PC

Or, si s est l'homologue de S par rapport à l'axe CP, et S' l'homologue de s par rapport à Taxe G/?, la rotation qui amènera S en S', en faisant tourner le polyèdre autour de CA, sera, d'après la démonstration du théorème précédent,

anglePCP'=2PC/; = — ;

donc la droite CA sera un axe de symétrie d'ordre égal à ^ ou à un multiple de q.

ThiÎorème XIV. — Lorsqu'il caviste trois axes quaternaires rectangulaires entre eux, il existe en même temps quatre axes ternaires extérieurs aux plans qui joignent deux à deux les axes quaternaires.

Soient OA, OB, OC, fig. 6, les trois axes quaternaires se coupant au centre de figure O du polyèdre. Faisons faire au polyèdre un quart de tour autour de OA et de B vers C; le lieu apparent des sommets restera le même, et Taxe OB viendra en OC. Faisons faire au polyèdre un second quart de tour, autour de la verticale OC, de A vers B; le lieu apparent des sommets restera encore le même; l'axe OB restera en OC, et Taxe OA viendra en OB. Le résultat de cette double rotation sera donc de transporter le système des

X^XtXll MEMOIRE

axe^ OA, OB^ fixes avec le polyèdt^'et mobiles at^ lui, sur k isy^tètne des droites fixes OB, OC. Or il est visible que ce transport équivaut à une rotation unique de 1 20 degrés autour de la droite OD qui joint le centre de figure au centre D du triangle sphérique trirectangle ABC. D'oîi Ton voit que la ligne OD est un axe ternaire du polyèdre, et comme il existe huit triangles trirectangles à centres opposés deux à deux, ces axes ternaires seront au nombre de quatre, tous extérieurs aux plans AOB, AOC, BOC.

Corollaire. — Un polyèdre à trois axes quaternaires rectangulaires ne possède [^s d'axe principal; car, dans tout polyèdre pourvu d'un axe principal, si Ton prend trois axes quelconques L, [/, F/ non situés dans le même plan, deux au moins des trois angles qu'ils comprennent doivent, d'après la définition de Taxe principal, être égaux à 90 degrés. Or, cette condition n'est pas satisfaite par le système des trois axes OA, OB, OD.

Théorème XV. — Dans tout polyèdre possédant un axe principal A!' ^ s'il existe un second axe de symétrie, cet axe, nécessairement situé dans un plan normal à A^, aura une symétrie simplement binaire.

Soient Q^A^fig. 7 , l'axe A^, et CL le second axe, x étant le numéro d'ordre inconnu de sa symétrie; il est clair que cet axe sera situé dans un plan notmal à A^, et je dis, de plus, que Ton aura a:== 2. ,

En effet, d'après la définition de Taxe principal, les axes homologues de A'^ par rapport à L' (théorème X, corollaire) doivent être normaux à A^, ou coïncider avec lui. Ainsi, on ne peut faire que les suppositions a: = 2, a;=z=4, correspondant, la première au cas d'un demi-tour autour de L"^, la deuxième au cas d'un quart de tour.

Si 07 = 4» l'axe CL sera quaternaire, et l'axiô Ca ^ r^proAûfra en CL', qui sera un axe de même espèce que lui (théorème X), et situé dans le plan normal à G A^ passant par C ; CL' sera donc aussi un axe d'ordre q^ et pour t|ue les axes homologues de l'axe CL par rapport à CL' ne sortent pas du plan LCL', comme l'exige la définition de l'axe principal, il faudra que l'on ait (/ = 4 ou 7== 2,

Le cas ^ = 4 correspond au cas de trois axes quaternaires rectangulaires,

SUR LES POLYEDRES, 9^ ^ORME SYMl^TRIQUE. XXXHI

Qt doil ètxet rejeté; cw il n'y *pas aloF$ d'axe principal (théorème XFV, corgllam}.

Dam le ca^ 9 "^ ^i l'a^e CL 8#ra )e véritabW axe principal. En effets il est facile de voir qu'il ne peut y avoir de plan de symétrie passant parCA et oblique à CL ; car son premier homologue par rapport à Taxe quaternaire CL ne serait ni normal ni parallèle à CA, et cela serait contraire à la supposition que CA est un axe principal : donc rien ne s^oppose à ce que l'on considère CL comme axe principal, et Ton doit le faire, puisque Tordre de sa symétriç ^t plus élevé que l'ordre de la symétrie de C A. Donc, si CA est réellemejnt qn axe principal, on ne peut jamais avoir a? = 4-

11 oe reste que la supposition c^- =?= t^ ; donc le deuxième axe de symétrie sera un axe simplement binaire*

Théorème XVL — Dans tout polyèdre à axe principal^ les q axes binaires situés dans le plan normal h cet axe sont également inclinés, chacun sur son voisin^ et sont de même espèce de deux en deux.

Car soient. CP, Qp^J^g. 3., deux axes binaires voisins; l'axe binaire (^ forcera l'axe CP à se reproduire du côté opposé en CP' (théorème X, cq^qI-laire); CP' entraîne à son tour l'existence de l'axe Cp\ et ainsi de suite : d'où l'on voit que les q angles PC/?, pGP\ P'C/?', etc., doivent être égaux entre

eux et à — --

Les axes CP et CP'' sont de même espèce et directement semblables par rapport à Taxe intermédiaire Cp; de même Cp et Cp'^ sont de même espèce entre eux et directement semblables par rapport ^ Faxe CP'; donc, etc.

Théorème XVII. — Les polyèdres qui possèdent un axe A^, q plans de symétrie passant par cet axe y et le pian de symétrie II normal à l'axe principal, possèdent aussi q axes binaires, aux intersections de ces q plans auec le plan n.

La rencontre de deux plans de symétrie est toujours un axe de symétrie (théorème V); or, cet axe ne peut être que binaire (théorème XV); donc, etc.

On peut aussi, pour démontrer ce théorème, recourir à la /ig. 5, où CPQ est l'un de» q plans passant par Taxe A^, et CPP' le plan n.

XXXIV MIÊMOIRE

àSoit 1 rhomologiie du sommet S par rapport au plan n ; soit s rhomologue (le 1 par rapport au plan CPQ : il est visible que S et ^ sont homologues l'un de l'autre par rapport à CP, qui est ainsi un axe binaire du polyèdre.

Théorème XVIII. — Les polyèdres qui ont un axe A^, q axes binaires normaux à A^, et le plan de symétrie U normal à A^, ont aussi q plans de symétrie passant par l'axe A^ et par cfuwun des axes binaires.

Soit CP, fig. 5, l'un des axes binaires ; soit GPP' le plan n normal à Taxe principal GA. Le sommet S aura un homologue en Sj de l'autre côté de l'axe binaire CP; le sommet s aura un homologue en a, de Tautre coté du plan 11 : les points S et er seront homologues l'un de l'autre par rapport au plan CVQ; donc ce dernier plan sera l'un des plans de symétrie du polyèdre.

Tiii^oRÈMK XiX. — Les polyèdres qui possèdent un axe principal A^ ^ q plans de symétrie passant par cet axe, et un centre de symétrie, possèdent aussi q axes binaires menés par le centre normalement à chacun de ces plans.

C'est une conséquence des théorèmes IV et XV.

Th^orëihe XX, — Les polyèdres qui possèdent un axe A^, q axes binaires normaux à A^, ef un centre de symétrie, possèdent aussi q plans de symétrie normaux à ces cuves binaires.

Ola résulte du théorème XXI que nous allons démontrer.

C as des polyèdres à axe principal d'ordre pair.

Théorème XXI. — Tout polyèdre possédant un axe d'ordre pair et un centre de symétrie possède un plan de symétrie passant par le centre et normal à cet a^ve.

Soit CA y Jig. '2, l'axe de symétrie d'ordre a^; soient G le centre de symétrie, et PQ le plan normal à GA. Le sommet Sa 2q — i homologues par rapport à l'axe GA; si donc on abaisse la normale Sa sur GA, et si on la