SUR LES POLYEDRES DE FORME SYMETRIQUE. XXXV
prolonge de aS' = aS, S' sera l'un de ces homologues. Joignant S' au centre C, prolongeant et faisant c2 = cS', on obtient le sommet 2 homologue de S' par rapport au centre C : évidemment S et 2 sont homologues par rapport au plan PQ; donc ce plan est un plan de symétrie du polyèdre.
Théorème XXII. — Tout polyèdre possédant un axe d'ordre pair et un plan de symétrie normal h cet axe possède un centre de symétrie situé à la rencontre de l'axe et du plan.
Soit S\/ig. 2, l'homologue opposé au sommet S par rapport à Taxe CA; soit s l'homologue de S' par rapport au plan PQ normal à l'axe CA : les deux sommets S et ^ seront homologues relativement au point C oii l'axe coupe le plan; ce point sera donc un centre de symétrie du polyèdre.
Théorème XXIII. — Tout polyèdre possédant un axe d'ordre pair, et un plan de symétrie passant par cet axe, possède un second plan dr symétrie passant par l'axe et normal au plan précédent.
Soient CA, fig. 7, l'axe d'ordre pair, LCa le plan de symétrie donné, S un sommet du polyèdre, S' son homologue de l'autre côté de CA, / Thomologue de S' par rapport au plan LCA : S et / seront homologues par rapport au plan ACI/ passant par CA et normal au précédent; donc, etc.
Théorème XXIV. — Dans tout polyèdre possédant un axe W, s'il existe des axes binaires normaux à L^^, leur nombre total est égal à iq, sai^oir : q oàxcs d'une première espèce, et q axes d'une seconde espèce, alternant avec les précédents.
SoitCP, fig. 5, un axe binaire normal à Taxe CA d ordre 2g; soit menée, dans le plan PCP' normal à CA, la droite CP' faisant avec CP l'angle
iq q '
la droite CP' sera un axe binaire de même espèce que CP, à cause de la symétrie propre à l'axe CA (théorème X, corollaire). Le nombre des axes
XX 31 VI SÏXOÎBE
ainsi c»lil«'ii"*« ^«'ra c^al t y. ofuftC!^^. itàX peut être considéré •Ir {jV |»iii' •!•"* roïjtuMtt ^;; rr-^ .
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Si iiiiiiiitfiiiiiil on |Mii.i:;r \\T en v*ta\ [\irties égales par la bissectrice C/>, ('7> MTii iiiisHi lin ,i\r Ihimut t ar m^vIç y i homolo^e de S parrapport à CV; soit v' riii»ntfihi(>u(* ilf * |Kr i\;p[^ it !i Taxe CA, Tangle de rotation qui ainrnr v ni v' rfliini
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les soinniriH S, v' •^ii.iiti liiinii»Ui;;iu-< jur ivip[>ort à C/^ considéré comme étant un axr hinaiif : nn 7 ilmiiis luswti iivs soient ainsi des axes binaires, mais iViuw aniir rH|ii'i'iv
Il y aura dcuir u/ :im-. Imi •,. ri Itur nv>mhre m- peut être plus considérable; ciir, s'il rMii.Ht i) .iHi"; I mvs, O i tant supérieur à ay. Tordre de
la symétrie de Taxe- luiiinal ii Irui |il«iii srrail Q ou/wQ (théorème XIII), ce qui est contraire aux nindilicMn dr l'rnoim'.
Corollaire K — Le; iioiiilii«* df*» iixrs iMuaires normaux à un axe prin-
«ipal A'^'^sera toujours éjçal à n ou a xt/.
( oritllnirt' II. — Les axes binaires ihiimihiix à A'^ sont perpendiculaii-es '■nlM* Miz dfiix il deux.
1 Mroiskvir \X\. — Dans tout polytlrr pnssrdant un axe L*% s'il r t H h' tiri i>lnfi t fir. synuHric passant par cet twe^ leur nombre total sera a y, t/nnt // «l'uni' r^pi-rr, et q d'une autre espèce^ alternant avec les précédents.
XXXM MEMOIBE
ainsi obtenus sera égal a q; chacun d'eux peut être considéré comme dérivant de CP par des rotations égales à
les axes correspondants aux rotations
180" , 180" 180^ q , <7-f-i) >---7 i2ûr — I) 1
coïncident avec les précédents.
Si maintenant on partage PCP' en deux parties égales par la bissectrice Gp, Cp sera aussi un axe binaire. Car soit s Thomologue de S par rapport à CP; soit / riioinologue de s par rapport à Taxe CA, Tangle de rotation qui am<''ne s en / étant
^ = PCP';
les sommets S, / seront homologues par rapport à Cy^ considéré comme étant un axe binaire : ces q droites bissectrices seront ainsi des axes binaires, mais d'une autre espèce.
Il y aura donc 'iq axes binaires, et leur nombre ne peut être plus considérable ; car, s'il existait Q axes binaires, Q étant supérieur à 29, Tordre de la symétrie de Taxe normal à leur plan serait Q ou mQ (théorème XIII), ce qui est contraire aux conditions de l'énoncé.
Corollaire I. — Le nombre des axes binaires normaux à un axe principal A^'^sera toujours égal à o ou à 2^.
Corollaire II. — Les axes binaires normaux à A*^ sont perpendiculaii'es entre eux, deux ;i deux.
Thiîoremk XXV. — Dans tout polyèdre possédant un axe L^^, s'il existe des plans de symétrie passant par cet axe, leur nombre total sera 2^, dont q d'une espèce, et q d'une autre espèce, alternant avec les précédents .
