour origine.

Corollaire II. — Si cette intei-section ne passe par aucun des Sommets de l’Assemblage, elle est du moins parallèle à un certain système de Rangées. Pour obtenir ces dernières, on mènera par un Sommet arbitrairement choisi deux plans réticulaires parallèles aux plans donnés; leur intersection fera connaître une des Rangées de ce système.

MÉMOIHF.

I’bobi.èmk XV7II. — Trouver l’erjiiation générale des plans réticulaires parallèles nu plan OT'I" (fig. ao), et dont le syndtole est (ghk).

l’iir le Sommet {»/", iT,p") menons un plan parallèle à OT'I"; son ■■(iiiation sera

g.r -+ A v H- kz — gni" -t- lin” kp", ou

( J7) g‘V 4 liy 4 - kz =C,

en désignant le dernier membre par (i ; C est nécessairement un nombre entier, (iette équation, aussi générale (|ue possible, embrasse tout le système des plans rélieulaires parallèles à O I T.

Pbobi.kmk X I X . — 'Trouver l’éipiation des plans réticulaires limitrophes du plan OTT' {fig- ao). ,

On sait, par la théorie des fractions continues, que si g. A, k n’ont d’autre diviseur commun i(ue l’unité, il sera toujours possible de satisfaire a la double équation

( 3d) g.r •+• In kz = ± 1 ,

pai- des valeurs entières de ,v, y, z.

F,cs deux plans réticulaires fournis par cette équation sont les limitro[)hes du plan OTT'; car, pour tout autre plan dont l’équation serait g.r Il y 4- Az = (i,

les intersections avec les axes des .r, des >• et des z auraient lieu à des distances de l’origine plus considérables que pour les plans de l’écpiation (38).

( )n pourrait aussi démontrer ce théorème sans recourir à la théorie des fractions continues.

l’noBLF.MF. XX. — üans un système de plans rélicuUtires dont la notation syndmlirjue est (ghk), on demande iptel nombre de strates de ce système est compris entre le Sommet à coordoiuiées .M , iN , P cf le Sommet à coordonnées M', N', P'.

t'.oncevous f|ue le plan réticulaire

gx -t- hy kz = 1

reçoive funité pour numéro tl'ordie, que le plan suivant reçoive le

Sl’il LKS SYSTÈMES DE l'OIMS IIISTRIBt.'És HÉCDLIÈKEMKNT.

n” a, etc.; le |)laii

^.r -t- //y-t- fiz = C

aura le numéro d'ordre C.

Soient maintenant C et les numéros d'ordre des plans rétictdaires passant par les Sommets (M, M, P) et (.M', N', P') : on aura

C=gM-y/y\ -^/P, t;'=^^MV/;N'-H/P'.

\itisi le nombre des strates interceptées entre les deux Sommets donnes aura pour valeur, au sifçne près,

l’iiOBt.ÈME XXI. — Trouver la co/ulitio/i pour tfu'uu plan rrtùului/r de symholr {gh/i), pajisunt par Vurigùw, soit conjugué à une liangée altoni de l'origine au Sommet (m" , n" , p").

Il faut évidemment que le Sommet {m” n", p") soit situé sur l'un des deux plans réticulaires limitrophes du plan

gx -y hy -y- kz = O.

Ainsi la condition cherchée .sr-ra

( '^g ) gm" -4- lin"-+- kp" — ±\ .

Si le plan {gkk) contient les Sommets (w, n, p), (/«', n',pj, comme cela a été supposé ei-dessus (problème XVII), et si l’on remplace, dans l'écpiation (3g), g, h et k par leurs valeurs tirées des équations (3.3), la condition cherchée deviendra

( 4 o) /«*' (np' — pn') -t- n" (pni — mp') -r- p" {mn' — nm') = ± f).

Da)is cette formule, 1 > est le plus ^rand commun divi.smir des binômes np' — pu', pni — pni ' 1 mn — nm'.

Théobème XXXII. — Si trois liangées, partant d’un meme Sommet, sont conjuguées dans l’espace, deux d entre elles seront conjuguées, l une par rapport a l'autre, sur leur plan de. jonction.

Cette proposition résulte évidemment de la définition des Hanpéo <-onjuguées (pa^^e 7 ).